Закон больших чисел

И чем  больше число испытаний  , тем реже встречаются сколь-нибудь значительные отклонения частоты   от вероятности  — частота отклонений становится все меньше. Это утверждение о близости частоты и вероятности математически уточняется законом больших чисел в форме Бернулли.

Теорема. Пусть вероятность наступления некоторого события   в последовательности   независимых испытаний постоянна и равна  , пусть   — число появлений события   во всех   испытаниях. Тогда для любых   при достаточно большом   имеет место неравенство

Доказательство. Вычислим суммы:

Ясно, что

Теперь 

Итак,

Далее

Первая  сумма правой части нам известна, поэтому

Таким образом,

Поскольку события противоположны, то

В силу теоремы сложения вероятностей

где сумма  распространена на те значения  , для которых  . Но для этих значений 

и поэтому

где сумма  по-прежнему распространена на те значения  , для которых  . Очевидно, что эта сумма может быть только увеличена, если распространить ее на все значения   от 0 до  . Следовательно, используя приведенные выше равенства, получаем

 
Отсюда видно, что для любого положительного   мы можем сделать вероятность   сколь угодно близкой к 1. Теорема доказана.

И еще  одно — аксиоматическое — определение  вероятности.

Пусть задано вероятностное пространство, т.е. тройка  , где   — непустое множество, элементы   которого интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого явления;   — набор подмножеств множества  событиями(предполагается, что множество   содержит   и замкнуто относительно взятия противоположного события и суммы событий, т.е.   является алгеброй); вероятность   — функция, определенная на событиях   и удовлетворяющая следующим условиям:

1.   при любом  ;

2.  ;

3.  , если   при любых  .

     Следствие 1: 

     Если  вероятность   наступления события А в каждом из   независимых испытаний постоянна, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от  вероятности   его появления:

     

     Теорема Бернулли, утверждает, что если вероятность  события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний  частота события стремится к  вероятности события и перестает  быть случайной.  

     На  практике сравнительно редко встречаются  опыты, в которых вероятность  появления события в любом  опыте неизменна, чаще она  разная в разных опытах 
 
 
 
 
 
 

ТЕОРЕМА ПУАССОНА ДЛЯ СХЕМЫ  БЕРНУЛЛИ

Предположим, нам нужна вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений, вычислить которые довольно сложно:

Сформулируем  теорему о приближённом вычислении вероятности какого-либо числа успехов  в большом числе испытаний  схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означать  . Если при этом  , то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха   стремилась к нулю одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли). Поэтому нам придётся рассмотреть так называемую «схему серий»: если испытание одно, то вероятность успеха в нём равна  , если испытаний два, то вероятность успеха в каждом —  , и т.д. Если испытаний  , то в каждом из них вероятность успеха равна  . Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний.

Теорема 15   (теорема Пуассона⁽¹⁾). Пусть   и   так, что  . Тогда для любого   вероятность получить   успехов в   испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха   стремится к величине  :

Доказательство. Положим  . Тогда   и

В соотношении (8) мы воспользовались тем, что   и замечательным пределом  . Докажем последнее свойство:

Определение 25. Набор чисел   называется распределением Пуассона с параметром  .

По теореме 15 можно приближённо посчитать вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003, с вычисления которой мы начали. Поскольку   «велико», а   «мало», то, взяв  , можно записать приближённое равенство

Осталось  решить, а достаточно ли   велико, а   мало, чтобы заменить точную вероятность   на приближённое значение  . Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями.

Следующую очень полезную теорему мы, исключительно  из экономии времени, доказывать не станем.

Теорема 16.   (уточнённая теорема Пуассона). Пусть   — произвольное множество целых неотрицательных чисел,   — число успехов в   испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  ,  . Тогда

Таким образом, теорема 16 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли   велико, а   мало, руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (9)? Взяв  , имеем:

Можно утверждать, что искомая вероятность  заключена в границах (0,034 - 0,009, 0,034 + 0,009) = (0,025, 0,043).

На самом  деле можно уточнить оценку в теореме 16. Например, можно доказать, что погрешность даже меньше, чем  . В нашем примере это втрое уменьшает оценку для погрешности —0,003 вместо 0,009, уточняя границы для истинной вероятности: (0,031, 0,037).

  Следствие 1.  Если вероятность   появления события   в   -ом  испытании не меняется, когда становятся известными результаты предыдущих испытаний, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от  средней арифметической вероятностей  :

     

     Теорема Пуассона утверждает, что частота  события в серии независимых  испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной.

     В заключение заметим, что ни одна из рассмотренных теорем не дает ни точного, ни даже приближенного значения искомой  вероятности, а указывается лишь нижняя или верхняя граница ее. Поэтому, если требуется установить точное или хотя бы приближенное значение вероятностей соответствующих событий, возможности этих теорем весьма ограничены.

     Приближенные  значения вероятностей при больших  значениях   можно получить только с помощью предельных теорем. В них или на случайные величины налагаются дополнительные ограничения (как это имеет место, например, в теореме Ляпунова), или рассматриваются случайные величины определенного вида (например, в интегральной теореме Муавра—Лапласа).

     Теоретическое значение теоремы Чебышева, являющейся весьма общей формулировкой закона больших чисел, велико. Однако если мы будем применять ее при решении  вопроса о возможности применить  закон больших чисел к последовательности независимых случайных величин, то при утвердительном ответе теорема  часто будет требовать, чтобы  случайных величин было гораздо  больше, чем необходимо для вступления в силу закона больших чисел. Указанный  недостаток теоремы Чебышева объясняется  общим характером ее. Поэтому желательно иметь теоремы, которые точнее указывали  бы нижнюю (или верхнюю) границу искомой  вероятности. Их можно получить, если наложить на случайные величины некоторые  дополнительные ограничения, которые  для встречающихся на практике случайных  величин обычно выполняются.

   

ЗАМЕЧАНИЯ О СОДЕРЖАНИИ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Если  число случайных величин достаточно велико и они удовлетворяют некоторым  весьма общим условиям, то, как бы они ни были распределены, практически  достоверно, что средняя арифметическая их сколь угодно мало отклоняете а  от постоянной величины - - средней арифметической их математических ожиданий, т. е. является практически постоянной величиной. Таково содержание теорем, относящихся  к закону больших чисел. Следовательно, закон больших чисел - одно из выражений  диалектической связи между случайностью и необходимостью.

     Можно привести очень много примеров возникновения  новых качественных состояний как  проявления закона больших чисел, в  первую очередь среди физических явлений. Рассмотрим один из них.

     По  современным представлениям газы состоят  из отдельных частиц  - молекул, которые находятся в хаотическом движении, и нельзя точно сказать, где в данный момент будет находиться, и с какой скоростью будет двигаться та или иная молекула. Однако наблюдения показывают, что суммарное действие молекул, например давление газа на

стенку  сосуда, проявляется с поразительным  постоянством. Оно определяется числом ударов и силой каждого из них. Хотя первое и второе является делом  случая, приборы не улавливают колебаний  давления газа, находящегося в нормальных условиях. Объясняется это тем, что  благодаря огромному числу молекул  даже в самых небольших объемах

изменение давления на заметную величину практически  невозможно. Следовательно, физический закон, утверждающий постоянство давления газа, является проявлением закона больших чисел.

     Постоянство давления и некоторых других характеристик  газа в свое время служило веским аргументом против молекулярной теории строения вещества. Впоследствии научились  изолировать сравнительно небольшое  число молекул, добиваясь того, чтобы  влияние от дельных молекул еще  оставалось, и тем самым закон больших чисел не мог проявиться в достаточной степени. Тогда удалось наблюдать колебания давления газа, подтверждающие гипотезу о молекулярном строении вещества. 

     Закон больших чисел лежит в основе различных видов страхования (страхование  жизни человека на всевозможные сроки, имущества, скота, посевов и др.).

     При планировании ассортимента товаров  широкого потребления учитывается  спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел.

     Широко  применяемый в статистике выборочный метод находит свое научное обоснование  в законе больших чисел. Например, о качестве привезенной из колхоза  на заготовительный пункт пшеницы  судят по качеству зерен, случайно захваченных  в небольшую мерку. Зерна в  мерке немного по сравнению со всей партией, но во всяком случае мерку  выбирают такой, чтобы зерен в  ней было вполне достаточно для

проявления  закона больших чисел с точностью, удовлетворяющей потребности. Мы вправе принять за показатели засоренности, влажности и среднего веса зерен  всей партии поступившего зерна соответствующие  показатели в выборке. 

Дальнейшие  усилия ученых по углублению содержания закона больших чисел были  направлены па получен наиболее общих условий применимости  этого закона к последовательности случайных величин. В этом направлении долго не было принципиальных успехов. После П. Л. Чебышева и А. А. Маркова только в 1926 г. советскому академику А. Н. Колмогорову удалось получить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы к последовательности независимых случайных величин был применим закон больших чисел. В 1928 г. советский ученый А. Я. Хинчин показал, что достаточным условием применимости закона больших чисел к последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин является существование у них математического ожидания.