Тогда, чтобы сглаженные уровни относились непосредственно к конкретным временным  точкам (датам), из каждой пары смежных  промежуточных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую и относят к определенной дате (периоду). Такой прием двойного расчета сглаженных уровней называется центрированием.

   Недостатком метода скользящей средней является то, что сглаженный ряд «укорачивается»  по сравнению с фактическим с  двух концов: при нечетном m на (m – 1)/2 с каждого конца, а при четном – на m /2 с каждого конца. Применяя этот метод, надо помнить, что он сглаживает (устраняет) лишь случайные колебания.

   Если  же, например, ряд содержит сезонную волну, она сохранится и после  сглаживания методом скользящей средней.

   Кроме того, этот метод сглаживания, как  и укрупнение интервалов, является механическим, эмпирическим и не позволяет  выразить общую тенденцию изменения  уровней в виде математической модели /1, с. 105/.

   Более совершенный метод обработки  рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда – выравнивание уровней ряда по аналитическим формулам (или аналитическое выравнивание). Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических) уровней у_t теоретическими , которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические уровни рассматриваются как функция времени: = f (t).

   При этом каждый фактический уровень  у_t рассматривается как сумма двух составляющих:

   у_t = f (t) + ε_t,       (9)

   где f (t) = – систематическая составляющая, отражающая тренд и выраженная определенным уравнением;

   ε_t – случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

   Задача  аналитического выравнивания сводится к следующему:

• определение на основе фактических данных вида (формы) гипотетической функции = f (t), способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;
• нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);
• расчет по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.

   Первая  часть задачи самая трудная и  ответственная. В аналитическом  выравнивании наиболее часто используются следующие простейшие функции:

• линейная (прямая): = а_О + а₁t;
• показательная: = а_Оа₁^t;
• гиперболическая: ;
• парабола 2-го (или более высокого) порядка: ;
• ряд Фурье: .

   Здесь – теоретические (выравненные) уровни (игрек, выравненный по t), t – условное обозначение времени (1, 2, 3, ...), а_О, a₁ a₂ – параметры аналитической функции, k – число гармоник.

   Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется, как правило, на основании графического изображения эмпирических данных, дополняемого содержательным анализом особенностей развития исследуемого показателя (явления) и специфики разных функций, их возможности отразить те или иные нюансы развития. Определенную вспомогательную роль при выборе аналитической функции играют также механические приемы сглаживания (укрупнение интервалов и метод скользящей средней). Частично устраняя случайные колебания, они помогают более точно определить тренд и выбрать адекватную модель (уравнение) для аналитического выравнивания /7, с. 119/.

   Кроме того, в результате многолетнего опыта  использования аналитического выравнивания рядов динамики наработаны некоторые  правила или, вернее, условия использования перечисленных простых уравнений, которыми полезно руководствоваться при выборе функции.

   Так, например, выравнивание по прямой линии (линейной функции) = а_О + а₁t эффективно для рядов, уровни которых изменяются примерно в арифметической прогрессии, т.е. когда первые разности уровней (абсолютные приросты) А = у_i – у_i-1. более или менее постоянны.

   Если вторые разности уровней (ускорения) более или менее постоянны, то такое развитие хорошо описывается параболой 2-го порядка . Если постоянны n-е разности уровней, можно использовать параболу n-го порядка , позволяющую «улавливать» перегибы, изломы в кривой, смену направлений изменения уровней. Парабола 2-го порядка отражает развитие с ускоренным или замедленным изменением уровней ряда.

   Если  при последовательном расположении t (меняющемся в арифметической прогрессии) значения уровней меняются в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста примерно постоянны, то такое развитие можно отразить показательной функцией = а_Оа₁^t.

   Если  обнаружено замедленное снижение уровней ряда, которые по логике не могут снизиться до нуля, для описания характера тренда выбирают гиперболу вида и т.д.

   Если  по тем или иным причинам уровни эмпирического ряда трудно математически описать одной функцией, следует разбить исследуемый период на отдельные части и затем выровнять каждую часть по соответствующей кривой.

   Нередко один и тот же эмпирический ряд  можно выровнять по разным аналитическим формулам (например, по линейной функции и гиперболе или по линейной и показательной функции) и получить при этом довольно близкие результаты. Чтобы решить вопрос о том, использование какой кривой дает лучший результат, обычно сопоставляют суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических, рассчитанных по разным функциям, т.е. .

   Та  функция, при которой эта сумма  квадратов меньше, считается более  адекватной, приемлемой. Однако сравнивать непосредственно суммы квадратов отклонений можно в том случае, если сравниваемые уравнения имеют одинаковое число параметров.

   Если  же число параметров m разное, то каждую сумму квадратов делят на разность (n – m), выступающую в роли числа степеней свободы, и сравнивают уже квадраты отклонений уровней, рассчитанные на одну степень свободы (т.е. остаточные дисперсии на одну степень свободы) /1, с. 121/.

   Параметры искомых уравнений при аналитическом  выравнивании могут быть определены по-разному. Чаще всего их определяют, решая систему нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов.

1.4. Выравнивание по линейной функции = а_О + а₁t

   Существует  несколько методов определения  параметров гипотетической линейной функции  тренда. Рассмотрим их в порядке возрастания сложности.

1. Самым простым является метод составления и решения системы двух уравнений по значениям двух конкретных уровней ряда.

   При этом формируется следующая система  уравнений:

    ,       (10)

   Подставив в данную систему конкретные значения какого-либо ряда динамики n₁, n₂, у₁, у₂ находят значения а_О и а₁ и соответствующее им уравнение тренда = а_О + а₁t. Это будет приближенная модель тренда. Подставляя в уравнение значения t = 1, 2, 3, 4, 5, получают выравненные (теоретические) значения уровней.

   Этот  метод отыскания параметров прост, но он не дает однозначного ответа. Если взять значения других двух уровней, то параметры уравнения будут несколько иные.

   Кроме того, сумма выравненных уровней и в первом и во втором случае расчета по двум точкам не совпадает с суммой эмпирических значений. Чтобы значения параметров были меньше подвержены случайностям, можно усреднить параметры двух уравнений, найденные по разным парам точек /1, с. 122/.

2. Второй метод нахождения параметров линейного тренда заключается в следующем: эмпирический ряд разбивают на две части (желательно равные) и для каждой из них определяют суммарные значения уровней и времени. При этом выдвигается требование, чтобы суммы эмпирических и теоретических (выравненных) уровней были равны или, что одно и то же, чтобы сумма отклонений фактических уровней от теоретических, рассматриваемых как средние, была равна нулю, т.е.

    ,     (11)

   где у – эмпирические (фактические) уровни;

     = а_О + а₁t – теоретические уровни.

   Раскрыв скобку и перенеся в правую часть  равенства ∑у, получают na_О+ a₁∑t = ∑у.

   Рассчитав такие суммарные показатели для  двух частей исследуемого ряда, получают систему двух уравнений, решение которой и даст параметры искомого уравнения тренда.

3. Наиболее распространенный метод нахождения параметров аналитического уравнения при выравнивании рядов динамики – метод наименьших квадратов (МНК). При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней у от теоретических , т.е. .

   В частности, при выравнивании по прямой вида = а_О + а₁t параметры a_О и а₁ определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученной методом наименьших квадратов (с заменой х на t),

    ,      (12)

   где n – количество уровней ряда;

   t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени;

   у – уровни эмпирического ряда.

   Решение этой системы возможно любыми известными способами. Существует готовая формула  для а₁ и a_О:

    ,       (13)

    ,      (14)

   Для а_О есть еще более простой расчет:

    ,        (15)

    ,       (16)

   Сравнивая значения эмпирических и теоретических (выравненных) уровней, видно, что они очень близки, т.е. можно сказать, что найденное уравнение весьма удачно характеризует основную тенденцию изменения уровней именно как линейную функцию. Об этом свидетельствует и сумма квадратов отклонений у от , на основе которой рассчитывается среднее квадратическое отклонение от тренда:

    ,       (17)

   где m – число параметров в уравнении тренда, используемое для оценки адекватности подобранной линии тренда /3, с. 331/.

   Система нормальных уравнений и, соответственно, расчет параметров a_О и а₁ упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно +1, +2, +3 и т.д.

   При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через 2 интервала: ±3, ±5, ±7 и т.д.

   При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) ∑t = 0, поэтому система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно /2, с. 81/:

    ,     (18)

   Далее, используя рассмотренные методики, проанализируем динамику реализации сельскохозяйственной продукции в РФ.

 

2. Анализ динамики реализации сельскохозяйственной продукции

2.1. Оценка тенденций изменения реализации сельхозпродукции

   Динамика  реализации продукции сельскохозяйственных организаций по РФ представлена в табл. 5. 

Таблица 5

Реализация  основных продуктов сельскохозяйственными организациями,