Эту формулу иногда упрощают, заменяя 

     Если  отбросить указанный множитель, что часто делается на практике, то получается некоторое преувеличение  средней ошибки, что делает выводы более надежными. Однако при различных формах направленного отбора нельзя пренебрегать коэффициентом внутригрупповой корреляции.

     Результаты  выборочного статистического исследования во многом зависят от уровня подготовки процесса наблюдения. Под уровнем  подготовки в данном случае подразумевается  соблюдение определенных правил и принципов  проектирования выборочного обследования. Важнейшим элементом проектирования выборочного обследования является составление организационного плана выборочного наблюдения. В общем виде организационный план выглядит следующим образом:

1. Постановка цели и задач наблюдения.
2. Определение границ объекта исследования.
3. Обработка программы наблюдения (составление анкеты, опросного листа, формы отчета и т.д.) и разработка её материалов.
4. Определение процедуры отбора, способа отбора и объёма выборки.
5. Подготовка кадров для проведения наблюдения, размножение формуляров, инструктивных документов.
6. Расчет выборочных характеристик и определение ошибок выборки.
7. Распространение выборочных данных на всю совокупность.

      §4. Определение необходимого объёма выборки

     При проектирование выборочного наблюдения встает вопрос о необходимой численности выборки.

     Для определения необходимого объёма выборки  задается уровень точности выборочной совокупности с определенной вероятностью. Например, необходимая численность  случайной повторной выборки  определяется по формуле

     которая вытекает из формулы предельной ошибки: .

     Эта формула показывает, что при увеличении предполагаемой ошибки выборки значительно  уменьшается необходимый объём  выборки. Необходимая численность  выборки прямо пропорциональна дисперсии признака и величине t². Формула необходимого объёма выборки выводится для разных способов отбора из формулы предельной ошибки выборки. В таблице 4.1 приведены формулы необходимого объёма выборки для некоторых способов формирования выборочной совокупности.

Таблица 4.1^*

     Необходимая численность выборки вычисляется по-разному для выборочного наблюдения, в котором устанавливается средний размер признака в совокупности, и для наблюдения, в котором определяется доля единиц, обладающих данным признаком, из-за различных методов вычисления меры колеблемости для варьирующего и альтернативного признаков.

     Практическое  определение необходимого объёма выборки нередко становится серьёзной проблемой. Она связана, в частности, с недостаточной разработанностью таких вопросов, как оценка вариации изучаемых признаков, обоснование численности выборки при изучении нескольких признаков, зависимость объёма выборочной совокупности от программы разработки материалов наблюдения и др. Трудности появляются и из-за организационных факторов, которые должны быть обязательно учтены.

     Одним из наиболее существенных и в то же время сложных вопросов определения необходимого объёма выборки в исследованиях являются расчет среднего квадратического отклонения изучаемого признака (s), так как часто отсутствуют данные необходимые для его вычисления. Обычно для этой цели берутся материалы предыдущих обследований. Но, если за прошедший до нового обследования период в генеральной совокупности произошли значительные изменения, то эти данные использовать нельзя.

     Часто чтобы получить точные данные об изучаемой  совокупности, в том числе и  о вариации изучаемого признака, проводиться  пробное обследование. По данным такого обследования можно рассчитать среднее квадратическое отклонение и дисперсию для последующего обоснования необходимого объёма выборки. Если же мера колеблемости признака не известна, то её можно найти приближенно по величине предлагаемого размаха или среднего линейного отклонения по следующим формулам:

     и

     где s - среднее квадратическое отклонение; R – размах вариации; - среднее линейное отклонение.

     При применении этих формул важно чтобы  фактическое распределение было близко к нормальному, так как не имеет смысла вычислять среднее квадратического отклонение для явно несимметричных распределений.

     Очень часто при статистическом исследовании социально-экономических явлений расчет необходимого объёма выборки проводится по качественным признакам. Способ выражения качественных признаков не позволяет рассчитать по ним средние значения, поэтому оценка колеблемости обычно производится, исходя из долей единиц, обладающих значениями этих признаков, т.е. выборочных долей. Выборочная доля так же называется частостью.

     Если  расчет производится по качественному альтернативному признаку и не известна его доля в генеральной совокупности, рекомендуется принять её равной 0,5, так как дисперсия доли достигает максимума: при w=0,5.

     Такой прием позволяет рассчитать численность выборки, если вы не располагаете результатами предыдущего обследования, и также позволяет избежать проведения пробных обследований, а значит, позволяет сэкономить время и ресурсы, что часто оказывается решающими факторами.

     В ряде случаев приближенная оценка колеблемости признака может быть осуществлена путем превращения изучаемого признака в альтернативный. Например, все категории работников предприятия можно условно разделить в зависимости от принадлежности работающих к рабочим или служащим. Однако при этом следует учитывать, что такое деление неизбежно приведет к потери некоторой части информации. Ведь существуют отдельные категории работников (МОП, охрана и др.), которые выделяются в отдельные группы. Поэтому этот прием можно применять лишь при уверенности, что доля неучтенных единиц во всей совокупности незначительна.

      §5. Малая выборка

     В условиях рыночной экономики в практике статистического исследования все чаще приходится сталкиваться с небольшими по объёму так называемыми малыми выборками.

     Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30. В настоящее время малая выборка используется более широко, чем раньше, прежде всего за счет статистического изучения малых и средних предприятий, коммерческих банков, фермерских хозяйств и т.д., количество которых в определенных случаях, особенно при региональных исследованиях, а также величина характеризующих их показателей (например, численность занятых) часто незначительны. Поэтому, хотя общий принцип выборочного обследования (с увеличением объёма выборки повышается точность выборочных данных) остается в силе, иногда приходиться ограничиваться малым числом наблюдений. Наряду со статистическим изучением рыночных структур эта необходимость возникает при выборочной проверки качества продукции, в научно-исследовательской работе и в ряде других случаев.

     Разработка  теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. Госсетом (печатавшимся под псевдонимом Стьюдент) в 1908г. Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения, иногда называемое распределением Стьюдента.

     При оценке результатов малой выборки  величина генеральной дисперсии  в расчетах не используется. Для  определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента, определяемым по формуле

     где - мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборки.

     Величина  σ вычисляется на основе данных выборочного наблюдения. Она равна:     

     Данная  величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки σ в генеральной совокупности. При небольшой численности выборки распределение Стьюдента отличается от нормального: большие величины критерия имеют здесь большую вероятность, чем при нормальном распределении.

     Предельная  ошибка малой выборки ( ) в зависимости от средней ошибки ( ) представлена как                         

     Но  в данном случае величина t иначе связана с вероятной оценкой, чем при большой выборки. Согласно распределению Стьюдента, вероятная оценка зависит как от величины t, так и от объема выборки в случае, если предельная ошибка не превысит t-кратную среднюю ошибку в малых выборках. При увеличении n это распределение стремиться к нормальному и при n=20 уже мало отличается от него.

     Для каждого числа степеней свободы k = n-1 указана предельная величина t_p (t_0,95 или t_0,99), которая с данной вероятностью р не будет превышать в силу случайных колебаний результатов выборки. На основе величины t_p определяются доверительные интервалы: и . Эта область тех значений генеральной средней, выход за которые имеет весьма малую вероятность, равную:

     В качестве доверительной вероятности  при двусторонней проверки используются, как правило, р=0,95 или р=0,99, что  не исключает, однако, выбора и других р.

     Вероятность q случайного выхода оцениваемой средней величины за пределы доверительного интервала соответственно будут равны 0,05 и 0,01, т.е. весьма малы. Выбор между вероятностями 0,95 и 0,99 является до известной степени произвольным. Этот выбор во многом определяется содержанием тех задач, для решения которых применяется малая выборка.

     В заключение отметим, что расчет ошибок в малой выборке мало отличается от аналогичных вычислений в большой  выборке. Различие заключается в  том, что при малой выборки  вероятность нашего утверждения  несколько меньше, чем при большой  выборки. Однако все это не означает, что можно использовать малую выборку тогда, когда нужна большая выборка. Во многих случаях расхождения между найденными пределами могут достигнуть значительных размеров, что вряд ли удовлетворяет исследователей. Поэтому малую выборку следует применять в статистическом исследовании социально-экономических явлений с большой осторожностью, при соответствующем теоретическом и практическом обосновании.