Корреляционно-регрессионый анализ зависимости работающих активов от капитала по показателям 32 банков

Параметры уравнения a₀ , a₁ находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_i от выравненных ŷ : 

S(y_i – ŷ)² = S(y_i – a₀ – a₁x_i)² ® min 

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений: 

    .

Решим эту  систему в общем виде:

Параметры уравнения  парной линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

Определив значения a₀ , a₁ и подставив их в уравнение связи   ŷ = a₀ + a₁x , находим значения ŷ , зависящие только от заданного значения х. 

Рассмотрим  построение однофакторного уравнения регрессии зависимости работающих активов у от капитала х (см. приложение, таблица 1).

Здесь представлены показатели 32 банков: размер капитала и работающих активов. Передо мной стоит задача определить, есть ли зависимость между этими двумя  признаками и, если она существует, определить форму этой зависимости, то есть уравнение регрессии.

За факторный  признак я взяла размер капитала банка, а за результативный признак  – работающие активы.

Сопоставление данных параллельных рядов признаков  х и у показывает, что с убыванием признака х (капитал), в большинстве случаев убывает и признак у (работающие активы).

Следовательно, можно предположить, что между  х и у существует прямая зависимость, пусть неполная, но выраженная достаточно ясно.

Для уточнения  формы связи между рассматриваемыми признаками я использовала графический метод. Я нанесла на график точки, соответствующие значениям х и у, и получила корреляционное поле (см. приложение, график 1).

Анализируя  поле корреляции, можно предположить, что возрастание признака у идет пропорционально признаку х. В основе этой зависимости лежит прямолинейная связь, которая может быть выражена простым линейным уравнением регрессии:

 

ŷ = a₀ + a₁x, 

где ŷ - теоретические расчётные значения результативного признака (работающие активы), полученные по уравнению регрессии;

     a₀ , a₁ -  коэффициенты (параметры) уравнения регрессии;

     х – капитал исследуемых банков.

Пользуясь вышеуказанными формулами для вычисления параметров линейного уравнения  регрессии и расчётными значениями из таблицы 1, получаем: 

 

Следовательно, регрессионная модель зависимости  работающих активов от капитала банков может быть записана в виде конкретного  простого уравнения регрессии: 

. 

Это уравнение  характеризует зависимость работающих активов от капитала банка. Расчётные значения ŷ , найденные по этому уравнению, приведены в таблице 1. Правильность расчёта параметров уравнения регрессии может быть проверена сравниванием сумм ∑у = ∑ŷ . В моем случае эти суммы равны.

Но для того, чтобы применить мою формулу, надо рассчитать, насколько она приближенна к реальности, то есть проверить ее адекватность. 
 

Проверка  адекватности регрессионной  модели. 

Для практического  использования моделей регрессии  большое значение имеет их адекватность, т.е. соответствие фактическим статистическим данным.

Корреляционный  и регрессионный анализ обычно (особенно в условиях так называемого малого и среднего бизнеса) проводится для  ограниченной по объёму совокупности. Поэтому показатели регрессии и корреляции – параметры уравнения регрессии, коэффициенты корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Чтобы проверить, насколько эти показатели характерны для всей генеральной совокупности, не являются ли они результатом стечения случайных обстоятельств, необходимо проверить адекватность построенных статистических моделей.

При численности  объектов анализа до 30 единиц возникает  необходимость проверки значимости (существенности) каждого коэффициента регрессии. При этом выясняют насколько вычисленные параметры характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин.

Значимость  коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t-критерия

для параметра  a₀ : 

 для параметра  a₁ :          

  

где n - объём выборки; 

- среднее  квадратическое отклонение результативного  признака от выравненных значений ŷ ;  

    или     

- среднее  квадратическое отклонение факторного  признака x от общей средней .

Вычисленные по вышеприведенным формулам значения сравнивают с критическими t , которые определяют по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости  α и числом степеней свободы вариации . В социально-экономических исследованиях уровень значимости α обычно принимают равным 0,05. Параметр признаётся значимым (существенным) при условии, если t_расч> t_табл . В таком случае практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями. 

Теперь я  рассчитаю t-критерий Стьюдента для моей модели регрессии.

- это  средние квадратические отклонения. 

 

Расчетные значения t-критерия Стьюдента:

По таблице  распределения Стьюдента я нахожу критическое значение t-критерия для  ν= 32-2 = 30 . Вероятность α я принимаю 0,05. t_табл равно 2,042. Так как, оба значения ta₀ и ta₁ больше t_табл , то оба параметра а₀ и а₁ признаются значимыми и отклоняется гипотеза о том, что каждый из этих параметров в действительности равен 0 , и лишь в силу случайных обстоятельств оказался равным проверяемой величине. 

Проверка  адекватности регрессионной  модели  может быть дополнена корреляционным анализом. Для этого необходимо определить тесноту  корреляционной связи между переменными х и у. Теснота корреляционной связи, как и любой другой, может быть измерена эмпирическим корреляционным отношением η_э , когда δ² (межгрупповая дисперсия) характеризует отклонения групповых средних результативного признака от общей средней: .

Говоря  о корреляционном отношении как  о показателе измерения тесноты зависимости, следует отличать от эмпирического корреляционного отношения – теоретическое.

Теоретическое корреляционное отношение  η представляет собой относительную величину, получающуюся в результате сравнения среднего квадратического отклонения выравненных значений результативного признака  δ, то есть рассчитанных по уравнению регрессии, со средним квадратическим отношением эмпирических (фактических) значений результативности признака σ: 

  , 

где ;       . 

Тогда . 

Изменение значения η объясняется влиянием факторного признака.

В основе расчёта корреляционного отношения  лежит правило сложения дисперсий, то есть , где   -   отражает вариацию у за счёт всех остальных факторов, кроме х , то есть являются остаточной дисперсией: 

. 

Тогда формула теоретического корреляционного отношения примет вид: 

, 

или       

. 

Подкоренное выражение корреляционного выражения  представляет собой коэффициент детерминации (мера определенности, причинности).

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под влиянием вариации признака-фактора.

Теоретическое корреляционное выражение применяется  для измерения тесноты связи  при линейной и криволинейной  зависимостях между результативным и факторным признаком.

Как видно  из вышеприведенных формул корреляционное отношение может находиться от 0 до 1. Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем связь между признаками теснее. 

Теоретическое корреляционное отношение применительно  к  моему анализу я рассчитаю двумя способами: 

 

Полученное  значение теоретического корреляционного отношения свидетельствует о возможном наличии среднестатистической связи между рассматриваемыми признаками. Коэффициент детерминации равен 0,62. Отсюда я заключаю, что 62% общей вариации работающих активов изучаемых банков обусловлено вариацией фактора – капитала банков (а 38% общей вариации нельзя объяснить изменением размера капитала). 

Кроме того, при линейной форме уравнения  применяется другой показатель тесноты  связи – линейный коэффициент корреляции:  

, 

где n – число наблюдений.

Для практических вычислений при малом числе наблюдений (n≤20÷30) линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле: 

. 

Значение  линейного коэффициента корреляции важно для исследования социально-экономических  явлений и процессов, распределение  которых близко к нормальному. Он принимает значения в интервале: -1≤ r ≤ 1.

Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные – на прямую. При  r = 0 линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при r = ±1 – связь функциональная.

Используя данные таблицы 1 я рассчитала линейный коэффициент корреляции r. Но чтобы использовать формулу для линейного коэффициента корреляции рассчитаем дисперсию результативного признака σ_y:  

 

Квадрат линейного коэффициента корреляции r² называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, то есть 0 ≤ r² ≤ 1. Степень тесноты связи полностью соответствует теоретическому корреляционному отношению, которое является более универсальным показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.