Геометрия вокруг нас

Введение

     Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

     Важную  роль играли и эстетические потребности  людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

     Кое-кто, возможно, считает, что различные  замысловатые линии, фигуры, поверхности  можно встретить только в книгах учёных-математиков. Однако, стоит осмотреться, и мы увидим, что многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. Оказывается их очень много. Просто мы их не всегда замечаем.  

История возникновения Геометрии.

     Треугольники, квадраты, ромбы, окружности… каждый ученик сталкивается с ними в школе на уроках  геометрии.

     Научная формулировка гласит, что  геометрия  – это раздел математики, который  изучает пространственные фигуры и  формы.

       Ещё в эпоху неолита люди  составляли на стенах пещер  орнаменты из треугольников, ромбов, прямоугольников, кругов. Древние  художники тонко чувствовали  красоту геометрических форм; наскальные  рисунки, выполненные с большой  любовью к природе, радовали глаз. Человек отмечал равенство, симметрию, подобие фигур. Со временем он научился использовать свойства фигур в практической жизни.  Геометрия – древнейшая наука, а первые геометры производили расчеты свыше тысячи лет назад.

       Земледельцы, жившие на берегах  великих рек: Нила, Тигра и Ефрата, Инда и Ганга, искусно делили свои земельные участки. Для проведения замеров были выработаны первые правила новой науки – « геометрии », что в переводе с греческого и означает – «землемерие».

Геометрические  фигуры интересовали наших предков  не только потому, что помогали решать практические задачи. Некоторые из фигур имели для людей магическое значение. Так, треугольник считался символом жизни, смерти и возрождения; квадрат – символом стабильности. Вселенную, бесконечность обозначали правильным пятиугольником – пентагоном, правильный шестиугольник – гексагон, являлся символом красоты и гармонии. Круг – знаком совершенства.

     Родиной геометрии считают обыкновенно  Вавилон и Египет. Греческие писатели единодушно сходятся на том, что геометрия возникла в Египте и оттуда перенесена в Элладу.

     Первые  шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в Индии, в Ассирии, в  Египте, были связаны с необходимостью измерять расстояния и участки на земле, объемы и веса материалов, продуктов, товаров; первые значительные сооружения требовали нивелирования, выдержанной вертикали, знакомства с планом и перспективой. Необходимость измерять промежутки времени требовала систематического наблюдения над движением светил, а следовательно, измерения углов. Всё это было неосуществимо без знакомства с элементами геометрии, и во всех названных странах основные геометрические представления возникали частью независимо друг от друга, частью — в порядке преемственной передачи. Однако точных сведений о познаниях египтян в области геометрии мы не имеем. Единственным первоисточником, дошедшим до нас, является папирус, написанный при фараоне Payee ученым писарем его Ахмесом (Ahmes) в период между 2000 и 1700 г. до нашей эры. Это — руководство, содержащее различного рода математические задачи и их решения; значительное большинство задач относится к арифметике, меньшая часть — к геометрии. Из последних почти все связаны с измерением площадей прямолинейных фигур и круга, причем Ахмес принимает площадь равнобедренного треугольника равной произведению основания на половину боковой стороны, а площадь круга — равной площади квадрата, сторона которого меньше диаметра на 1/3 его часть (это дает л=3,160...); площадь равнобочной трапеции он принимает равной произведению полусуммы параллельных сторон на боковую сторону. Как видно из нескольких других задач Ахмеса, египтяне в эту пору знали, что углы прямоугольного треугольника определяются отношением катетов. Как они пришли ко всем этим правилам, знали ли наиболее просвещенные жрецы — хранители египетской науки, — что их данные являются лишь приближенными, об этом мы не имеем никаких сведений. Столь же мало знаем мы о том, что прибавило к этим познаниям египтян следующее тысячелетие; сколько-нибудь значительных успехов они во всяком случае не сделали. Трудно сказать вполне точно, что из этих сведений египтяне открыли сами и что они заимствовали от вавилонян и индусов. Несомненно, лишь то, что геометрические сведения вавилонян были столь же отрывочны и столь же скудны. Им принадлежит деление окружности на 360о; они имели сведения о параллельных линиях и точно воспроизводили прямые углы; всё это было им необходимо при астрономических наблюдениях, которые, по-видимому, главным образом и привели к их геометрическим знаниям. Вавилоняне знали, что сторона правильного вписанного в круг шестиугольника равна радиусу. Характерным для этого первого, в известном смысле доисторического, периода геометрии являются две стороны дела: во-первых, установление наиболее элементарного геометрического материала, прямо необходимого в практической работе, а во-вторых, заимствование этого материала из природы путем непосредственного наблюдения («чувственного восприятия», по словам Евдема Родосского). Наиболее характерное выражение этого непосредственного апеллирования к интуиции как единственному удостоверению правильности высказанной истины мы находим у индусского математика Ганеши. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Геометрия вокруг нас

Геометрия  в быту.

     Стены, пол и потолок являются прямоугольниками (не будем обращать внимания на проёмы окон и дверей). Комнаты, кирпичи, шкаф, железобетонные блоки, напоминают своей  формой прямоугольный параллелепипед. Посмотрим на паркетный пол. Планки паркета – прямоугольники или  квадраты. Плитки пола в ванной, метро, на вокзалах чаще бывают правильными  шестиугольниками или восьмиугольниками, между которыми уложены небольшие  квадратики.

     Многие  вещи напоминают окружность – обруч, кольцо, дорожка вдоль арены цирка. Арена цирка, дно стакана или  тарелки имеют форму круга. Фигура, близкая к кругу, получится, если разрезать поперек арбуз. Нальем в стакан воду. Её поверхность имеет  форму круга. Если наклонить стакан, чтобы вода не выливалась, тогда  край водной поверхности станет эллипсом. А у кого-то есть столы в виде круга, овала или очень плоского параллелепипеда.

     Со  времени изобретения гончарного круга люди научились делать круглую  посуду – горшки, вазы. На геометрический шар похожи арбуз, глобус, разные мячи (футбольный, волейбольный, баскетбольный, резиновый). Поэтому, когда у футбольных болельщиков до матча спрашивают, с каким счетом он кончится, они  часто отвечают: «Не знаем –  мяч круглый».

     Ведро имеет форму усеченного конуса, у  которого верхнее основание больше нижнего. Впрочем, ведро бывает и  цилиндрической формы. Вообще, цилиндров и конусов в окружающем нас мире очень много: трубы парового отопления, кастрюли, бочки, стаканы, абажур, кружки, консервная банка, круглый карандаш, бревно и др.  
 
 

Геометрия  в архитектуре. 

     Дом приблизительно имеет вид прямоугольного параллелепипеда. В современной  архитектуре смело используются самые разные геометрические формы. Многие жилые дома, общественные здания украшаются колоннами.

     Окружность  как геометрическая фигура всегда привлекала к себе внимание художников, архитекторов. В неповторимом архитектурном облике Санкт - Петербурга восторг и удивление вызывает «чугунное кружево» - садовые ограды, перила мостов и набережных, балконные решетки и фонари. Четко просматриваемое на фоне фасада зданий летом, в изморози зимой, оно придает особое очарование городу. Особую воздушность придают воротам Таврического дворца (созданного в конце ХIII в. архитектором Ф.И.Волковым) окружности сплетенные в орнамент Торжественность и устремленность ввысь – такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок, представляющих дуги окружностей. Архитектура православных церквей включает в себя как обязательные элементы купола, арки, округлые своды, что зрительно увеличивает пространство, создает эффект полета, легкости.

     А как красив Московский Кремль. Прекрасны  его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде  стоит параллелепипед поменьше, с  проемами для окон, а ещё выше воздвигнута четырехугольная усечённая  пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой. Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими.

     Выразительный контраст треугольника и прямоугольника на фасаде привлекает внимание посетителей музея Гронингена (Голландия). Круглая, прямоугольная, квадратная – все эти формы прекрасно уживаются в здании Музея современного искусства в Сан-Франциско (США). Здание Центра современного искусства имени Жоржа Помпиду в Париже – сочетание гигантского прозрачного параллелепипеда с ажурной металлической арматурой. Главные элементы здания больницы в Берлине (Германия) – прямоугольники и окружности.  Геометрическая форма железнодорожной станции в аэропорту Лиона (Франция) напоминает древнюю гигантскую птицу и при этом сооружение суперсовременно.

     А сколько геометрических фигур можно  найти в конструкциях мостов. На парапете моста часто укрепляют  спасательные круги. Они по форме  очень близки к тору.

Геометрия  транспорта

     По  улице движутся автомобили, трамваи, троллейбусы. Их колеса с геометрической точки зрения – круги. В окружающем нас мире встречается много различных  поверхностей, сложных по форме, не имеющих специальных названий.

     Паровой котел напоминает цилиндр. В нем  находится пар под высоким  давлением. Поэтому стенки цилиндра слегка (незаметно для глаза) изгибаются, образуя поверхность очень сложной  и неправильной формы, которую инженеры должны знать, чтобы суметь правильно  рассчитать котел на прочность. Сложную  форму имеет и корпус подводной  лодки. Он должен быть хорошо обтекаемым, прочным и вместительным. От формы  корабельного корпуса зависит и  прочность корабля, и его устойчивость и скорость. Результат работы инженеров  над формой современных автомобилей, поездов, самолетов - высокие скорости движения. Если форма будет удачной, обтекаемой, сопротивление воздуха  значительно уменьшается, за счет чего увеличивается скорость. Сложную  форму имеют и детали машин  – гайки, винты, зубчатые колеса и т.д.

     Рассмотрим  ракеты и космические корабли. Корпус ракеты состоит из цилиндра (в котором  находятся двигатель и горючее), а в конической головной части  помещается кабина с приборами или  с космонавтом.  
 

Комбинации  окружающем нас мире.  

     Телевизионная башня, построенная замечательным  русским советским инженером  В.Г. Шуховым. Она состоит из частей, которые математики называют гиперболоидами вращения. Хотя сами части кривые, они  сложены из прямолинейных металлических  балок. Этим Шухов облегчил возведение башни.

     Колонны в большинстве случаев – цилиндры, но могут иметь и более сложную  форму. А обелиски в память погибших – четырехгранные столбы, сужающиеся к верху.

     В 1908 году группу молодых французских  художников в шутку прозвали кубистами  за то, что они изображали мир  в виде комбинаций геометрических фигур  – куба, шара, цилиндра, конуса. Из насмешливого прозвища родилось новее художественное направление «кубизм», влияние которого распространилось на весь мир.

Природные творения в виде геометрических фигур.

     До  сих пор рассматривали некоторые  геометрические формы, созданные руками человека. Но ведь в самой природе  очень много замечательных геометрических форм. Необыкновенно красивы и  разнообразны многоугольники, созданные  природой.

     Кристалл  соли имеет форму куба. Кристаллы горного хрусталя напоминают отточенный с двух сторон карандаш. Алмазы чаще всего встречаются в виде октаэдра, иногда куба. Существуют и многие микроскопические многоугольники. В микроскоп можно увидеть, что молекулы воды при замерзании располагаются в вершинах и центрах тетраэдров. Атом углерода всегда соединен с четырьмя другими атомами тоже в форме тетраэдра. Одна из самых изысканных геометрических фигур падает на нас с неба в виде снежинок. Обычная горошина имеет форму шара. И это неспроста. Когда стручок гороха созреет и лопнет, горошины упадут на землю и благодаря своей форме покатятся во все стороны, захватывая всё новые территории. Горошины кубической или пирамидальной формы так и остались бы лежать возле стебля. Шаровую форму принимают капельки росы, капли ртути из разбитого градусника, капли масла, оказавшиеся в толще воды. Все жидкости в состоянии невесомости обретают форму шара. Отчего шар так популярен? Это объясняется одним замечательным свойством: на изготовление шара расходуется значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того объёма. Поэтому, если вам нужен вместительный мешок, а ткани не хватает, шейте его в форме шара. Шар – единственное геометрическое тело, у которого наибольший объём заключен в наименьшую оболочку.