Общая теория статистики

        и 

      Когда мы указывает индекс среднесписочной  численности работников  или индекс средней заработной платы, мы имеем  в виду изменение фонда оплаты труда за счет изменения среднесписочной численности работников или средней заработной платы.

      При построении агрегатных индексов пользуются такими понятиями, как индексируемый  признак и признак-вес. Индексируемый  признак – это признак, изменение которого характеризует данный индекс. Например, в I_t – это t. Значение индексируемого признака изменяется,  т.е. отчетное значение сопоставляется с базисным.

      Признак-вес  выполняет функцию веса по отношению  к индексируемому признаку, его значение в индексе принимается постоянным, т.к. он не должен искажать оценку изменения индексируемого признака. Например, в I_t – это z.

      Если  индексы рассматриваются в системе, то должна обеспечиваться взаимосвязь между ними:  I_t * I_z =  I_w

      Расчет  среднего индекса применяется при определении общего индекса или общего изменения состояния изучаемого объекта. Так как расчет среднего индекса как отношения суммы индивидуальных признаков в текущем и базисном периоде ( ) или как простой средней из индивидуальных индексов ( ), т.е. невзвешенных средних арифметических не учитывает объемов и структуры изучаемого объекта, то применяют взвешенную среднюю.

      Для расчета среднего индекса может  использоваться другие формы средних величин.

      Средняя геометрическая:

      Средняя гармоническая невзвешенная рассчитывается по формуле:

      

      Индексы с постоянными и переменными  весами и метод выявления роли факторов динамики сложных явлений.

      При построении агрегатных индексов веса могут быть закреплены на базисном, отчетном или смешанном уровнях. При закреплении весов только на базисном или только на отчетном уровне, постоянных весов, равенство

      I_t * I_z = I_w не выполняется. Например,

      Только  когда взаимосвязанные индексы  строятся с весами разных периодов, увязка их в системе выполняется. Например, . В приведенном примере индексы первичных признаков стоятся на весах базисного периода, вторичных – на весах отчетного периода. Отечественная статистика в своей практике придерживалась именно такого подхода. Но при таком подходе значение полученных индексов при изменении последовательности признаков различаются, т.е. если в модели tz = w t и z поменять местами значения полученных индексов будут иметь расхождения.

      Различие  между индексами с разными  весами можно объяснить при помощи уравнения В.И. Борткевича (1868 – 1931):

       , где  - корреляция между изменением цен и объемом продаж на отдельные товары, - темпы изменения объемов реализованных товаров и цен соответственно.

      Таким образом, из формулы видно, что индексы  с отчетными и базисными весами будут равны, если выполняется хотя бы одно из условий: , , . Чем больше величина сравниваемого периода, тем сильнее проявляется различие. 

      Однако  на практике, как правило, стремятся  получить однозначное решение тем или иным способом. Первый способ заключается в получении средних оценок изменений, либо путем построения индексов на средних весах

      либо  через осреднение равновзвешенных  индексов. При этом предпочтение отдается средней геометрической.

      Второй  путь основан на предпочтении какого-то одного варианта построения взаимосвязанных индексов, применялся в отечественной практике.

      В статистике имеют большое значение индексы переменного и фиксированного состава, которые используются при анализе динамики средних показателей.

      Индексом  переменного состава называют отношение  двух средних уровней.

      

      Индекс  фиксированного состава есть средний  из индивидуальных индексов. Он рассчитывается как отношение двух стандартизованных средних, где влияние изменения структурного фактора устранено, поэтому данный индекс называют еще индексом постоянного состава.

      

      

      В зависимости от характера и содержания индексируемых величин различают  индексы количественных (объемных) показателей и индексы качественных показателей.

      К индексам количественных (объемных) показателей  относятся такие индексы, как  индексы физического объема производства продукции, затрат на выпуск продукции, стоимости продукции, а также индексы показателей, размеры которых определяются абсолютными величинами. Используются различные виды индексов количественных показателей.

      Индекс  физического объема продукции (ФОП) отражает изменение выпуска продукции.

      Индивидуальный  индекс ФОП отражает изменение выпуска продукции одного вида и определяется по формуле

       где q₁ и q₀ - количество продукции данного вида в натуральном выражении в текущем и базисном периодах.

      Агрегатный  индекс ФОП отражает изменение выпуска  всей совокупности продукции, где индексируемой величиной является количество продукции q, а соизмерителем - цена р:

      

      где q₁ и q₀ - количество выработанных единиц отдельных видов продукции соответственно в отчетном и базисном периодах; p₀ - цена единицы продукции (отдельного вида) в базисном периоде.

      При вычислении индекса ФОП в качестве соизмерителей может выступать  также себестоимость продукции  или трудоемкость.

      Средние взвешенные индексы ФОП используются в том случае, если известны индивидуальные индексы объема по отдельным видам  продукции и стоимость отдельных видов продукции (или затраты) в базисном или отчетном периоде.

      Средний взвешенный арифметический индекс ФОП  определяется по формуле

      

      где i_q - индивидуальный индекс по каждому виду продукции; q0 p0 - стоимость продукции каждого вида в базисном периоде.

      Средний взвешенный гармонический индекс ФОП

       где q₁ p₁ - стоимость продукции каждого вида в текущем периоде.

      Аналогично  рассчитывается индекс затрат на выпуск продукции, который отражает изменение  затрат на производство и может быть как индивидуальным, так и агрегатным.

      Между индексами существует также взаимосвязь  и взаимозависимость, как и между  самими экономическими явлениями, что  позволяет проводить факторный  анализ. Благодаря индексному методу можно рассматривать все факторы независимо друг от друга, что дает возможность определить размер абсолютного изменения сложного явления за счет каждого фактора в отдельности.

      Предположим, что результативный признак зависит  от трех факторов и более. В этом случае результативный индекс примет вид

      

      Изменение результативного индекса за счет каждого фактора может быть выражено следующим образом:

        

        

       

      Для выявления роли каждого фактора  в отдельности индекс сложного показателя разлагают на частные (факторные) индексы, которые характеризуют роль каждого фактора. При этом используют два метода: метод обособленного изучения факторов; последовательно-цепной метод. 

      При первом методе сложный показатель берется  с учетом изменения лишь того фактора, который взят в качестве исследуемого, все остальные остаются неизменными на уровне базисного периода.

      Последовательно-цепной метод предполагает использование  системы взаимосвязанных индексов, которая требует определенного  расположения факторов. Как правило, на первом месте в цепи располагают  качественный фактор. При определении влияния первого фактора все остальные сохраняются в числителе и знаменателе на уровне базисного периода, при определении второго факторного индекса первый фактор сохраняется на уровне базисного периода, а третий и все последующие - на уровне отчетного периода, при определении третьего факторного индекса первый и второй факторы сохраняются на уровне базисного периода, четвертый и все остальные - на уровне отчетного периода и т.д.

      Территориальные индексы.

      Индексы могут быть использованы не только как показатели сравнения состояний изучаемого явления во времени, но и в пространстве, между отдельными территориями. Индексы позволяющие сравнивать различные территориальные образования между собой носят название территориальных индексов. При построении территориальных индексов применяются те же правила, что при сравнении явлении во времени, только в территориальных индексах в качестве весов используются показатели численности населения, доли в общих доходах населения от заработной платы и т.д. Кроме того, при сравнении разных территорий за один период значки «0» и «1» не используются. Использование индексов при анализе различий между территориями обусловлено следующим: индексы позволяют сопоставить территории с разным уровнем социально-экономического развития, с разным уровнем развития производства, с разной структурой потребительского рынка и доходов и т.д. 
 
 

Тема  № 12. Многомерный  статистический анализ 

      Дисперсионный анализ.

      Целью дисперсионного анализа является проверка статистической значимости различия между средними (для групп или переменных). Эта проверка проводится с помощью разбиения суммы квадратов на компоненты, т.е. с помощью разбиения общей дисперсии (вариации) на части, одна из которых обусловлена случайной ошибкой (то есть внутригрупповой изменчивостью), а вторая связана с различием средних значений. Последняя компонента дисперсии затем используется для анализа статистической значимости различия между средними значениями. Если это различие значимо, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза о существовании различия между средними.

      Разбиение суммы квадратов. Для выборки  объема n выборочная дисперсия вычисляется  как сумма квадратов отклонений от выборочного среднего, деленная на n-1 (объем выборки минус единица). Таким образом, при фиксированном объеме выборки n дисперсия есть функция суммы квадратов (отклонений). В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты, т.е. выборка разбивается на две части в которых вычисляются среднии и сумма квадратов отклонений. Расчет тех же показателей по выборки в целом дает большее значение дисперсии, что объясняется расхождение между групповыми средними. Таким образом, дисперсионный анализ позволяет объяснить внутригрупповую изменчивость, которая при исследовании всей группы в целом не может быть изменена.

      Проверка  значимости в дисперсионном анализе  основана на сравнении компоненты дисперсии, обусловленной межгрупповым и компоненты дисперсии, обусловленной внутригрупповым  разбросом (называемой средним квадратом ошибки). Если верна нулевая гипотеза (равенство средних в двух популяциях), то можно ожидать сравнительно небольшое различие выборочных средних из-за чисто случайной изменчивости. Поэтому, при нулевой гипотезе, внутригрупповая дисперсия будет практически совпадать с общей дисперсией, подсчитанной без учета групповой принадлежности. Полученные внутригрупповые дисперсии можно сравнить с помощью F-критерия, проверяющего, действительно ли отношение дисперсий значимо больше 1.

      Преимущества: 1) дисперсионный анализ существенно более эффективен и, для малых выборок, т.к. более  информативен; 2)дисперсионный анализ позволяет обнаружить эффекты взаимодействия между факторами и, поэтому, позволяет проверять более сложные гипотезы 

      Метод главных компонент состоит в линейном понижении размерности, в котором определяются попарно ортогональные направления максимальной вариации исходных данных, после чего данные проектируются на пространство меньшей размерности, порожденное компонентами с наибольшей вариацией.