Геометрия Евклида

  IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана  последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

  V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

Возникновение Евклидовой геометрии тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии — натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. 

5. Неевклидова геометрия (геометрия  Лобачевского).

Пятый постулат  («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по  одну сторону углы меньшие двух  прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») 

     Длительные  неудачи разнообразных попыток  вывести пятый постулат Евклида из остальных аксиом и постулатов евклидовой геометрии подготовили  почву для принципиально иной постановки вопроса о проблеме параллельных линий. Происходило постепенное перерастание задачи доказательства пятого постулата в противоположную задачу: установления его логической недоказуемости. Сама природа вопроса наталкивала исследователей на поиски решения на других путях, иногда помимо их намерений или даже наперекор им.

      Идея  недоказуемости пятого постулата Евклида  с начала XVIII века проявляется во всё более отчётливой форме и  во всё более содержательном виде, пока не приводит к окончательному утверждению логической возможности  новой геометрии, где пятый постулат Евклида не имеет места. К началу XIX века «проблема пятого постулата» Евклида настолько назрела, что  была решена почти одновременно и  независимо друг от друга несколькими  различными лицами.

      Возможно, что и сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений «Начал»  не опираются на пятый постулат; Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех  пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.

      Со  времён Евклида до конца XIX столетия проблема пятого постулата являлась одной из самых популярных проблем  геометрии. За этот период было предложено множество различных доказательств  пятого постулата. Однако все они  были ошибочны. Обычно авторы этих доказательств  использовали какое-нибудь геометрическое утверждение, которое оказывалось  столь наглядно очевидным, что проскальзывало в рассуждениях незаметно для  самого автора. Вместе с тем попытка  логически доказать такое утверждение, в свою очередь не опираясь на пятый  постулат, всегда оканчивалась неудачей.

      Конечно, подобные исследования не достигали  намеченной цели, так как смысл  проблемы заключался в освобождении евклидовой теории параллельных от специального постулата, и, таким образом, дело здесь  было не в том, чтобы заменить пятый  постулат другим утверждением, хотя бы оно и было весьма очевидным, а  в том, чтобы доказать этот постулат, исходя из остальных постулатов геометрии.

      Нужно заметить, впрочем, что многочисленные попытки доказательства пятого постулата, несмотря на их тщётность, привели к  известным положительным результатам.

      5.1 Джероламо Саккери.

      Характерными  для периода зарождения идеи недоказуемости пятого постулата являются работы итальянского учёного монаха Джероламо Саккери (1667 – 1733), выпущенные им в свет в 1733 году под названием «Евклид, очищенный от всяких пятен». Само название сочинения указывает на замысел Саккери: довести евклидову геометрию до логического совершенства, причём, конечно, имелось в виду в первую очередь устранить сомнения, связанные с пятым постулатом, путём его доказательства.              С этой целью Саккери применяет метод доказательства от противного. В основе его рассуждений лежит изучение свойств четырёхугольника ABCD,

      Где = = и AB=CD. Эта фигура получила название «четырёхугольника Саккери» (хотя О. Хайям рассматривал эту фигуру ещё в XII веке). Рассматривая прямую MN, проведённую перпендикулярно к прямой AD через середину отрезка AD, путём перегибания чертежа по прямой MN легко убедиться, что эта прямая служит осью симметрии фигуры, так что 

       = и BN=CN. 

      Относительно  равных углов ABC и DCB Саккери три логически  возможных допущения:

       = > (гипотеза тупого угла),

       = = (гипотеза прямого угла),

       = < (гипотеза острого угла).

      Из  «гипотезы тупого угла» Саккери  выводит, что сумма углов треугольника равна  и, следовательно, сумма углов четырёхугольника равна , так что эта гипотеза противоречива (по его словам, «сама себя убивает») и должна быть отброшена.

      Саккери устанавливает далее, что гипотеза прямого угла влечёт пятый постулат Евклида. Поэтому для доказательства пятого постулата остаётся только опровергнуть гипотезу острого угла. С этой целью  Саккери далеко развивает систему  следствий из этой гипотезы, стремясь прийти к противоречию. Несмотря на непривычность получаемых результатов, ожидаемое противоречие не возникает…. В конце концов Саккери изменяет чувство строгости, характерное для его сочинения, он пускается в туманные заключения о бесконечно удалённых точках и без достаточного основания делает вывод, что «гипотеза острого угла противоречит природе прямой линии». Объективно Саккери пришёл к результату, противоречащему поставленной им цели: развивая следствия из гипотезы острого угла, он получил, не отдавая себе в этом отчёта, ряд предложений новой геометрии.

      В ходе дальнейших исследований идеи новой, неевклидовой геометрии всё более  определённо заявляют о праве  на существование, их логическая правомерность  выделяется всё рельефнее. 

      5.2 Генрих Ламберт.

      Швейцарский учёный Иоганн Генрих Ламберт (1728 – 1777) рассматривал четырёхугольник, три  угла которого прямые. Относительно четвёртого угла он, подобно Саккери, рассматривает  три логически возможных предположения (гипотезы).

      Ламберт заметил, что гипотеза тупого угла реализуется  на сфере, если рассматривать на ней  дуги больших окружностей в качестве прямых.

      В отличие от Саккери Ламберт отчётливо  понимал, что гипотезу острого угла ему опровергнуть не удалось. По этому  поводу он замечает: «Должна же существовать причина, почему она не поддаётся  опровержению… Гипотеза острого  угла влечёт за собой существование  абсолютной меры длины. В этом есть нечто восхитительное, что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза была справедлива… Я готов предположить, что она имеет место на какой-то мнимой сфере». Это предположение Ламберта в дальнейшем оправдалось самым замечательным образом. 

      5.3 Швейкарт и Тауринус.

      Швейкарт (1780-1859, профессор права в Харьковском  университете с 1812 по 1817 г.) и Тауринус (1794-1874) уже прямо рассматривают геометрию, где сумма углов треугольника не равна . Швейкарт называет свою геометрию «астральной» (звёздной), желая этим, по-видимому, подчеркнуть, что он не считает её реально осуществимой в земных условиях. Тауринус строит свою «логарифмо-сферическую» геометрию на сфере мнимого радиуса.

      Были  и другие авторы, исследовавшие ту или иную сторону новых геометрических предположений, но их работы не составляли решительного шага в области оснований  геометрии, не знаменовали сколь-нибудь значительного перелома в воззрениях на геометрию. Чтобы широко раскрыть систему новой геометрии, чтобы  показать возможность существования  какой-либо иной геометрии, помимо веками складывавшейся и утверждавшейся в  общественном сознании евклидовой геометрии, нужно было достигнуть в новой  геометрии такой же стройности и  законченности. 

      5.4 Янош Больяй.

      Среди работ, посвящённых новой геометрии, выделяется работа, известная под  названием «Аппендикс», написанная венгерским математиком Яношем Больяй в 1832 году. Отец Яноша, Фаркаш Больяй, всю жизнь занимался доказательством пятого постулата Евклида, но, конечно, не достиг цели. Будучи разочарованным в этой проблеме, он убедительно и страстно отговаривал сына от занятий теорией параллельных. «Молю тебя, не делай и ты попытку одолеть теорию параллельных. Ты затратишь на это всё своё время… Я изучил все пути до конца. Я не встретил ни одной идеи, которая бы не была разработана мною. Я прошёл весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту тему, страшись её. Этот беспросветный мрак… никогда не проясниться на земле…» - писал он сыну. Но молодой Больяй пошёл другим путём: он строил геометрию, «излагающую абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности пятого постулата Евклида». И уже в 1828 году, в возрасте 21 года, он писал отцу: «Я получил… замечательные результаты… из ничего я создал целый мир». И действительно, небольшое сочинение Я.Больяя, увидевшее свет только в 1832 году, содержит довольно развитое и систематическое изложение основ новой геометрии. Но это сочинение осталось в своё время незамеченным, не было понято современниками Больяя.

      Необходимы  были огромное гражданское мужество, убеждённость и самоотверженная  настойчивость в пропаганде идей новой геометрии, чтобы преодолеть косность современников и вековые  традиции геометрии. 

      5.5 Фридрих Гаусс.

      Характерна  в истории открытия неевклидовой геометрии роль одного из крупнейших математиков того времени К.Ф.Гаусса (1777-1855). Он много лет занимался  теорией параллельных и ещё в 1824 году писал Тауринусу: «Допущение, что сумма углов треугольника меньше , приводит к своеобразной геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил её для себя вполне удовлетворительно». Однако за всю свою жизнь Гаусс среди множества своих научных работ не решился опубликовать ни одного исследования по неевклидовой геометрии. «Я боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения»,- писал он Бесселю, намекая на ограниченность современных математических кругов. Осторожность Гаусса в отношении к вопросам неевклидовой геометрии не только не позволила ему выступить от своего имени, но помешала даже поддержать своим авторитетом других новаторов геометрии: он умалчивал об их открытиях и расхолаживал обращавшихся к нему авторов в их намерениях. «Осы, гнездо которых вы разрушаете, подымутся над Вашей головой»,- писал он Герлингу, приславшему ему свою работу о параллельных. Восторженно отзываясь в одном из частных писем об «Аппендиксе» и называя молодого Больяя «гением первой величины», Гаусс тем не менее не оказал ему необходимой моральной поддержки и в отзыве, направленном его отцу, выражался очень сдержанно и подчёркивал, что открытия Яноша для него лично не являются новыми. 
 

      5.6 Николай Иванович Лобачевский.

      Подлинным творцом неевклидовой геометрии, её систематизатором и первым пропагандистом был наш великий соотечественник  Николай Иванович Лобачевский.

     Н. И. Лобачевский родился 1 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде, в 1807 году поступил в Императорский Казанский Университет, в 1811 году окончил его. 19 февраля 1826 года представил доклад о своем открытии физико-математическому факультету. В течении всей своей жизни  он развивал свои идеи, которые излагал  в трудах “Начала геометрии”, “Воображаемая  геометрия” и других. За год до смерти он опубликовал свою работу “Пангеометрия” (1855г.).

Николай Иванович помимо научных трудов, вел  громадную работу, как профессор, главный библиотекарь, декан, а позднее  ректор Университета. 

      Лобачевский, развивая систему своих теорем, устанавливает, что эта система представляет собой новую геометрию (он назвал её «Воображаемой»), которая, как и евклидова, свободна от логических противоречий.