Общая теория статистики

   В проведении ряда исследований выборочный метод является единственно возможным, например, при контроле качества продукции (товара), если проверка сопровождается уничтожением или разложением на составные части обследуемых образцов (определение сахаристости фруктов, клейковины печеного хлеба, установление носкости обуви, прочности тканей на разрыв и т.д.).

   Проведение  исследования социально — экономических  явлений выборочным методом складывается из ряда последовательных этапов:

   1) обоснование (в соответствии с  задачами исследования) целесообразности  применения выборочного метода;

   2) составление программы проведения  статистического исследования выборочным  методом;

   3) решение организационных вопросов  сбора и обработки исходной  информации;

   4) установление доли выборки, т.е.  части подлежащих обследованию  единиц генеральной совокупности;

   5) обоснование способов формирования  выборочной совокупности;

   6) осуществление отбора единиц  из генеральной совокупности  для их обследования;

   7) фиксация в отобранных единицах (пробах) изучаемых признаков;

   8) статистическая обработка полученной в выборке информации с определением обобщающих характеристик изучаемых признаков;

   9) определение количественной оценки  ошибки выборки;

   10) распространение обобщающих выборочных  характеристик на генеральную  совокупность.

   В генеральной совокупности доля единиц, обладающих изучаемым признаком, называется генеральной долей (обозначается р), а средняя величина изучаемого варьирующего признака — генеральной средней (обозначается ).

   В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей, или частостью (обозначается ), а среднюю величину в выборке — выборочной средней (обозначается ).

   Пример.

   При контрольной проверке качества хлебобулочных  изделий проведено 5%-ное выборочное обследование партии нарезных батонов из муки высшего сорта. При этом из 100 отобранных в выборку батонов 90 шт. соответствовали требованиям стандарта. Средний вес одного батона в выборке составлял 500,5 г при среднем квадратическом отклонении г.

   На  основе полученных в выборке данных нужно установить возможные значения доли стандартных изделий и среднего веса одного изделия во всей партии.

   Прежде  всего устанавливаются характеристики выборочной совокупности. Выборочная доля, или частость, определяется из отношения единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общей численности единиц выборочной совокупности n:

   

   Поскольку из 100 изделий, попавших в выборку n, 90 ед. оказались стандартными m, то показатель частости равен: = 90:100=0,9.

   Средний вес изделия в выборке х = 500,5 г определен взвешиванием. Но полученные показатели частости (0,9) и средней  величины (500,5 г) характеризуют долю стандартной продукции и средний  вес одного изделия лишь в выборке. Для определения соответствующих показателей для всей партии товара надо установить возможные при этом значения ошибки выборки.

   Ошибка  выборки — это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методом отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

   Определение ошибки выборочной средней.

   При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле:

,

    где — средняя ошибка выборочной средней;

    — дисперсия выборочной совокупности;

   n — численность выборки. 

   При бесповторном отборе она рассчитывается по формуле:

,

   где N — численность генеральной совокупности.

   Определение ошибки выборочной доли.

   При повторном отборе средняя ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле:

    , 

   где — выборочная  доля единиц, обладающих изучаемым признаком;

     — число единиц, обладающих  изучаемым признаком;

     — численность выборки.

   При бесповторном способе отбора средняя ошибка выборочной доли определяется по формулам:

   

   Предельная  ошибка выборки  связана со средней ошибкой выборки отношением:

    .

   При этом t как коэффициент кратности  средней ошибки выборки зависит от значения вероятности Р, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.

   Предельная  ошибка выборки при бесповторном отборе определяется по следующим формулам:

,

.

   Предельная  ошибка выборки при повторном отборе определяется по формуле:

,

. 

   Малая выборка.

   При контроле качества товаров в экономических  исследованиях эксперимент может  проводиться на основе малой выборки.

   Под малой выборкой понимается несплошное статистическое обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности. Объем малой выборки обычно не превышает 30 единиц и может доходить до 4 — 5 единиц.

   Средняя ошибка малой выборки вычисляется по формуле:

   

,

   где — дисперсия малой выборки.

   При определении дисперсии  число степеней свободы равно n-1:

.

   Предельная  ошибка малой выборки определяется по формуле

   При этом значение коэффициента доверия t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента (Табл. 9.1.), в которых даны распределения стандартизированных отклонений:

   

. 

   Поскольку при проведении малой выборки  в качестве доверительной вероятности  практически принимается значение 0,59 или 0,99, то для определения предельной ошибки малой выборки используются следующие показания распределения Стьюдента: 

   Способы распространения  характеристик выборки  на генеральную совокупность.

   Выборочный  метод чаще всего применяется  для получения характеристик  генеральной совокупности по соответствующим показателям выборки. В зависимости от целей исследований это осуществляется или прямым пересчётом показателей выборки для генеральной совокупности, или посредством расчёта поправочных коэффициентов.

   Способ  прямого пересчёта. Он состоит в том, что показатели выборочной доли или средней распространяется на генеральную совокупность с учётом ошибки выборки.

   Так, в торговле определяется количество поступивших в партии товара нестандартных  изделий. Для этого (с учётом принятой степени вероятности) показатели доли нестандартных изделий в выборке умножаются на численность изделий во всей партии товара.

   Способ  поправочных коэффициентов. Применяется в случаях, когда целью выборочного метода является уточнение результатов сплошного учета.

   В статистической практике этот способ используется при уточнении данных ежегодных переписей скота, находящегося у населения. Для этого после  обобщения данных сплошного учета  практикуется 10%-ное выборочное обследование с определением так называемого “процента недоучета”. 

   Способы отбора единиц из генеральной  совокупности.

   В статистике применяются различные  способы формирования выборочных совокупностей, что обусловливается задачами исследования и зависит от специфики объекта изучения.

   Основным  условием проведения выборочного обследования является предупреждение возникновения систематических ошибок, возникающих вследствие нарушения принципа равных возможностей попадания в выборку каждой единицы генеральной совокупности. Предупреждение систематических ошибок достигается в результате применения научно обоснованных способов формирования выборочной совокупности.

   Существуют  следующие способы отбора единиц из генеральной совокупности:

   1) индивидуальный отбор — в выборку  отбираются отдельные единицы;

   2) групповой отбор — в выборку попадают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц;

   3) комбинированный отбор — это  комбинация индивидуального и  группового отбора.

   Способы отбора определяются правилами формирования выборочной совокупности.

   Выборка может быть:

   — собственно-случайная;

   — механическая;

   — типическая;

   — серийная;

   — комбинированная.

   Собственно-случайная  выборка состоит в том, что выборочная совокупность образуется в результате случайного (непреднамеренного) отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

   Доля  выборки есть отношение числа  единиц выборочной совокупности n к  численности единиц генеральной совокупности N, т.е.

   

.

   Так, при 5%-ной выборке из партии товара в 2 000 ед. численность выборки n составляет 100 ед. (5*2000:100), а при 20%-ной выборке  она составит 400 ед. (20*2000:100) и т.д.

   Механическая  выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность производится из генеральной совокупности, разбитой на равные интервалы (группы). При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратной величине доли выборки.