Общая теория статистики

      Выделяют  три основных способа обработки  динамического ряда: а) укрупнение интервалов динамического ряда и расчет средних  для каждого укрупненного интервала; б) метод скользящей средней; в) аналитическое выравнивание (выравнивание по аналитическим формулам). 

      Укрупнение  интервалов - наиболее простой способ. Он заключается в преобразовании первоначальных рядов динамики в  более крупные по продолжительности временных периодов, что позволяет более четко выявить действие основной тенденции (основных факторов) изменения уровней. По интервальным рядам итоги исчисляются путем простого суммирования уровней первоначальных рядов. Для других случаев рассчитывают средние величины укрупненных рядов (переменная средняя). Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.

      Скользящая  средняя - это такая динамическая средняя, которая последовательно  рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода. Если, предположим, продолжительность периода равна 3, то скользящие средние рассчитываются следующим образом: 

      

      и т.д. 
 

      Первую  рассчитанную среднюю относят ко второму периоду, вторую - к третьему, третью - к четвертому и т.д. По сравнению с фактическим сглаженный ряд становится короче на (m - 1)/2, где m - число уровней интервала.

      Важнейшим способом количественного выражения  общей тенденции изменения уровней  динамического ряда является аналитическое  выравнивание ряда динамики, которое позволяет получить описание плавной линии развития ряда. При этом эмпирические уровни заменяются уровнями, которые рассчитываются на основе определенной кривой, где уравнение рассматривается как функция времени. Вид уравнения зависит от конкретного характера динамики развития. Его можно определить как теоретически, так и практически. Теоретический анализ основывается на рассчитанных показателях динамики. Практический анализ - на исследовании линейной диаграммы.

      Задачей аналитического выравнивания является определение не только общей тенденции развития явления, но и некоторых недостающих значений как внутри периода, так и за его пределами. Способ определения неизвестных значений внутри динамического ряда называют интерполяцией. Эти неизвестные значения можно определить: 1) используя полусумму уровней, расположенных рядом с интерполируемыми; 2) по среднему абсолютному приросту; 3) по темпу роста. В результате аналитического выравнивания получают следующую трендовую модель:

        

      где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития; e_t – случайное и циклическое отклонение от тенденции.

      Целью аналитического выравнивания динамического  ряда является определение аналитической  или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

      Чаще  всего при выравнивании используются следующие зависимости:

       Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более  или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции  ни к увеличению, ни к снижению.

      Параболическая  зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

      Экспоненциальные  зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.). 

      Оценка  параметров (a0, a1, a2, ...) осуществляется следующими методами:

      1) методом избранных точек,

      2) методом наименьших расстояний,

      3) методом наименьших квадратов  (МНК).  

      В большинстве расчетов используют метод  наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

      

      Для линейной зависимости (f(t)=a₀+a₁t) параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.

       Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Оценка надежности параметров уравнения проводится на основании анализа случайной компоненты. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F_факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

      где k – число параметров функции, описывающей  тенденцию;

       n – число уровней ряда; 

      F_факт сравнивается с Fт_еор при v1 = (k-1), v2 = (n-k) степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если Fфакт > Fтеор, уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

      Способ  определения количественных значений за пределами ряда называют экстраполяцией. Экстраполирование используется для прогнозирования тех факторов, которые не только в прошлом и настоящем обусловливают развитие явления, но и могут оказать влияние на его развитие в будущем.

      Экстраполировать  можно по средней арифметической, по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста.

       При аналитическом выравнивании может  иметь место автокорреляция, под  которой понимается зависимость  между соседними членами динамического ряда. Автокорреляцию можно установить с помощью перемещения уровня на одну дату. Коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле 

      Автокорреляцию  в рядах можно устранить, коррелируя не сами уровни, а так называемые остаточные величины (разность эмпирических и теоретических уровней). В этом случае корреляцию между остаточными величинами можно определить по формуле

      

      Анализ  рядов динамики предполагает и исследование сезонной неравномерности (сезонных колебаний), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. Сезонные колебания измеряются с помощью индексов сезонности, которые рассчитываются двумя способами в зависимости от характера динамического развития.

      При относительно неизменном годовом уровне явления индекс сезонности можно  рассчитать как процентное отношение  средней величины из фактических  уровней одноименных месяцев  к общему среднему уровню за исследуемый  период:

      

      В условиях изменчивости годового уровня индекс сезонности определяется как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к средней величине из выровненных уровней одноименных месяцев:

      

      В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более рядов их приводят к общему основанию, для чего берут в качестве базисных уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или прироста. Коэффициенты опережения по темпам роста – это отношение темпов роста (цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда. Аналогично находятся и коэффициенты опережения по темпам прироста.

      Временной лаг - экономический показатель, показывающий отставание или опережение одного экономического явления по сравнению с другим, связанным с ним явлением.  
 

Тема  № 11. Индексный метод  анализа. Понятие  о индексах.

Сфера их применения и классификация  

      Индексами называют сравнительные относительные  величины, которые характеризуют  изменение сложных социально-экономических показателей (показатели, состоящие из несуммируемых элементов) во времени, в пространстве, по сравнению с планом.

      Индекс - это результат сравнения двух одноименных показателей, при исчислении которого следует различать числитель индексного отношения (сравниваемый или отчетный уровень) и знаменатель индексного отношения (базисный уровень, с которым производится сравнение). Выбор базы зависит от цели исследования. Если изучается динамика, то за базисную величину может быть взят размер показателя в периоде, предшествующем отчетному. Если необходимо осуществить территориальное сравнение, то за базу можно принять данные другой территории. За базу сравнения могут приниматься плановые показатели, если необходимо использовать индексы как показатели выполнения плана.

      Признак изменение которого характеризует  индекс называется индексируемым.

      Признак-вес  выполняет функцию веса по отношению  к индексируемому признаку.

      При построении индексов решают следующие  вопросы: 1) определение вида индекса и вида показателей с помощью которых строится индекс; 2) выбор базы (а) данные по той же совокупности и по тому же признаку за предшествующий период; б) плановое задание; в) данные по какой-либо другой совокупности, сходной по характеру с изучаемой).

      При установлении базы необходимо соблюдать  следующие правила: сопоставимость базисных и отчетных данных; обеспечить типичность базовых данных.

      По  степени охвата элементов явления  индексы делят на индивидуальные и общие (сводные).

      Индивидуальные  индексы (i) - это индексы, которые характеризуют изменение только одного элемента совокупности.

      Общий (сводный) индекс (I) характеризует изменение  по всей совокупности элементов сложного явления. Если индексы охватывают только часть явления, то их называют групповыми.

      В зависимости от способа изучения общие индексы могут быть построены  или как агрегатные (от лат. аggrega - присоединяю) индексы, или как средние  взвешенные индексы (средние из индивидуальных).

      Способ  построения агрегатных индексов заключается  в том, что при помощи так называемых соизмерителей можно выразить итоговые величины сложной совокупности в отчетном и базисном периодах, а затем первую сопоставить со второй.

      Если  индексы можно рассчитать на основе сравнения двух сумм, полученных, например, путем умножения среднесписочной  численности работников в базисном и отчетном периоде (по каждому j предприятию, структурному подразделению и т.д.) t_0j и t_1j и средней заработной  - z_0j и z_1j , то такие индексы называют агрегатными. Таким образом, общие индексы могут быть рассчитаны не только через осреднение индивидуальных индексов, а и на основе сравнения двух сумм (агрегатов). Агрегатные индексы считаются основной формой индексов. Они выполняют две функции: синтетическую и аналитическую.

      Первая  функция обеспечивается тем, что в одном индексе обобщаются (синтезируются) непосредственно несоизмеримые явления, когда мы записываем (где z – средняя заработная плата, а t – среднесписочная численность работников), то благодаря использованию денежного соизмерителя можно агрегировать данные по различным категориям работников  (несопоставимым по натуральным измерителям).

      Аналитическая функция вытекает из взаимосвязи  индексов, т.к. практически каждый индекс можно рассматривать как составляющую некой системы индексов, в которой его роль сводится к измерению одного из факторов общего изменения сложного явления и вклада этого фактора в соответствующее изменение.

      Так, например, индекс цен можно рассматривать  как показатель влияния изменения  средней заработной платы на фонд оплаты труда, что основано на следующей  связи признаков: среднесписочная  численность * средняя заработная плата = фонд оплаты труда или tz = w. Системе признаков соответствует система индексов.