В самом деле, в данном случае в  качестве контура можно взять границу полуокруга бесконечного радиуса, находящегося в правой полуплоскости и имеющего в качестве диаметра мнимую полуось.  Далее, полином не имеет полюсов, поэтому принцип аргумента в этом случае означает: Δarg P(jw)= m•2p, где m- число неустойчивых корней характеристического уравнения P(z)=0. Так как  P(-jw)= P(jw), то достаточно ограничиться изменением частоты лишь  в пределах от 0 до ¥, то есть именно в том диапазоне, в котором строится АФЧХ. Окончательно, учитывая эту симметрию годографа относительно вещественной оси и тот факт, что в устойчивой  системе не должно быть корней в правой полуплоскости: Δarg P(jw)= n•p/2,  при изменении w от  0 до  ¥.   (Более подробно,- необходимо рассмотреть весь контур, как совокупность двух - мнимой оси и полуокружности бесконечного радиуса. Для совокупности этих двух контуров справедлив принцип аргумента, а приращение аргумента P(z) на полуокружности равно pn.) 

Нарушение любой части Критерия Михайлова приводит к неустойчивости.

                                  ImP(jw)                                                              ImP(jw)

                                                                                  w→¥

                                                  ReP(jw)                                                           ReP(jw)

                                       w=0                                                       w=0 

                                                                                                w→¥

 

    w→¥   

 

  

Из критерия Михайлова вытекает простое правило перемежаемости (чередуемости) корней. В самом деле, из рисунка видно, что корни мнимой и вещественных частей при увеличении  w сменяют друг друга в строгой последовательности, запишем это условие в явном виде:

 
 
 

Найдем корни  отдельно вещественной и отдельно мнимой части и расположим их в порядке  возрастания:                                      - правило чередования корней.  Заметим, что здесь строгие неравенства.

Применим  для полинома третьего порядка:

  

  
 

Корни:                                                                                          (1)  
 

Условие чередования даёт:                  т.е. a₁a₂>a₀a₃, это же вытекает для системы третьего  порядка                          (45) и из критерия Гурвица.

Отметим, что преимущество применения правила  перемежаемости – более простые  полиномы (только чётного и только нечётного порядка). Также неоспоримым преимуществом является наглядность критерия.

     Основные  показатели качества в переходном режиме.

     Устойчивость  является необходимым, но недостаточным  условием пригодности САУ для  практического использования. Кроме  устойчивости САУ должна удовлетворять  ряду требований, характеризующих работу системы как в установившемся, так и переходном режимах, т.е. обеспечивать определенное качество регулирования. Основным показателем, характеризующим качество регулирования в установившемся режиме является точность, которая определяется величиной отклонения регулируемой величины от ее заданного значения после окончания переходного процесса.

     Рассмотрим  показатели, характеризующие качество регулирования в переходном режиме. Эти показатели оцениваются по реакции  системы на некоторые тестовые воздействия (единичная ступенчатая, единичная  импульсная).

     Наиболее  широко используется ступенчатая функция 

Рисунок 1. 
 

1. Время  регулирования – t_р. Это длительность переходного процесса от момента приложения к системе воздействия до момента, когда отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения станет меньше некоторой заданной величины .

2. Перерегулирование  σ- максимальное отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения в относительных единицах или в %.

               σ=10÷30%

3. Число колебаний – n (за время ) обычно (1÷2) реже (3÷4). Иногда n=0. 
 

    2.Практическая часть.

     Тема  III. Структурная схема системы автоматического управления (САУ) имеет вид (Рис. 3):

Рис. 1.3

      Требуется:

1) определить  передаточную функцию разомкнутой  системы, передаточные функции замкнутой системы:

     а) относительно управляемой величины по задающему воздействию,

     б) относительно управляемой величины по возмущающему воздействию,

     в) относительно ошибки по задающему воздействию,

     г) относительно ошибки по возмущающему воздействию,

     д) по структурной схеме составить уравнения системы управления при f(t)=0. 

     Предполагая f(t)=0

2) Исследовать  устойчивость САУ по критерию  Михайлова и Гурвица.

3) Построить  переходную характеристику системы  по задающему воздействию и  по ней определить инженерные показатели качества регулирования: время регулирования, перерегулирование, число колебаний переходного процесса.

4) Создать информационную  систему компьютерного моделирования  для выполнения расчетов и  графических построений, предусмотренных  в пункте 2 и 3 курсовой работы. 

                    

 Таблица  1.3

 
 

2.3.1 Передаточная  функция разомкнутой системы  имеет вид (считая f(t)=const или f(t)=0): 

 

=(5,44S+6,4)/1+3,9S+6,24S²+2,8S³. 

2.3.1а  Передаточная функция замкнутой  системы относительно управляемой  величины по задающему воздействию  равна: 

= 

=(5,44S+6,4)/7,4+9,34S+6,24S²2,8S³. 
 

2.3.1б  Преобразуем схему на Рис. 2.3.1 относительно ошибки (выход) и задающего воздействия (вход) (Рис. 2).  

 

Рис. 2.3.2 

     Передаточная  функция замкнутой системы относительно ошибки по задающему воздействию  равна (считая f(t)=const или f(t)=0):

 

=(1+3,9S+6,24S²+2,8S³)/7,4+9,34S+6,24S²+2,8S³. 
 

2.3.1в  Преобразуем схему на Рис. 2.3.1 относительно ошибки (выход) и  возмущающего воздействия (вход) (Рис. 2.3.3). 

Рис. 2.3.3

 

     Передаточная  функция замкнутой системы относительно ошибки по возмущающему воздействию равна (считая g(t)=const или g(t)=0): 

. 

2.3.1г  Преобразуем схему на Рис. 2.3.1 относительно управляемой величины (выход) и возмущающего воздействия  (вход) (Рис. 2.3.4). 

Рис. 2.3.4 

     Передаточная функция замкнутой системы относительно управляемой величины по возмущающему воздействию равна (считая g(t)=const или g(t)=0): 

. 

2.3.1д  Приведя систему к форме Коши, получим уравнения состояния. 

 

 

 

      Пусть g(t)=const=1, тогда при x=x₁ получим: