Задача о «расшивке узких мест производства»

Решим задачу симплексным  методом.

 

 

C	Базис	H	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Примечание
0	Х5	1	18	7	10	9	1	0	0	Min ∆j=-1 х2 – в базис min(1/7;1/13;1/2)=1/13 х6 – из базиса 2-е ур-ие разрешающее
0	Х6	1	6	13	4	15	0	1	0
0	Х7	1	14	2	17	0	0	0	1
		0-Z	-1	-1	-1	-1	0	0	0
										Min ∆j=-9/13 х3 – в базис min(1/17;1/4;11/213)=11/213 x7 – из базиса 3-е ур-ие разрешающее
0	X5	6/13	192/13	0	102/13	12/13	1	-7/13	0
1	Х2	1/13	6/13	1	4/13	15/13	0	1/13	0
0	Х7	11/13	170/13	0	213/13	-30/13	0	-2/13	1
		1/13-Z	-7/13	0	-9/13	2/13	0	1/13	0
										Все ∆j=>0 => решение оптимальное
0	Х5	4/71	604/71	0	0	144/71	1	-33/71	-34/71
1	Х2	13/213	46/213	1	0	85/71	0	17/213	-4/213
1	Х3	11/213	170/213	0	1	-10/71	0	-2/213	13/213
		8/71-Z	1/71	0	0	4/71	0	5/71	3/71

 

 

X=(0; 13/213; 11/213; 0)

Zmax=1/υ=8/71

Тогда цены игры υ=71/8

 

q_i=x_i* υ  i=1,2,3,4

q₁=0*71/8=0

q₂=13/213*71/8=13/24

q₃=11/213*71/8=11/24

q₄=0*71/8=0

Оптимальная стратегия  игрока В (0; 13/24; 11/24; 0).

 

Чтобы найти стратегии игрока А, нужно решить двойственную задачу:

18*y₁+6*y₂+14*y₃=>1

7*y₁+13*y₂+2*y₃=>1

10*y₁+4*₂+17*y₃=>1

9*y₁+15*y₂+0*y₃=>1

y_i=p_i/υ  =>0    i=1,2,3

 

Так как p₁+p₂+p₃=1, то y₁+y₂+y₃=1/ υ.

Так как υ – выигрыш  игрока А, то он хочет максимизировать, тогда 1/υ – минимизировать. Итак, приходим к постановке задачи: найти  значение вектора Y=( y₁; y₂; y₃; y₄ ), которое обеспечивало бы минимальное значение функции y₁+y₂+y₃=1/υ=L → min при следующих линейных ограничениях (**).

Эта задача является двойственной по отношению к рассмотренной  выше задачи, так что решение возьмём  из последней симплексной таблицы.

Y=(0; 5/71; 3/71)

Lmin=Zmax=1/υ=8/71

υ=71/8

 

p_i=y_i* υ i=1,2,3

p₁=0*71/8=0

p₂=5/71*71/8=5/8

p₃=3/71*71/8=3/8

Оптимальная стратегия  игрока А (0; 5/8; 3/8).

 

Теперь возвращаемся к начальной матрице А_4,5 , тогда её решение имеет вид:

 

A\B		q1=0	q2=13/24	q3=11/24	q4=0	q5=0
		B1	B2	B3	B4	B5
p1=0	A1	9	-2	1	9	0
p2=0	A2	-3	-7	-5	-3	-9
p3=5/8	A3	-3	4	-5	-3	6
p4=3/8	A4	5	-7	8	5	-9

А цена игры υ=71/8 - 9= - 1/8.

 

Теперь, имея все данные, найдем риски игроков при использовании  ими своих оптимальных и чистых стратегий. Нижний индекс соответствует  игроку А, верхний – игроку В.

υ=M(P,Q)=∑∑a_ij*p_i*p_j= - 1/8

Найдём риск игры при  использовании игроками своих оптимальных  стратегий:

D₀⁰=∑∑(a_ij)²*p_i*q_j - υ²=1073/32-1/64=2145/64; 

D₀²=∑(a_i2)²*p_i - υ²=1815/64; 

D₀³=∑(a_i3)²*p_i - υ²=2535/64; 

 

D₃⁰=∑(a_3j)²*q_j - υ²=1287/64; 

D₄⁰=∑(a_4j)²*q_j - υ²=3575/64; 

Минимальное значение риска  равно: . Данные риск соответствует ситуации, когда игрок А играет по 3-ей чистой стратегии, а игрок В по оптимальной.

Так как минимальное  найденное значение риска меньше чем значение риска при использовании  игроками своих оптимальных стратегий, то можно сделать вывод , что играть они могут только при договорённости.

 

 

7. Принятие решений  в условиях неопределенности

Представим такую ситуацию, что у генерального директора  компании «Приклад» появилась возможность  подписать только один контракт с одной из четырех фирм. После подписания каждого контракта компанией «Приклад» возможны 4 дальнейших пути развития (величины получения прибыли). Матрица Q как раз и отображает данную ситуацию:

 

Т.е. q_ij – прибыль компании «Приклад» после подписания i-ого контракта при j-ом пути развитии ситуации.

В данной ситуации очень  сложно выбрать дальнейший путь, не имея каких либо дополнительных сведений. В нашей ситуации можно оперировать  только риском

Допустим, мы хотим оценить  риск, который несет  подписание -ого контракта. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть -я , то было бы принято решение, дающее доход .

Значит, подписывая -контракт мы рискуем получить не , а только , значит подписание -го контракта несет риск недобрать . Матрица называется матрицей рисков.

Составим матрицу рисков. В нашем случае Следовательно матрица рисков будет выглядеть так:

А. Принятие решений  в условиях полной неопределенности.

В нашей ситуации нет  никакой дополнительной информации, так что единственное, что поможет  нам сделать правильный выбор  – это некоторые правила. Рассмотрим их.

Правило Вальда (правило  крайнего пессимизма). Рассматривая -e решение будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход .

Но теперь уж выберем решение с наибольшим . Итак, правило Вальда рекомендует принять решение , такое что

Так, в вышеуказанном примере, имеем Теперь из чисел 5, 1, 6, 3 находим максимальное. Это – 6 . Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение.

Правило Сэвиджа (правило  минимального риска). При применении этого правила анализируется матрица рисков . Рассматривая -e решение будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска

Но теперь уж выберем  решение  с наименьшим . Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение , такое что

 

Так, в вышеуказанном  примере, имеем  Теперь из чисел 7, 9, 1, 8 находим минимальное. Это – 1. Значит правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение.

 

В. Принятие решений  в условиях частичной неопределенности.

Предположим, что у  нас есть вероятности появления  каждого дальнейшего пути развития после подписания контракта. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Решим задачу, используя некоторые правила.

Допустим, что вероятности  дальнейших пути развития равны (1/6; 2/6; 1/6; 2/6) соответственно.

Используем правило  максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при подписании -го контракта, является случайной величиной с рядом распределения

		…
		…

Математическое ожидание M(Q_i) и есть средний ожидаемый доход. Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

В нашем случае:

M(Q₁)=47/6

M(Q₂)=17/6

M(Q₃)=53/6 – max

M(Q₄)=23/6

Максимальный средний  ожидаемый доход равен 53/6, что соответствует 3-у решению.

 

Правило минимизации  среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при подписании -го контракта, является случайной величиной с рядом распределения

		…
		…

Математическое ожидание и есть средний ожидаемый риск. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

В нашем случае:

M(R₁)=5/3

M(R₂)=20/3

M(R₃)=2/3 – min

M(R₄)=17/3

Минимальный средний  ожидаемый риск равен 2/3, соответствует 3-у решению.

 

Теперь нанесём точки (M(Q_i), M(R_i)) на плоскость.

Получили 4 точки. Чем  правее точка, тем более доходная операция, чем точка выше - тем  более она рисковая. Нас же интересует точка с максимальным доходом, но в то же время с минимальным риском. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (M(Q)’, r’) доминирует точку (M(Q),r) если M(Q)’=>M(Q) и r’<=r. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ю, 4-ю, 1-ю операции.

Точка, не доминируемая никакой  другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек  называется множеством оптимальности  по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето. В нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит только из одной 3-й операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (M(Q), M(R)) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть j (Q)= 2×M(Q) – M(R) . Тогда получаем:

j (Q₁)=14

j (Q₂)=-1

j (Q₃)=17

j (Q₄)=2

Из расчётов видно, что 3-ая операция лучшая, а 2-ая худшая.

Итак, используя некоторое  количество правил для нахождения оптимального решения в условиях неопределенности, мы нашли, что подписание директором компании «Приклад» контракта с 3-ей компанией принесёт максимальный доход и будет в себе иметь  минимальный риск.

 

 

 

8. Формирование оптимального  портфеля ценных бумаг

На финансовом рынке  обращаются большое количество ценных бумаг различного вида. Эти бумаги приносят их владельцу определенный доход, который является случайной  величиной с известными математическим ожиданием M_i и средним квадратическим отклонением r_i, где i – номер вида ценных бумаг, показывающим риск каждой ценной бумаги.