Индексный метод в изучении производственных показателей (на примере основных производственных фондов)

 

Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением фондовооруженности от группы к группе систематически возрастает и среднегодовая стоимость ОПФ по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

 

2. Измерение тесноты и силы  корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные  показатели – эмпирический коэффициент  детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько  вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора  Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле:

,

где – общая дисперсия признака Y,

 – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство = 0, а при наличии функциональной связи между ними – равенство = 1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного  признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

или как средняя взвешенная по частоте  групп интервального ряда:

Для вычисления удобно использовать формулу расчета по всем единицам совокупности, т.к. в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет :

(млн руб.).

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 8.

Таблица 8

Вспомогательная таблица для расчета  общей дисперсии

Номер предприятия п/п	Среднегодовая стоимость  ОПФ, млн руб.
1	2	3	4	5
1	100,20	18,2	331,24	10040,04
2	77,14	-4,86	23,62	5950,58
3	92,80	10,8	116,64	8611,84
4	71,84	-10,16	103,23	5160,99
5	83,24	1,24	1,54	6928,90
6	140,00	58	3364,00	19600,00
7	108,54	26,54	704,37	11780,93
8	90,67	8,67	75,17	8221,05
9	76,23	-5,77	33,29	5811,01
10	101,80	19,8	392,04	10363,24
11	73,82	-8,18	66,91	5449,39
12	51,49	-30,51	930,86	2651,22
13	91,61	9,61	92,35	8392,39
14	104,64	22,64	512,57	10949,53
15	56,69	-25,31	640,60	3213,76
16	48,81	-33,19	1101,58	2382,42
17	40,00	-42	1764,00	1600,00
18	70,32	-11,68	136,42	4944,90
19	116,00	34	1156,00	13456,00
20	103,82	21,82	476,11	10778,59
21	89,64	7,64	58,37	8035,33
22	81,93	-0,07	0,00	6712,52
23	67,71	-14,29	204,20	4584,64
24	89,30	7,3	53,29	7974,49
25	52,70	-29,3	858,49	2777,29
26	69,42	-12,58	158,26	4819,14
27	62,41	-19,59	383,77	3895,01
28	91,28	9,28	86,12	8332,04
29	79,20	-2,8	7,84	6272,64
30	76,75	-5,25	27,56	5890,56
Итого	2460,0	3,00	13864,44	215585,44

 

Расчет общей дисперсии  по формуле:

.

Общая дисперсия может  быть также рассчитана по формуле:

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

 – квадрат средней величины  значений результативного признака.

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле:

,

где – групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится  вспомогательная таблица 9. При этом используются групповые средние значения из табл. 7 (графа 5).

Таблица 9

Вспомогательная таблица  для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по фондовооруженности, млн руб.	Число предприятий,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
290,6 – 315,6	1	40,00	-42,00	1764,00
315,6 – 340,6	1	48,81	-33,19	1101,58
340,6 – 365,6	9	64,04	-17,96	2903,05
365,6 – 390,6	9	82,68	0,68	4,16
390,6 – 415,6	6	97,06	15,06	1360,82
415,6 – 440,6	4	117,09	35,09	4925,23
Итого	30			12063,85

 

Расчет межгрупповой дисперсии :

.

Расчет эмпирического коэффициента детерминации :

 или 87,01%.

Вывод. 87,01% вариации среднегодовой стоимости ОПФ предприятий обусловлено вариацией фондовооруженности, а 12,99% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

.

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 10):

Таблица 10

Шкала Чэддока

	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

 

Расчет эмпирического  корреляционного отношения :

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь  между фондовооруженностью и среднегодовой стоимостью ОПФ предприятий является весьма тесной.

 

3. Оценка статистической значимости  коэффициента детерминации  .

Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействие какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей  на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле:

,

где n – число единиц выборочной совокупности,

m – количество групп,

 – межгрупповая дисперсия,

 – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

 – средняя арифметическая  групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости α и параметров k₁, k₂, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений α, k₁, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений α, k₁, k₂. Уровень значимости α в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F_расч>F_табл, коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений α=0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48

 

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки = 87,01%, полученной при = 462,148, = 402,128:

F_{расч .}

Табличное значение F-критерия при α = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл (α, 5,24)
30	6	5	24	2,62

 

Вывод: поскольку F_расч>F_табл, то величина коэффициента детерминации = 87,01% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками фондовооруженность и среднегодовая стоимость ОПФ предприятий правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности предприятий.

 

 

Задание 3.

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1. Ошибку выборки средней величины  фондовооруженности труда работников  и границы, в которых будет  находиться средняя величина  фондовооруженности труда для генеральной совокупности предприятий.

2. Ошибку выборки доли предприятий  с фондовооруженностью труда  работников 380,6 тыс. руб./чел. и  более, а также границы, в  которых будет находиться генеральная  доля.

Решение:

1. Определим ошибку выборки средней величины фондовооруженности труда работников и границы, в которых будет находиться средняя величина фондовооруженности труда для генеральной совокупности предприятий.

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением  степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства  генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок – среднюю и предельную .