Закон больших чисел

ВВЕДЕНИЕ

В данном реферате я бы хотела раскрыть тему «закон больших чисел». Многие великие ученые изучали и основывались в своих демографических и статистических исследованиях на законе больших чисел.  
Закон больших чисел в экономической науке и в социально-экономической статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономических процессов.

Практика  изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для  достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят  от результатов отдельных наблюдений. Теоретическим обоснованием этого  замечательного свойства случайных  явлений является закон больших  чисел. Общий смысл закона больших  чисел  - совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

     В практических исследованиях очень  важно знать, в каких случаях  можно гарантировать, что вероятность  события будет или достаточно мала, или как угодно близка к  единице.

     Под законом больших чисел и понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице (или нулю), произойдет событие, зависящее от очень большого, неограниченно увеличивающегося числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние.

     Точнее, под законом больших чисел  понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с  вероятностью, как угодно близкой  к единице, отклонение средней арифметической достаточно большого числа случайных  величин от постоянной величины -  средней арифметической их математических ожиданий, не превзойдет заданного как угодно малого числа.

     Отдельные, единичные явления, которые мы наблюдаем  в природе и в общественной жизни, часто проявляются как  случайные (например, регистрируемый смертный случай, пол родившегося ребенка, температура воздуха и др.) вследствие того, что на такие явления действует  много факторов, не связанных с  существом возникновения или  развития явления. Предсказать суммарное  действие их на наблюдаемое явление  нельзя, и они различно проявляются  в единичных явлениях. По результатам  одного явления нельзя ничего сказать  о закономерностях, присущих многим таким явлениям.

     Однако  давно было замечено, что средняя  арифметическая числовых характеристик  некоторых признаков (относительные  частоты появления события, результатов  измерений и т. д.) при большом  числе повторений опыта подвержена очень незначительным колебаниям. В  средней как бы проявляется закономерность, присущая существу явлений, в ней  взаимно погашается влияние отдельных  факторов, которые делали случайными результаты единичных наблюдений. Теоретически объяснить такое поведение средней  можно с помощью закона больших  чисел. Если будут выполнены некоторые  весьма общие условия относительно случайных величин, то устойчивость средней арифметической будет практически  достоверным событием. Эти условия  и составляют наиболее важное содержание закона больших чисел.  

     Первым  примером действия этого принципа и  может служить сближение частоты  наступления случайного события  с его вероятностью при возрастании  числа испытаний – факт, установленный  в теореме Бернулли (швейцарский  математик Якоб Бернулли (1654- 1705)).Теорема Бернулли является одной из простейших форм закона больших чисел и часто используется на практике. Например, частоту встречаемости какого-либо качества респондента в выборке принимают за  оценку соответствующей вероятности.  

     Выдающийся  французский математик Сименон Денни Пуассон (1781- 1840) обобщил эту теорему и распространил ее на случай, когда вероятность событий в испытании меняется независимо от результатов предшествующих испытаний. Он же впервые употребил термин «закон больших чисел».

     Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821 - 1894) доказал, что закон больших чисел действует в явлениях с любой вариацией и распространяется также на закономерность средней.

     Дальнейшее  обобщение теорем закона больших  чисел связано с именами  А.А.Маркова, С.Н.Бернштейна, А.Я.Хинчина и А.Н.Колмогорова.

     Общая  современная постановка задачи, формулировка закона больших чисел, развитие идей и методов доказательства теорем, относящихся к этому закону, принадлежит русским ученым П. Л. Чебышеву, А. А. Маркову и А. М. Ляпунову. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА 

Рассмотрим  сначала вспомогательные теоремы: лемму и неравенство Чебышева, с помощью которых легко доказывается закон больших чисел в форме  Чебышева.

1. Лемма.

Если  среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то вероятность  того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее положительное  число А , не больше дроби, числитель  которой — математическое ожидание случайной величины, а знаменатель -  число А:

      .

Доказательство. 

Пусть известен закон распределения случайной  величины Х:

 (i = 1, 2, ...,  ), причем значения случайной величины мы считаем расположенными в возрастающем порядке.

По отношению  к числу А значения случайной  величины разбиваются на две группы: одни не превосходят А, а другие больше А. Предположим, что к первой группе относятся первые   значений случайной величины ( ).

        

Так как  , то все члены суммы    неотрицательны. Поэтому, отбрасывая первые   слагаемых в выражении   получим неравенство:

Поскольку

,

то

     Далее,

что и  требовалось доказать.

Случайные величины могут иметь различные  распределения при одинаковых математических ожиданиях. Однако для них лемма  Чебышева даст одинаковую оценку вероятности  того или иного результата испытания. Этот недостаток леммы связан с ее общностью: добиться лучшей оценки сразу  для всех случайных величин невозможно.   

2. Неравенство Чебышева.

Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания превзойдет по абсолютной величине положительное  число   , не больше дроби, числитель которой - дисперсия случайной величины, а знаменатель -  квадрат 

     

Доказательство. Поскольку   случайная величина, которая не принимает отрицательных значений, то применим неравенство   из леммы Чебышева для случайной величины   при  :

        

     Далее:

     

что и  требовалось доказать.  

Следствие.  

Поскольку 

,

и

,

то

     

       - другая форма неравенства Чебышева

     Примем  без доказательства факт, что лемма  и неравенство Чебышева верны  и для непрерывных случайных  величин.

     Неравенство Чебышева лежит в основе качественных и количественных утверждений закона больших чисел. Оно определяет верхнюю  границу вероятности того, что  отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания больше некоторого заданного числа. Замечательно, что неравенство Чебышева дает оценку вероятности события  для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и дисперсия.  

     Теорема. (Закон больших чисел в форме Чебышева)

     Если  дисперсии независимых случайных  величин    ограничены одной константой С, а число их достаточно велико, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической  этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет по абсолютной величине данного положительного числа   , каким бы малым оно ни было:

      .

     Теорему примем без доказательства.

     Следствие 1. Если независимые случайные величины имеют одинаковые, равные  , математические ожидания, дисперсии их ограничены одной и той же постоянной С, а число их достаточно велико, то, сколько бы мало на было данное положительное число  , как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от     не превзойдет по абсолютной величине  .

        

     То, что за приближенное значение неизвестной  величины  принимают среднюю арифметическую результатов достаточно большого числа ее измерений, произведенных в одних и тех же условиях, можно обосновать этой теоремой. Действительно, результаты измерений являются случайными, так как на них действует очень много случайных факторов. Отсутствие систематических ошибок  означает, что математические ожидания отдельных результатов измерений одинаковые и равны  . Следовательно, по закону больших чисел средняя арифметическая достаточно большого числа измерений практически будет как угодно мало отличаться от истинного значения искомой величины.

(Напомним, что ошибки называются систематическими, если они искажают результат  измерения в одну и ту же  сторону по более или менее  ясному закону. К ним относятся  ошибки, появляющиеся в результате  несовершенства инструментов (инструментальные  ошибки), вследствие личных особенностей  наблюдателя (личные ошибки) и  др.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПОНЯТИЕ БЕРНУЛЛИ О ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Пусть производится   независимых испытаний, причем вероятность появления события   в каждом испытании равна  , тогда вероятность наступления события   равна  .

Найдем  вероятность того, что при   испытаниях событие   наступит   раз  .

Пусть событие   наступило в первых   испытаниях   раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения (  раз,   раз):

Общее число сложных событий, в которых   наступает   раз, равно числу сочетаний из   элементов по   элементов. При этом вероятность каждого сложного события:  . Так как эти сложные события несовместны, то вероятность суммы равна сумме их вероятностей.

Итак, если   есть вероятность появления события   раз в   испытаниях, то

Эта формула  называется формулой Бернулли.

Пример. Пусть всхожесть семян моркови составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а)три; б) не менее трех.

Решение. а) В данном случае  . Применяя формулу Бернулли, получим

б) Искомое событие состоит в том, что из четырех семян взойдут либо три, либо четыре. По теореме сложения вероятностей  .

Но  .

Поэтому  .

Мы уже  определяли понятие вероятности  в классической схеме и геометрически. Существуют еще и другие определения  вероятности. Рассмотрим статистическое определение.

Существует  множество примеров испытаний со случайными исходами, которые могут  быть повторены большое число  раз в одинаковых условиях. Назовем  частотой какого-либо случайного события   в данной серии из   испытаний отношение  числа   тех испытаний, в которых событие   наступило, к общему их числу. Наличие у события   при определенных условиях вероятности, равной  , проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события  приблизительно равна  . Так, например, различные исследователи проводили опыты по бросанию монеты (  испытаний,   — число выпадений “герба”):