Многомерное шкалирование в экономических исследованиях

Графическое изображение  несоответствий ранговых оценок j можно получить и несколько иным образом, если по оси у вместо % ранговой теоретической величины различий откладывать количественно определенные значения расстояний между объектами d_ij. Такой рисунок носит название диаграммы Шепарда.

В данном примере улучшить оценки расстояний достаточно просто: монотонность равномерно возрастающих теоретических данных воспроизводится, если центрировать отклоняющиеся от прямой величины расстояний d_ij посредством расчета обычных арифметических средних:

 

 

 

В завершение ряда данных целесообразно рассчитать среднюю для трех оставшихся пар стран:

 

 

Новые центрированные значения закрепляются за двумя соседними парами стран, в данных которых возникли нарушения монотонности.

Исходные и улучшенные оценки различий стран сведем в табл. 8.5. С переходом от оценок к уточненным оценкам (с+1 — первой итерации) неметрический этап завершается.

Таблица 1.4. Исходные ранговые оценки различий стран и величины расстояний между ними в теоретическом пространстве шкал — первичные и уточненные

Исходный ранговый порядок δij	Стимул	Стимул	Стандартизованные расстояния dij	Ранговый порядок  стимулов в пространстве шкал Х1, X2	Улучшенные оценки расстояний
1	Россия	Беларусь	0,918	1	0,918
2	Литва	Беларусь	1,646	2	1,646
3	Таджикистан	Армения	1,759	4	1,733
4	Таджикистан	Россия	1,708	3	1,733
5	Таджикистан	Беларусь	2,190	5	2,190
6	Литва	Россия	2,507	7	2,388
7	Литва	Армения	2,269	6	2,388
8	Литва	Таджикистан	3,051	10	2,761
9	Россия	Армения	2,700	9	2,761
10	Беларусь	Армения	2,532	8	2,761

 

Шаг 5. Метрический этап. На данном этапе имеющимся исходным и уточненным величинам расстояний ( и ) находят уточненные оценки координат. Для расчетов используют формулу Лингоса—Роскама:

 

Чтобы избежать деления на нуль, если  d_ij =0, отношение произвольно приравнивается единице.

Посмотрим, как применить  формулу Лингоса—Роскама при вычислении новых оценок координат для стимула Беларусь (исходные данные, участвующие в расчетах, см. в табл. 8.4 и 8.5):

 

 

 

 

т.е. новые координаты стимула  Республика Беларусь будут: X¹ = (1,030;-0,180)    в    отличие    от    начальных    координат X⁰ = (0,988; -0,164).

Подобные расчеты проводятся для всех участвующих в анализе объектов, после этого уже по новым оценкам координат () находят расстояния между стимулами в теоретическом пространстве (d^c+1) и первая итерация заканчивается, остается только оценить качество ее результатов.

Шаг 6. Оценка соответствий монотонных ранговых эмпирических и теоретических данных. Собственно проверке на монотонность подлежат теоретические данные d^c и d^c+1, рассматривается степень их улучшения на прошлой итерации. Если улучшение существенно, итерация возобновляется после стандартизации полученных на шаге 5 оценок координат и расстояний, если же улучшение мало, итерации заканчиваются, и приступают к интерпретации итогов анализа.

Оценивание соответствий теоретических результатов эмпирическим данным осуществляется при помощи специальных стресс-формул или коэффициента отчуждения:

Стресс-формулы Краскала

 

 

 

 

Стресс-формулы Юнга

 

 

 

Коэффициент отчуждения Гуттмана

 

Где

 

Во всех перечисленных  формулах символами d и обозначены величины расстояний: исходные и уточненные, после выполнения определенного шага алгоритма, или завершения итерации, d..- среднее арифметическое всех оцененных расстояний:

 

Расчет стресс-формул продемонстрируем на данных табл. 8.5. Выбрав S1 и S2 Дж. Краскала, посмотрим, насколько улучшены оценки л?¹ по сравнению с оценками d (табл. 1.5). Задачу интерпретации величин, исчисленных по стресс-формулам, облегчают известные заранее стандартные характеристики (табл. 1.6).

Таблица 1.5. Проверка на существенность улучшения теоретических оценок расстояний с использованием стресс-формул Дж. Краскала

Стимул	Стимул	Исходная ранговая оценка
Россия	Беларусь	1	0,918	0,918	0,843	0	1,464
Литва	Беларусь	2	1,646	1,646	2,709	0	0,232
Таджикистан	Армения	3	1,759	1,733	3,094	0,0007	0,156
Таджикистан	Россия	4	1,708	1,733	2,917	0,0007	0,156
Таджикистан	Беларусь	5	2,190	2,190	4,796	0	0,038
Литва	Россия	6	2,507	2,388	6,285	0,0142	0,068
Литва	Армения	7	2,269	2,388	5,148	0,0142	0,068
Литва	Таджикистан	8	3,051	2,761	9,309	0,0841	0,401
Россия	Армения	9	2,700	2,761	7,290	0,0037	0,401
Беларусь	Армения	10	2,532	2,761	6,411	0,0524	0,401
	-		21,280	21,279	48,802	0,1700	3,385
128

Таблица 1.6. Содержательная оценка величин, исчисленных по стресс-формулам S1 a S2 (Дж- Краскала)

Степень соответствия	Для формулы
Низкая Удовлетворительная Хорошая Отличная Превосходная	0,2 0,1 0,05 0,025 0	0,4 0,2 0,1 0,15 0

Согласно данным табл. 1.6 значения критериев S1 и S2, рассчитанные в табл. 1.5, дают основание судить о результатах нашего решения как удовлетворительных. В прикладном анализе, думается, исследователем была бы предпринята при этом попытка продолжить итерации и найти более адекватные оценки координат стимулов и расстояний.

Обобщая материал, отметим, что в рамках методов неметрического МШ решаются схожие с метрическим МШ задачи: оценки координат стимулов и расстояний между стимулами, вращения системы координат, интерпретации аналитических результатов. В то же время заметны и отличия. Неметрическое МШ имеет более сложные алгоритмы, включающие: поиск стартовой конфигурации, неметрический этап — для корректировки распределения теоретических оценок расстояний и, наконец, метрический этап — для уточнения оценок координат стимулов. Итеративная реализация алгоритма неметрического МШ строится таким образом, чтобы предупредить появление вырожденных решений и существенные расхождения функциональных монотонных связей эмпирических и теоретических данных. В его алгоритмах проблемными остаются вопросы: подборки вида монотонной функции, отвечающей фактическому распределению характеристик различий стимулов, неизвестной заранее, и, как прежде, задача интерпретируемости итогов анализа.

 

2. Модели поиска индивидуальных различий

Рассмотренные выше методы метрического и неметрического многомерного шкалирования могут применяться для координатного описания только самих стимулов. Но в исследованиях не менее важно иметь представление и о различиях источников информации. В конечном счете пространственное положение стимулов объясняется не только их «непохожестью», но и расхождениями суждений о них, или различием приемов оценивания, получения данных. Действительно, если данные получают посредством анкетирования или экспертного оценивания, то они нередко существенно различаются в силу особенностей поведения и склонностей субъектов, выступающих в роли экспертов, когда же ведется прямая регистрация сведений о явлениях, процессах, свой отпечаток налагают особенности наблюдаемых объектов, условия, в которых они находятся (климатические, экологические) и т.д.

В сущности задача моделирования индивидуальных различий сводится к реализации алгоритма для нахождения шкал и представления в координатном пространстве как стимулов, так к субъектов, их оценивающих.

Координатами субъектов  при этом служат значения весовых  коэффициентов ω_ks, характеризующие уровень значимости координатной оси к для субъекта s.

На рис. 2.1 показано гипотетическое распределение субъектов (экспертов) в двумерном пространстве шкал, определяющих экономичность производства. Расположение субъектов задается значениями весовых коэффициентов ω_ks.

Рис. 2.1. Расположение трех субъектов в двумерном шкальном пространстве процесса эффективности производства

По данным рис.2.1 можно видеть, что, например, субъект 1 в определении эффективности производства примерно равное значение придает характеристикам ресурсоемкости и трудоемкости производства. Субъект 2 считает, что эффективность в наибольшей мере определяется ресурсоемкостью производства, весовой коэффициент для этого общего признака почти в 2 раза превышает оценку значимости по шкале «трудоемкость производства». Наконец, субъект 3 находит, что определяющим для эффективности производства является именно характеристика результатов использования живого труда.

В моделировании индивидуальных различий существует два основных подхода. Первый подход базируется на предположении о независимости координатных осей и объединяет так называемые модели индивидуального шкалирования — Кэррола, Чанга, Хорана и др. (теоретические работы 1968—1970 гг.). Второй подход допускает, что субъекты различаются не только весами координат, но и силой взаимодействия координатных осей (стимулов). Его модели были разработаны в основном в 1972—1980 гг. Наиболее представительной здесь является трех-модальная модель Такера.

Алгоритмы вычислений для  различных моделей индивидуальных различий включают следующие общие шаги:

Шаг 1. Построение матриц различий стимулов ∆_s для каждого из субъектов.

Шаг 2, Построение S матриц скалярных произведений ∆^*_s .

С учетом того, что анализируются  матрицы различий субъектов ∆_s, формулы для определения матриц скалярных произведений запишутся в следующем виде:

 

где

 

 

Затем, при поиске стартовой  конфигурации, S матриц скалярных произведений ∆^*_s обобщаются в одной, средней матрице

скалярных  произведений   ∆_s ,   элементы которой   —   простые средние величины:

 

 

Основополагающим является предположение, что полученные в ходе подгонки модели оценки ее параметров хорошо воспроизводят скалярные произведения:

 

 

или в матричном виде —

Шаг 3. Поиск одним из возможных методов стартовой конфигурации (определение матрицы X⁰, где 0 указывает на начальную итерацию).

Шаг 4. Оценка весовых коэффициентов (ω_ks. Множество значений ω_ks образует матрицу W с данными по к координатным осям и s субъектам, т.е. для конкретного субъекта s в W — диагональной матрице имеется некоторый элемент ω_ks, представляющий его суждение о k-м общем признаке (k-й шкале).

Шаг 5. Оценка координат стимулов, построение матрицы X размерности j х к — по числу j стимулов (строк) и к координатных осей (шкал).

Шаг 6. Проверка качества полученного решения методом наименьших квадратов:

 

где и — скалярные произведения по исходным и теоретическим данным.

Если квадрат разности между фактическими и теоретическими скалярными произведениями наименьший или меньше некоторого заранее известного порогового значения, то полученная конфигурация X⁰ и матрица оценок весов W считаются наилучшими, и алгоритм завершен. Если же значения критерия F неудовлетворительны, оптимизирующие шаги 4—6 повторяются.

Остановимся подробнее на важнейших моделях индивидуальных различий.

Взвешенная евклидова  модель — модель первого типа рассчитана на получение линейно независимой системы координат (шкал). Конструктивно основывается на использовании взвешенной евклидовой метрики:

 

где   — квадрат величины , представляющей вес (важность, значимость) k-той шкалы для субъекта s.

Значение  линейно связывается с координатами стимула i субъекта s:

 или в матричном виде: X_s= XW_s

Очевидно, что при прочих равных величинах координат стимулов увеличение означает и большее различие между стимулами i и j.

При реализации алгоритма  анализа индивидуальных различий решаются задачи оценки координат стимулов, оценки величин и их оптимизации.

Для примера возьмем гипотетические матрицы различий, это могут быть, скажем, результаты оценки двумя субъектами уровня экологачности производства до и после проведения природоохранных мероприятий в трех административных районах (табл. 2.1).

Таблица 2.1. Исходные матрицы различий по результатам экспертного оценивания двумя субъектами и исчисленные по ним матрицы скалярных произведений