Контрольная работа по "Финансовой математике"

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение высшего  профессионального  образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

Кафедра экономико-математических методов и моделей 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  дисциплине финансовая математика 
 
 
 
 

ВАРИАНТ № 10 
 
 
 
 
 
 

                                     Исполнитель: Левыкина О. С.

                                     Специальность: Финансы  и кредит

                                     Группа: 1С-ФК416

                                     № зачетной книжки: 09ффд42170

                                     Преподаватель: Бесхлебнова Г.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва 2012 

Задание №1 

     Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

         Таблица 1

 

     Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости  уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r₁=0,32;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

     4)       Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

     5)     Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные. 
 
 

     Решение 

     1) Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

     Y_p(t+k)=[a(t) + k*b(t)] * F( t+k-L).

     Коэффициенты модели a(t), b(t)  и F(t) рассчитываются по формулам:

     a(t)= α₁ *Y(t) / F(t-L) + (1- α₁ )*[a(t-1)+b(t-1)];

     b(t)= α₃ * [a(t)-a(t-1)]+(1- α₃)*b(t-1);

     F(t)= α₂ * Y(t) / a(t) + (1- α₂)*F(t-L).

     Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид: Y_p(t)=a(0) + b(0)*t.

     Промежуточные расчеты  для вычисления коэффициентов

       Таблица 2

 

     

     a(0)= Y_ср – b(0)*t_ср = 52,375 - 0,845*4,5=48,57

     Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

     Y_p(t) = 48,57 + 0,845t

     Из  этого уравнения находим расчетные  значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл.3) 

     Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

                                                                                                                                  Таблица 3

 

     Оценим  приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

      ;

      ;

      ;

      .

     Оценив  значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной  модели Хольта-Уинтерса.

     Рассчитаем  значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

     Полагая, что t=0, k=1, находим Y_p(1):

     Y_p(0+1) =Y_p(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4) = [48,57+1*0,845]*0,861 = 42,559

     Полагая что t=1, находим:

     a(1) = α₁*Y(1)/F(-3)+(1-α₁)*[a(0)+b(0)] = 0,3*43/0,861+

+(1-0,3)*[48,57+0,845] = 49,57

     b(1)= α₃*[a(1)-a(0)]+(1-α₃)*b(0) = 0,3*[49,57-48,57]+(1-0,3)*0,845 = 0,891

     F(1)= α_2*Y(1)/a(1)+(1-α₂)*F(-3) =0,6*43/49,57+(1-0,6)*0,861 = 0,865

     Аналогично  рассчитаем для t=1:

     Y_p(2)=54,39

     a(2)= 50,35

     b(2)= 0,859

     F(2)=1,075

     Для t=2:

     Y_p(3)=65,43

     a(3)=50,88

     b(3)= 0,758

     F(3)= 1,266

     Для t=3:

     Y_p(4)=40,44

     a(4)=51,85

     b(4)= 0,823

     F(4)= 0,788

     и т.д.  
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                

                     

        Таблица 4

 

2. Проверка  точности модели

     Условие точности выполняется, если относительная  погрешность в среднем не превышает 5%.

     Суммарное значение  относительных погрешностей (см. табл. 4) составляет 25,747, что дает среднюю величину 25,747/16 = 1,61%.

     Следовательно,  условие точности выполнено.

     3) Проверка условия адекватности

     Проверка  случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек (табл. 5).  
 
 
 

     Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

                                                                                                                       Таблица 5