Статистические методы прогнозирования в изучении социально-экономических явлений

* если относительно  стабильны абсолютные приросты (первые  разности уровней приблизительно  равны), сглаживание может быть  выполнено по прямой

* если абсолютные  приросты равномерно увеличиваются  (вторые разности уровней приблизительно  равны), можно принять параболу  второго порядка; 

* при ускоренно  возрастающих или замедляющихся  абсолютных приростах - параболу  третьего порядка; 

* при относительно  стабильных темпах роста - показательную  функцию. 

Цель аналитического выравнивания - определение аналитической или

графической зависимости. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры  функции, а затем анализируют  поведение отклонений от тенденции. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости: линейная, параболическая и экспоненциальная. [2]

1.3.3 Применение  моделей кривых роста для анализа  и прогнозирования 

Удобным средством  описания одномерных временных рядов  является их выравнивание с помощью  тех или иных функций времени (кривых роста). Кривая роста позволяет  получать выровненные или теоретические  значения уровней динамического  ряда. Это уровни, которые наблюдались  бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста  включает в себя следующие этапы:

* выбор одной  или нескольких кривых, форма  которых соответствует 

характеру изменения  временного ряда;

* оценка параметров  выбранных кривых;

* проверка адекватности  выбранных кривых прогнозируемому  процессу 

и окончательный  выбор кривой роста;

* расчет точечного  и интервального прогнозов. 

В настоящее время  описано несколько десятков кривых роста, многие из которых широко применяются  для выравнивания экономических  временных рядов. [3]

Кривые роста  условно могут быть разделены  на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они хорошо описывают.

К I классу относятся  функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы  для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных  показателей промышленного производства.

Ко II классу относятся  кривые, описывающие процесс, который  имеет предел роста в исследуемом  периоде. С такими процессами часто  сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения) и  т.д.

Функции, относящиеся  ко II классу, называются кривыми насыщения.

Если кривые насыщения  имеют точки перегиба, то они относятся  к III классу кривых роста - к S-образным кривым.

Эти кривые описывают  два последовательных лавинообразных развития, дугой - с замедлением. S-образные кривые находят применение в демографических  исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.

Вопрос о выборе кривой является основным при выравнивании ряда.

Существует несколько  решений этой задачи, однако, все  они предполагают знакомство с основными  свойствами используемых кривых роста. Рассмотрим типы кривых, наиболее часто  применяемых на практике.

Среди кривых роста I типа, прежде всего, следует выделить класс полиномов: = + t + + ,

где ai (i = 0,1, ... ,p) - параметры многочлена,

t - независимая переменная (время).

Коэффициенты полиномов  невысоких степеней могут иметь  конкретную интерпретацию в зависимости  от содержания динамического ряда. Обычно в экономических исследованиях  применяются полиномы не выше третьего порядка. Использовать для определения  тренда полиномы высоких степеней нецелесообразно, поскольку полученные аппроксимирующие функции будут отражать случайные  отклонения (что противоречит смыслу тенденции).

Полином первой степени  yt = a0+a1t на графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

Полином второй степени  yt = a0 + a1t + a2t2 применим в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно (т.е. имеется равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровней).

Как известно, если параметр a2>0 , то ветви параболы направлены

вверх, если же a2<0, то вниз. Параметры a0 и a1 не влияют на форму 

параболы, а лишь определяют ее положение.

Полином третьей  степени имеет вид yt = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 .

У этого полинома знак прироста ординат может изменяться один или два раза (рисунок 2.1.) [Приложение 3].

Отличительная черта  полиномов - отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат (yt).

Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной  является зависимость приростов  от величины самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие "лавинообразный" характер, когда  прирост зависит от достигнутого уровня функции.

Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид: yt= abt .

Если в>1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b<1.

Параметр a характеризует начальные условия развития, а параметр b-

постоянный темп роста.

Действительно, темп роста равен Тt = 100% .

В данном случае Тt = 100 % = b 100% = const.

Соответственно  и темпы прироста – постоянны  Кt = Тt – 100% = const.

Для оценивания параметров модифицированной экспоненты возможно

применение, как  нелинейного метода наименьших квадратов, так и ряда других методов, в которых  вычисления проще, но оценки менее эффективные.

Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия  растет вместе с ростом достигнутого уровня.

Если воздействие  ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного  момента (точки перегиба), до которого процесс 

развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для  выравнивания используют S-образные кривые.

Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая, или кривая Перла-Рида.

Кривая Гомперца имеет вид: yt = k× .

Кривая несимметрична. Если log a <0, кривая имеет S-образный вид, при этом асимптота, равная k,проходит выше кривой.

Если log a >0, асимптота, равная k , лежит, ниже кривой, а сама кривая

изменяется монотонно: при b<1 - монотонно убывает; при b>1 - монотонно

возрастает.

Для решения экономических  задач наибольший интерес представляет вариант этой кривой, когда log a <0 и b<1 (рисунок 2.1.) [Приложение 3].

Как видно из графика, логистическая функция возрастает сначала ускоренным темпом, затем темп роста замедляется и, наконец, рост почти полностью прекращается, о чем свидетельствует тот факт, что кривая асимптотически приближается к некоторой прямой, параллельной оси абсцисс.

Рассмотрев наиболее часто используемые в экономических  исследованиях виды кривых роста, выявили, что особенности и свойства этих кривых могут существенно помочь при решении задачи выбора типа кривой. [2]

1.3.4 Экстраполяция  тенденции как метод прогнозирования 

Основа большинства  методов прогнозирования - экстраполяция  тенденции, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы или это получение  представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему. Экстраполяция, проводимая в будущее - это перспектива, а  в прошлое- ретроспектива.

Предпосылки применения экстраполяции:

* развитие исследуемого  явления в целом следует описывать  плавной кривой;

* общая тенденция  развития явления в прошлом  и настоящем не должна претерпевать  серьезных изменений в будущем. 

Экстраполяцию в  общем виде можно представить  так:̅i+t = f (,T,),

где ̅i+t - прогнозируемый уровень; - текущей уровень прогнозного ряда;

T - срок экстраполяции; - параметр уравнения тренда.

При этом могут  использоваться разные методы в зависимости  от исходной информации.

Упрощенные приемы целесообразны при недостаточной  информации о предыстории развития явления (нет достаточно длинного ряда или информация заданна только двумя  точками: на начало и конец периода). Упрощенные приемы основываются на средних  показателях динамики, и можно  выделить:

1. Метод среднего  абсолютного прироста.

Для нахождения интересующего  нас аналитического выражения тенденции  на любую дату необходимо определить средний абсолютный прирост и  последовательно прибавить его  к последнему уровню ряда столько  раз, на сколько периодов экстраполируется ряд.̅i+t = +̅t , где t- срок прогноза; i- номер последнего уровня.

Применение в  экстраполяции среднего абсолютного  прироста пред -

полагает, что развитие явления происходит по арифметической прогрессии и относится в прогнозировании  к классу «наивных» моделей, ибо  чаше всего развитие явления следует  по иному пути, чем арифметическая прогрессия. Вместе с тем в ряде случаев этот метод может найти  применение как предварительный  прогноз, если у исследователя нет  динамического ряда: информация дана, лишь на начало и конец периода (например, данные одного баланса).

2. Метод среднего  темпа роста. 

Осуществляется, когда  общая тенденция характеризуется  показательной кривой ̅i+t = +̅ , где - последний уровень ряда динамики; k- средний коэффициент роста.

3, Выравнивание  рядов по какой-либо аналитической  формуле. 

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогнозов. Точное совпадение фактических  данных и прогнозных точечных оценок, полученных путем экстраполяции  кривых, имеет малую вероятность.

Любой статистический прогноз носит приближенный характер, поэтому целесообразно определение  доверительных интервалов прогноза:

̅i+t ̅ , ̅i+t √∑ , где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости a; ̅- средняя квадратическая ошибка тренда; k- число параметров в уравнении; - расчетное значение уровня.

Аналитические методы основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в  виде уравнения тренда, то есть математической функции уровней динамического  ряда (y) от факторного времени (t): y=f(t).

Аналитическое сглаживание  позволяет не только определить общую  тенденцию изменения явления  на рассматриваемом отрезке времени, но и 

выполнять расчеты  для таких периодов, в отношении  которых нет исходных

данных.

Адаптивные методы используются в условиях сильной  колеблемости уровней динамического ряда и позволяют при изучении тенденции учитывать степень влияния предыдущих уровней на последующие значения динамического ряда. К адаптивным методам относятся методы скользящих и экспоненциальных средних, метод гармонических весов, методы авторегрессионных преобразований. Цель адаптивных методов заключается в построении самонастраивающихся моделей, способных учитывать информационную ценность различных членов временного ряда и давать достаточно точные оценки будущим членам данного ряда. ТС Прогноз получается как экстраполяция последней тенденции.

В разных методиках  прогнозирования процесс настройки (адаптации) модели осуществляется по-разному, и можно выделить следующие методы:

* метод скользящей  средней (адаптивной фильтрации, метод Бонса-Дженкинса);

* метод экспоненциального  сглаживания (методы Хольда, Брауна, экспоненциальной средней).

Скользящие средние  представляют собой средние уровни за определенные периоды времени  путем последовательного передвижения начала периода на единицу времени. При простой скользящей средней все уровни временного ряда считаются равноценными, а при исчислении взвешенной скользящей средней каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния данного уровня до середины интервала сглаживания.

Особенность метода экспоненциального сглаживания  в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используется только значения предыдущих уравнений, взятых с определенным весом. Смысл экспоненциальных средних состоит в нахождении таких средних, в которых

влияние прошлых  наблюдений затухает по мере удаления от момента,

для которого определяется средние. [12]

2 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ  НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА  ВВП РФ 

Анализ и обобщение  статистических данных являются заклю -чительным этапом статистического исследования, конечной целью которого является получение теоретических выводов и практических заключений о тенденциях и закономерностях изучаемых социально-экономических явлений и процессов.

Для проведения экономико-статистического  анализа были взяты данные ВВП  России в 1996-2010 годах в постоянных ценах 2008 года (таблица 5) [Приложение 4] [13]

Перед тем, как перейти  к анализу динамики валового внутреннего  продукта, выявим, существует ли тенденция  в изучаемом ряду динамики. Наиболее распространенным и простым путем  выявления тенденции развития является сглаживание или выравнивание динамического  ряда.

Пусть динамический ряд состоит из уровней , t=1,…..,n. для каждых g последовательных уровней этого ряда можно подсчитать среднюю величину. Последовательные значения скользящей средней можно определить путем последовательного расчета накопленных сумм уровней. Обозначим кумулятивную сумму уровней от начала ряда до уровня j включительно как; ; и т.д. Тогда расчет скользящей средней можно произвести по формуле ̅=. Пусть применяется трехлетняя скользящая средняя, тогда g=2p+1=3 , p=1. Найдем значения и вычислим - и ̅.

Все расчеты представлены в таблице 6 [Приложение 4]

Представим графическое  сравнение результатов. Сглаживаемая тенденция развития получается более плавной (рис. 3) [Приложение 5]

Мы подтвердили, что в изучаемом ряду динамики существует тенденция. Теперь попытаемся определить ее вид. Это сделаем с  помощью метода сравнения средних  уровней ряда динамики. Разобьем весь исходный