Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Октября 2011 в 12:48, курсовая работа
Результаты и выводы данной теории могут быть применимы к управлению объектами различной природы с различными принципами действия. В настоящее время сфера ее влияния расширилась на анализ динамики таких систем, как экономические, социальные и т.п. Поэтому прежнее название “Теория автоматического регулирования” заменено на более широкое - “Теория автоматического управления”.
Не будем останавливаться на строгих математических определениях устойчивости, так как самих этих определений устойчивости имеется несколько, их применимость связана с видом нелинейности системы. Для инженерной практики важно понимание двух теоретических фактов, установленных А.М. Ляпуновым в 1891г.:
Ограничимся инженерным понятием устойчивости, обычно достаточным при проектировании линейных и линеаризуемых систем.
Определение устойчивости системы (нестрогое):
С инженерной точки зрения, устойчивость понимается так:
Для линейных систем с постоянными коэффициентами все определения устойчивости эквивалентны и связаны с корнями характеристического уравнения, которое в разных представлениях САУ может выражаться несколько по-разному.
Рассмотрим простейший случай, когда САУ задана передаточной функцией:
В этом случае характеристическое уравнение связано
с полиномов в знаменателе передаточной функции:
Как всякое полиномиальное уравнение порядка n с вещественными коэффициентами, оно имеет ровно n корней (среди них возможны комплексно-сопряжённые).
Известно, что общее решение системы линейных дифференциальных уравнений или линейного дифференциального уравнения высокого порядка (эти понятия сводятся друг к другу) выражается в виде суммы общего решения однородного уравнения (с 0 правой частью) и частного решения неоднородного уравнения (формула (24)). Поэтому для того, чтобы переходный процесс заканчивался, надо, чтобы решение однородного уравнения в формуле (24) стремилось к 0 (или хотя бы к константе).
При тех сигналах, которые имеются в САУ, частное решение обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Следовательно, вопрос устойчивости сводится к устойчивости однородного уравнения.
Решение однородного уравнения выражается через корни характеристического уравнения и коэффициенты перед экспонентами, которые могут быть вычислены через вычеты:
здесь рк – корни характ. уравнения n-го порядка.
Из этой формулы делаем основной вывод: чтобы переходный процесс заканчивался:
Для проверки
факта отрицательности
Первые два способа называются алгебраическими, последний частотным. В инженерной практике необходимо иметь эффективные критерии исследования устойчивости, то есть удобные правила проверки устойчивости.
Замечание: Сам по себе критерий не обязан быть необходимым и достаточным условием. Обычно получения такого критерия является делом более сложным, чем отдельно необходимого или достаточного критерия. Особенно ярко это проявляется в случае нелинейных систем, которые будут рассмотрены во второй части нашего курса лекций.
Алгебраические методы исследования устойчивости.
Если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (система устойчива), то все коэффициенты уравнения имеют один знак:
Р(р) = a0xn + a1xn-1 +…+ an = 0 ; {ak ><0} одновременно.
Равенство коэффициентов нулю не допускается (граница устойчивости).
Доказательство очень простое, заключается в разложении полинома на простейшие множители - скобки. Эти скобки могут быть вещественные или комплексно-сопряжённые. Объединим последние в пары и перемножим:
При раскрывании скобок, если вещественные части корней отрицательны, а коэффициент а0>0, получим полином с положительными коэффициентами. При отрицательном а0 все коэффициенты полинома будут отрицательны. Сама схема рассуждения показывает, что получено лишь необходимое условие устойчивости. Простейшие примеры это демрнстрируют:
Например: p2 – p + 1– неустойчивый полином;
3p3 + p2 - p + 1 – также неустойчивый.
Однако, p2 + p + 1– устойчивый полином (необходимо вычислить корни);
но!: 3p3 + p2 + p + 1– также неустойчивый (проверьте!), хотя необхо-
димое условие устойчивости выполнено.
Приведённый
пример показывает, что данное условие,
в самом деле, лишь необходимое, но
не обязательно достаточное. Область
его применения – отсеивание заведомо
неустойчивых систем.
(Адольф
Гурвиц, Цюрих 1895г.)
При условии an >0 (это условие легко изменить на противоположное) для устойчивости необходимо и достаточно выполнения n неравенств: Гk > 0 при к = 1,..,n , где n – порядок системы:
В первой строке каждого определителя находятся нечётные коэффициенты уравнения. Во второй строке – чётные. Далее идёт сдвиг на одно место вправо и т.д. В итоге проверяются n определителей, которые являются главными диагональными минорами матрицы Гурвица Гn.
Сложности использования критерия Гурвица быстро возрастают с ростом порядка полинома. Возможно эффективное использование критерия при величине n <5, так как при больших размерностях число проверяемых условий стремительно возрастает.
Рассмотрим простейшие случаи.
Итак, в системе первого порядка необходимое условие устойчивости совпадает с достаточным и сводится к одновременной положительности коэффициентов.
В системе второго порядка необходимое условие устойчивости также совпадает с достаточным и сводится к одновременной положительности коэффициентов.
В этих трёх условиях 1 и 3 не дают ничего нового, а второе условие является содержательным, отличая систему 3 порядка от 2 и 1.
В системе третьего порядка необходимое условие устойчивости не совпадает с достаточным и сводится не только к одновременной положительности коэффициентов, но ик дополнительному неравенству:
Возвращаясь
к примеру на предыдущей странице,
становится понятно, почему полином
3p3 + p2 +
p + 1 является неустойчивым, так как
не выполняется необходимое
и достаточное условие устойчивости
a1a2-a0a3
>0, вытекающее из критерия Гурвица.
При увеличении порядка системы n число подобных неравенств, требующих проверки, и их сложность стремительно растут, например, для системы порядка четыре необходимо проверить уже более сложное неравенство a3(a1a2-a0a3)- a4a12>0, а для порядка пять - двух ещё более сложных неравенств. Заметим, что существует целый ряд модификаций критерия Гурвица, в том числе, и существенно упрощающих вычисления, например, критерий Рауса. Доказательство критерия Гурвица-Рауса мы не приводим, так как оно достаточно сложное.
Частотные методы исследования устойчивости.
Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней характеристического полинома Р(р) с годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. графиком комплексно-значной функции Р(jw) при изменении w от 0 до ¥.
Основным
теоретическим результатом
(А.В.Михайлов,
Москва 1938г.)
Критерий Михайлова основан на принципе аргумента функции комплексного переменного: при обходе любого замкнутого контура на комплексной плоскости переменного z приращение аргумента функции комплексного переменного P(z): Δarg P(z)= (m-k)•2p, где m- число нулей функции P(z), а k- число полюсов функции P(z). Применительно к годографу характеристического полинома получаем следующее условие Михайлова, являющееся критерием устойчивости (данное условие - необходимое и достаточное):