Содержание. Геометрия Евклида 
 

Введение

1. Развитие геометрии 2

2. О жизни Евклида 4

3. «Начала» Евклида 6

4. Геометрия Евклида 6

5. Неевклидова геометрия (геометрия Лобачевского). 9

5.1 Джероламо Саккери. 10

5.2 Генрих Ламберт. 12

5.3 Швейкарт и Тауринус. 12

5.4 Янош Больяй. 13

5.5 Фридрих Гаусс. 13

5.6 Николай Иванович Лобачевский. 14

6. Заключение 17

7. Список  литературы 18 
 
 

        
 
 
 
 
 
 
 
 

Геометрия Евклида

Введение 

     Любая теория современной науки считается  единственно верной, пока не создана  следующая. Это своеобразная аксиома  развития науки.

     Участь  эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект.

           Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge -- земля и metrein -- измерять)-- наука о пространстве, точнее -- наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

     1. Развитие геометрии

 

Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия»  греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди  очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определенного запаса геометрических и

арифметических  знаний. Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных  геометрических фигур. 

«По дошедшим до нас египетским папирусам и  древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тысячи лет до нашей  эры люди умели определять площади  треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно вычислять площадь  круга, они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли.  

Развитие  архитектуры, а несколько позднее  и астрономии предъявило геометрии  новые требования. И в Египте и  в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло  производиться только на основе предварительных  расчетов. ...И все же, несмотря на то что человечество накопило такие  обширные знания геометрических фактов, геометрия как наука еще не существовала.  

Геометрия стала наукой только после того, как в ней начали систематически применять логические доказательства, начали выводить геометрические предложения  не только путем непосредственных измерений, но и путем умозаключений, путем  вывода одного положения из другого, и устанавливать их в общем  виде. Обычно этот переворот в геометрии  связывают с именем ученого и  философа VI века до нашей эры Пифагора Самосского».  

Однако  все новые проблемы и созданные  в связи с ними теории привели  к тому, что совершенствовались сами способы математических доказательств, возрастала потребность создания стройной логической системы в геометрии.   

Это обстоятельство заметили еще в древности, и тогда  же был найден выход. Не позднее IV века до нашей эры греческие математики при построении геометрии выбирали некоторые предложения, которые  принимались без доказательства, а все остальные предложения  выводили из них строго логически. Предложения, принятые без доказательства, назывались аксиомами и постулатами.  

Закончилось развитие традиционной геометрии Евклидом. В III веке до нашей эры греческий ученый привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала».

     2. О жизни Евклида

 

        О жизни Евклида (около 365 г. до нашей эры — 300 г. до нашей эры) почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

         Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», — ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.  

Царь  Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них  храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и  зоологический сады, астрономический  кабинет, астрономическая башня, комнаты  для уединенной работы и главное  — великолепная библиотека. В числе  приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии  — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.  

Именно  в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет  большой труд по геометрии, объединенных под общим названием «Начала» — главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.  

Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для  развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

Как современников, так и последователей Евклида  привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят  из 13 книг, построенных по единой логической схеме.   

Каждая  из книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа  основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.   

В то время  развитие науки и не предполагало наличия методов практической математики. Книги I—IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской  школы. В книге V разрабатывалось  учение о пропорциях, которое примыкало  к Евдоксу Книдскому. В книгах VII—IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских  первоисточников. В книгах X—XII содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в X книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету. 

   3. «Начала» Евклида

 

         Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии.

       «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. До двадцатого века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

     «Начала»  состоят из 13 книг, посвященных геометрии  и арифметике в  геометрическом изложении.

   4. Геометрия Евклида

 

       «Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием Евклидовой геометрии. В качестве постулатов Евклид выбрал такие предложения, в которых утверждалось то, что можно проверить простейшими построениями с помощью циркуля и линейки. Евклид принял также некоторые общие предложения-аксиомы, например, что две величины, порознь равные третьей, равны между собой. На основе таких постулатов и аксиом Евклид строго и систематично развил всю планиметрию.   

В «Началах»  он описывает метрические свойства пространства, которое современная  наука называет Евклидовым пространством. 

Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное(когда в пространстве нет какого-то выделенного направления), имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства.

Бесконечность пространства характеризуется  тремя постулатами:  

1.«От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». 2.«Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой».     3.«Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».  

Учение  о параллельных и знаменитый пятый  постулат («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и  по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно  эти две прямые встретятся с той  стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства Евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий. 
 

    В современном  изложении систему  аксиом Евклидовой геометрии разбивают на следующие пять групп.        

          

 

  I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом

только  одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют  хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не  лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На  каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре  точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на  данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

  II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит  между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую  его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).

  III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым  прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям.

2) Два  последовательных движения дают  опять движение, и для всякого движения  есть обратное. 3) Если даны точки А, A' и полуплоскости A, A‘, ограниченные  продолженными полупрямыми а, а', которые исходят из точек А, A', то существует  движение, и притом единственное, переводящее А, а, A в A', a', A' (полупрямая и  полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).