Многомерное шкалирование в экономических исследованиях

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

Экономический факультет

Кафедра «Математические  методы в экономике»

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Многомерный статистический анализ» 

на тему:

«Многомерное шкалирование в экономических исследованиях»

 

 

Выполнила: студентка 1 курса магистратуры гр. 1-ММАЭ

Зюзько Ю.А.

 

Руководитель: кандидат физ.-мат. наук, ст. преп. Ямилова Л.С.

 

«___»_________________2012г.

 

 

 

УФА 2012

 

 

 

Содержание

Введение 4

1. Неметрические методы многомерного шкалирования 5

2. Модели поиска индивидуальных различий 16

3. Анализ предпочтений 27

Заключение 41

Список литературы 42

 

 

Введение

Методы многомерного шкалирования (МШ) разрабатывались и применяются в практике для исследований сложных явлений и процессов, не поддающихся непосредственному описанию или моделированию- В основу теории многомерного шкалирования положена идея о возможности развертывания наблюдаемых объектов в некотором теоретическом пространстве, адекватно отображающем реальность.

В отличие от других статистических методов поиск координатного пространства в МШ осуществляется не по значениям самих характеризующих объекты признаков, а по данным, представляющим различия, или, наоборот, сходство этих объектов. Основным источником данных здесь являются в одних случаях эксперты, субъективно воспринимающие и оценивающие относительное расположение объектов наблюдения в реальных условиях, в других — результаты прямой регистрации сведений о состоянии и поведении объектов. Тривиально и больше распространено экспертное оценивание.

Цель аналитической работы с данными — определение местонахождения объекта в «пространстве восприятия (субъектов)» и создание его образа. Имеется в виду, что непосредственно о самом объекте даже по значениям некоторого набора признаков нельзя судить достаточно надежно или полно. В то же время эксперты или просто наблюдатели еще до проведения аналитических расчетов видят, интуитивно чувствуют различия изучаемых объектов. Неосознанные, нечеткие представления об объектах должны быть конкретизированы и это осуществимо в теоретическом «пространстве восприятия», построенном по субъективным оценкам. В этом представляемом пространстве проявляют себя латентные факторы, становится очевидным действие этих факторов на пространственное расположение объекта, измеримо расстояние между объектами.

 

1. Неметрические методы многомерного шкалирования

Методы неметрического МШ применяют для обработки ранговых (порядковых) данных. Решающим условием, обеспечивающим адекватность аналитических выводов, здесь становится соответствие монотонных связей эмпирических и теоретических данных, т.е. если реально существует порядковая зависимость  δ_ij< δ_tl то в определяемом шкальном пространстве соответственно должно быть d_ij<d_tl. Вид монотонности заранее неизвестен и методом проб подбирается функция, наилучшим образом описывающая эмпирические данные: линейная, степенная, показательная или логарифмическая.

Отобрав в качестве меры расстояния евклидову метрику (d^е). можно записать равенство, задающее алгоритм поиска шкального пространства по Шепарду (1962 г.):

 

где — произвольная монотонная функция. Если, например,/~ линейная функция, приведенное равенство можно переписать в виде:

 

 

Более общий случай предполагает оценку различий объектов в m-мерном пространстве Минковского (подход Дж. Краскала, 1964 г.), тогда:

 

Универсальная модель неметрического МШ, построенная на метрике Минковского, легко позволяет перейти к другим моделям:

•   с евклидовой метрикой, при т=2;

•   с метрикой доминирования, при m→∞. Модель имеет вид:

 

,

 

т.е. расстояние между стимулами i и j определяется разностью координат только по одной оси, по которой величина разности максимальна;

с метрикой города (city-block , или l₁-норма). Для этого случая предположение о монотонности данных формально записывается следующим образом:

 

 

 

Вне зависимости от выбора базовой модели для описания различий объектов методы неметрического МШ реализуются в последовательности, как это показано на рис. 1.1.

 

Рис. 1.1 Схема алгоритма неметрического МШ

 

Остановимся на основных алгоритмических  шагах неметрического МШ:

Шаг 1. Получение матрицы различий, содержащей ранговые данные — характеристики непохожести анализируемых объектов.

Существуют различные  приемы получения исходных ранговых данных, наиболее распространены в анализе из них следующие:

•  метод последовательной рандомизации, его сущность в последовательно проводимом делении совокупности наблюдаемых объектов на группы. При первом делении появляются две группы — пары похожих объектов и пары непохожих объектов. Затем в каждой группе соответственно находят пары с наиболее и менее похожими объектами и т. д. На заключительном этапе получают п (п—1)/2 пар, ранжированных по степени сходства (или наоборот — «непохожести»);

•  метод исходной (якорной) точки, из общего числа п объектов на первом шаге отбирают один и его положение в совокупности принимается за исходное относительно других объектов. Степень сходства всех прочих объектов с первым (якорным) оценивается экспертами с присвоением ранга. На следующем шаге якорным становится другой, следующий из совокупности объект. И так для всех объектов. В общем получают п(n—1) ранговых оценок парных сходств, по которым легко строится матрица различий А;

•  метод рейтинговой оценки. Экспертам предлагается шкала с некоторым числом делений (обычно 7—9), позволяющих оценивать каждую пару объектов по степени их сходства, например, как это показано на рисунке:

Предположим, что одним  из перечисленных методов установлены ранговые оценки для пяти государств, бывших республик СССР, с учетом их экономического и политического положения в 1994 г. Результаты экспертного оценивания после их обобщения могли бы быть представлены, например, как показано в табл. 8.2¹.

Данные табл. 1.1 подтверждают, что для пяти наблюдаемых объектов будет получено именно 10, то есть п(n—1) ранговых оценок.

Таблица 1.1. Порядковые характеристики различий пяти государств с учетом их экономического и политического положения А

	Армения	Беларусь	Россия	Таджикистан	Литва
Армения1	—	10	9	3	7
Беларусь	10	—	1	5	2
Россия	9	1	-	4	6
Таджикистан	3	5	4	-	8
Литва	7	2	6	8	-

Для следующего алгоритмического шага данные о Различиях пяти стран можно оставить в первоначальном виде или преобразовать их в количественные. Другими словами, возможна их оцифровка. В своей книге М. Дэйвисон [32, с. 107] описывает надежный и одновременно простой прием перехода к Матрице с количественными характеристиками различий: вначале на ранговых данных строится матрица корреляций R, оценку различий, т.е. элементы матрицы Д, определяются затем с учетом имеющихся величин парных коэффициентов корреляций r_ij по формуле:

Шаг 2. Поиск стартовой конфигурации. Эта проблема может быть решена с использованием разнообразных методов и подходов: простой ординации Орлочи, алгоритмов Торгерсона, Краскала и других, даже простым подбором случайных чисел.

В примере по данным табл. 1.1 первые приблизительные оценки координат вычислены методом главных компонент. Получены нестандартизованные характеристики по первым двум координатным осям, объясняющим более 98% общей Дисперсии значений стимульных признаков (табл. 1.2).

Координатные оценки стимулов позволяют дать названии каждой из шкал. По оси X1 на одном конце наибольшую факторную нагрузку имеют Армения и Таджикистан, на другом — Беларусь и Литва; очевидно, что эта ось вытянута в направлении Юг-Север. Аналогичного рода рассуждения приводят к мысли, что ось X2 определяется направлением Восток-Запад,

Таблица 1.2. Стартовая конфигурация для неметрического шкалирования пяти государств, республик бывшего СССР

Стимул	Первая координатная ось Х1	Вторая координатная ось Х2
Армения Беларусь  Россия Таджикистан Литва	-0,974 0,958 0,701 -0,690 0,772	0,217 -0,254 -0,710 -0,697 0,610

 

Шаг 3. Стандартизация оценок координат и расстояний. Стандартизация проводится с целью сохранить пропорции ортонормированного стимульного пространства и избежать вырожденных решений, когда пространство стимулов сжимается до размеров точки и анализ не дает сколько-нибудь значимых результатов. Например, когда несколько стимулов получают одинаковые оценки координат или их координатные оценки близки нулю, т.е. расположены вблизи начала системы координат. Стимулы в таком теоретическом пространстве шкал как бы сливаются и становятся неразличимы для исследователя.

Допускаются различные варианты стандартизации. Выберем хорошо знакомый способ:

 

Стандартизовав координаты стимулов и рассчитав по ним расстояния между стимулами, получим элементы матрицы стандартизованных оценок расстояний. Величины расстояний в пространстве шкал Х₁ X₂ будем оценивать по формуле евклидовой метрики:

 

Стандартизованные оценки, результаты вычислений сведем в табл. 1.3.

Т а б л и ц а 1.3. Нестандартизованные и стандартизованные оценки координат и расстояний для пяти государств

 

Нестандартизованные оценки
координат	расстояний dij
X1         Х2 Армения          -0,974      0,217 Беларусь           -0,958    -0,254 Россия                0.701    -0,710 Таджикистан    -0,690    -0,697 Литва                 0,772       0,610	0          1,989    1,914   0,962    1,789 1,989       0     0,523    1,703    0,884 1,914    0,523      0       1,391    1,322 0,962    1,703    1,391      0       1,961 1,789    0,884    1,322    1,961      0
Стандартизованные оценки
координат	расстояний dij
X1         Х2 Армения          -1,384      0,724 Беларусь           -0,988    -0,164 Россия                0,672    -1,026 Таджикистан    0,672    -1,000 Литва                 0,760      1,466	0       2,532    2,700    1,759    2,269 2,532      0      0,918    2,190    1,646 2,700   0,918      0       1,708    2,507 1,759    2,190    1,708      0       3,051 2,269    1,646    2,507   3,051       0

 

Шаг 4. Неметрический этап. Алгоритмический шаг предназначен для упорядочения оценок расстояний между стимулами.

В теоретическом пространстве шкал X_k монотонность исходных данных может нарушаться (рис. 1.2). Корректировка теоретических величин расстояний d_i} производится при неизменных оценках координат стимулов и таким образом, чтобы восстановить общую тенденцию к возрастанию в исходных данных о различиях.

рис. 1.2. Отношения ранговых порядков стимулов по исходным и теоретическим данным на первой итерации

Рис. 1.2 построен по данным рассматриваемого примера и наглядно показывает возникшее несоответствие в изменении исходных и теоретических ранговых оценок (табл. 1.4). По оси δ_ij отложены фактические значения характеристик различий, по оси — значения, принимаемые в теоретическом пространстве шкал X₁, Х₂. Линия L₁— прямая монотонной функции равномерно возрастающих оценок δ_ij, линия L₂ построена с учетом  отклонений эмпирических ранговых оценок от теоретических. Прописными буквами обозначены пары стран.