Многомерное шкалирование в экономических исследованиях

Заслуга в разработке теории анализа предпочтений, как и по другим направлениям МШ, принадлежит  американским ученым. В их числе  К. Кумбс, предложивший в 1964 г. дистанционную модель для данных о предпочтениях, ее часто называют моделью для развертывания. Для работы модели используется исходная матрица данных, которая есть не матрица различий, а матрица предпочтений, с элементами — величинами расстояний до идеала. Согласно модели для каждого из субъектов имеются координаты идеальных точек (x_sk), x_sk— значение, принимаемое субъектом s по оси к за идеальное, и чем ближе стимул к идеалу, тем большее предпочтение оказывается ему субъектом.

Действующая модель для метрической  версии:

 

 

где — величина предпочтения субъектом s стимула i. Основополагающее требование по-прежнему заключается в адекватности теоретических данных фактическим, что, собственно, означает соответствие эмпирических характеристик предпочтений оценкам предпочтений в I-мерном пространстве шкал. Величина выступает мерой удаления от идеала, т.е. насколько стимул i не нравится субъекту s, уменьшение указывает на возрастание предпочтений и, наоборот, рост его значений означает все меньшую величину предпочтений.

В неметрической версии приведенная выше модель принимает вид:

 

где f_s — монотонная функция для данных субъекта s.

Условие адекватности для  неметрических эмпирических и теоретических данных заключается в сохранении порядковой последовательности.   Если  имеется   ,  то должно  быть для всех i и j.

Анализ предпочтений по предложению  другого американского ученого — Дж. Кэролла (1972) разделен на два основных типа: внутренний и внешний анализ.

Внутренний анализ предпочтений в практике исследований мало отличается от обычного шкалирования. С его помощью решают тривиальную для МШ задачу оценки координат стимулов х_1к .

Во внешнем анализе  предполагается, что координаты стимулов уже известны и производится оценивание параметров субъекта, определяются координаты идеальных точек и величины предпочтений, проводится формальная проверка гипотез о качестве модели предпочтения. В арсенале внешнего анализа находятся четыре основных типа моделей; векторная, евклидова, взвешенная евклидова и обобщенная евклидова.

Первая модель, векторная (Такера, 1972), позволяет представить идеальные точки на некоторой прямой, исходящей из начала координат, и результирующий разброс данных о предпочтениях субъектов. Величина предпочтения здесь возрастает с ростом шкальных значений х_j- по принципу «чем больше, тем лучше».

На рис. 3.1 а, б видно, что в векторной модели предпочтения субъектов являются монотонной функцией шкальных значений стимулов, причем функция имеет линейную форму. Второй очевидный вывод: решение векторной модели аналогично решению регрессионного уравнения относительно его параметров. Действительно, при отсутствии ошибок предпочтения векторная модель записывается в виде:

 

где а₀ — аддитивная константа для субъекта s;

а_ks — коэффициенты линейной регрессии по к шкалам для

субъекта s Величины а_ks отражают важность координаты х_ik для субъекта s при условии некоррелированности шкал знак а_ks указывает на направление монотонного изменения оценки предпочтения: если a_ks>0, предпочтение возрастает, при a_ks <0 — уменьшается; — оцененные величины предпочтений для субъекта s.

Рис 3.1

Параметры модели а₀ и a_ks определяются методами множественной регрессии с минимизацией квадрата ошибки предпочтений (), т.е. по правилу наименьших квадратов:

 

В неметрическом многомерном шкалировании минимизируется различие эмпирических и теоретических монотонно изменяющихся ранговых оценок предпочтений.

Статистическая оценка надежности векторной модели осуществляется при помощи коэффициентов множественной корреляции (R_V) и F-критерия с числом степеней свободы; К — числа шкал и Y-K-I,   где У— число стимулов.

Исходная векторная модель для  может быть модифицирована с целью визуализации идеальной точки, при этом осуществим переход от неопределенности положения: «чем больше» к оценке координат этой точки.

Модель получает вид:

 

где - сумма квадратов координат стимула i. Координаты идеальной точки тогда находят по формуле:

 

Рассмотрим пример. Предположим, двумя экспертами, с точки зрения выбора места размещения новых объектов сельскохозяйственного производства, по данным об экологическом состоянии и уровне развития инфраструктуры определены предпочтения для шести областей Республики Беларусь. В сводной таблице обобщаются данные о рангах предпочтения каждого субъекта, соответственно координаты стимулов и исчисленные при помощи векторной модели величины предпочтений ()(табл. 3.1).

Параметры векторной модели определяются из матричного уравнения:

 

где   и   — эмпирический и оцененный векторы данных о

предпочтениях субъекта s,

X— матрица координат стимулов.

Для вычисления значений и (см. табл. 8.8) имеем регрессионные уравнения:

 

 

Результаты регрессионного анализа достаточно надежны: даже без проверки на адекватность моделей видно, что найденные оценки предпочтений для первого субъекта полностью совпадают с эмпирическими ранговыми данными, для второго субъекта имеются расхождения, но они несущественны.

 

 

 

 

 

 

Таблица 3.1. Величины предпочтений, координаты стимулов и теоретические оценки предпочтений для условий организации сельскохозяйственного производства в шести областях Республики Беларусь (по данным двух экспертов)

№ п/п	Объект (стимул i)	Ранг предпочтения ()		Координата стимулов ()		Оценки предпочтения ()
		субъектом A(	субъектом A(	()	()	субъекта	субъекта
1 2 3 4 5 6	Брестскаяобл. Витебская обл. Гомельская обл. Гродненская обл. Минская обл. Могилевская обл	2 4 6 3 1 5	1 3 6 4 2 5	1,15 0,49 0,65 0,78 1,10 0,20	0,30 0,87 -0,15 0,45 1,04 0,90	2,44 4,65 5,59 3,55 0,65 5,11	2,30 3,87 5,30 3,53 1,00 5,00

 

Обратим внимание, что величины позволяют сопоставлять количественно не только наблюдаемые объекты, но и сами субъекты, по оцененной силе их предпочтений. Так, Гомельская область для двух экспертов есть наименее предпочитаемая, она занимает последнее (6-е) место в ряду оцениваемых территориальных единиц и по исходным, и по теоретическим данным. Первому эксперту А эта область в большей мере кажется неудобной   для   развития   сельскохозяйственного   производства(), его негативная реакция сильнее, чем у эксперта В примерно на 5% ().

В завершение примера дадим  визуальное представление аналитических результатов. Предпочтение экспертов А и В покажем в трехмерной системе координат: Х₁ Х₂ (рис.8.12). А чтобы изображение было более логичным, легче воспринималось, сделаем так, что большая величина предпочтений будет иметь соответственно и большую координату по оси , для этого примем вместо оценок масштабированные оценки 1/.

В общем на рис. 3.2 заметно, что экспертом В чаще предлагаются более оптимистические оценки, исключение отмечается только по Минской области. Легко узнаваемы шесть областей по степени предпочтительности экспертами: наиболее благоприятны условия для производства в Минской области, она имеет довольно значительный отрыв по величине от всех других областей; затем довольно плотной группой идут Брестская, Гродненская и Витебская области. Наконец, особняком остается Гомельская область с наихудшими оценками перспектив для размещения производственных объектов.

 

Рис. 3.2. Предпочтение двух экспертов А и В при выборе административной области (по данным табл. 8.8, гр. 1) для перспективного ведения сельскохозяйственного производства

В отличие от векторной три других типа моделей — простая евклидова (£), взвешенная (W) и обобщенная (G) евклидовы — принадлежат к классу нелинейных. Для практических исследований они часто более предпочтительны, так как обладают меньшей инерционностью и повышенными адаптационными свойствами. Формально для описания зависимости предпочтений и шкальных значений в дистанционной модели может быть использована монотонная функция (кривые А и В) или одновершинная немонотонная функция (кривая С), как показано на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Монотонные и одновершинная функции предпочтения для трех субъектов

Кривые А и В на рис. 3.3 отражают ситуации, когда идеальное положение объекта задано, скажем, уровнем экологичности производства А, любое отступление от стандартных характеристик будет означать лишь удаление от идеала. Кривая В предполагает другой случай, когда объект (например, сельскохозяйственные угодья, оцененные по плодородию почв) может улучшать свои параметры, приближаясь к оптимальному состоянию, но превзойти оптимум невозможно.

Кривая С отражает наиболее реальную и часто встречающуюся ситуацию, при которой предпочтения до определенного уровня развития явления (или состояния объекта) возрастают, а затем монотонно убывают. Скажем, спрос на кредитные средства может расти до некоторого известного уровня кредитной ставки, но превышение этого уровня постепенно сокращает число фирм, желающих воспользоваться кредитом, то же с размером налоговых ставок и уровнем деловой активности и т. д.

С учетом того, что основные алгоритмические шаги вычислительных процедур для дистанционных моделей в теории анализа предпочтений не претерпевают существенных изменений и рассматривались в предыдущих главах, обратим внимание только на обшие вопросы приложения этих моделей в исследовательской практике.

В табл. 3.3 с целью сравнения приводятся четыре основных типа внешних моделей, включая векторную. Видно, что все модели содержат аддитивную константу a₀, выполняющую роль балансира для оценок модельных параметров. Адекватность моделей проверяется при помоши двух основных критериев: R² и F, соответственно можно выбрать оптимальный тип модели для конкретного анализа:

R_V(EWG) —множественный коэффициент детерминации, служит мерой соответствия эмпирических и теоретических оценок предпочтений .

R_V(EWG) —как и в регрессионном анализе, оценка адекватности модели в целом. Критическое значение F-критерия находится по таблицам Фишера при заданном α-уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы v1 и v2 (табл. 8.12).

Таблица 3.2. Число степеней свободы (v1, v2) для F-критерия при оценке адекватности моделей внешнего анализа

F-критерий	Число степеней свободы (v1, v2)	F-критерий	Число степеней свободы (v1, v2)
FV	К, J-K-1	FW3	K-1, J-2K-1
FE1	K+1,J-K- 1, J-K-2	FG1	1/2K(K+3)  J-1/2K (K+3)-1
FE1			FG2	1/2K(K+3) J-1/2K (K+3)-1
FW1	2K, J-2K-1  К, J-2K-1	FG3	1/2K(K+3) J-1/2K (K+3)-1
FW2			FG4	1/2K(K+3) J-1/2K (K+3)-1

Евклидовы модели типов Е, W, G в табл. 8.13 характерно различаются оценками весов W² координатных осей и включением метрической разности:  (x_sk-x_sk)². Все эти типы моделей позволяют устанавливать координаты идеальных точек, но различаются они способностью учитывать разную значимость и силу взаимодействия координатных осей. По простой евклидовой модели с весовым коэффициентом w_S весовая нагрузка шкал (координатных осей) оценивается так, что для одного субъекта все равны, т.е, считается, что для него все координатные оси одинаково важны. Посредством несложных преобразований простую евклидову модель приводят к векторному виду: