Электромагнитные поля и волны

     Уравнения (1) легко трансформируются в однородные волновые уравнения для векторов и :

     ²+k² = 0; ∇²+k²=0;                                    (3)

     где k =* волновое число для плоской однородной волны, распространяющейся в безграничной среде с параметрами диэлектрика, заполняющего (окружающего) линию передачи. При решении задачи определения структуры электромагнитных полей Е- и Н-волн в линиях передачи используется следующий прием:

     все поперечные составляющие векторов поля выражают с помощью так называемых «уравнений связи» через имеющиеся в данной волне продольные составляющие векторов напряженности электрического или

     магнитного  поля ( для Е-волн и для Н-волн);решают волновые уравнения только для этих продольных составляющих;

           вычисляют с помощью  уравнений связи поперечные составляющие векторов ^и в линии передачи. Таким образом, решение задачи сводится к составлению уравнений связи и решению одномерных однородных

     волновых  уравнений для продольных составляющих векторов и . Для E- волн предстоит решить уравнение:

                                                              (4)

     а для Н-волн - уравнение:

                                                              (5)

     Решениями уравнений ((2.4)и(2.5)) являются следующие  уравнения:

                                    (6)

                                              (7) 

     2.2 Уравнения связи для Е- и Н-волн

     Уравнения связи получаются в результате преобразования уравнений Максвелла (2.1), раскрытых  для соответствующей системы  координат. Для цилиндрической системы  координат (r,<[>,z) уравнения связи для Е- и Н-волн выглядят следующим образом: Е-волны 
 
 
 

     Н-волны 
 
 
 

     где k - волновое число, К - продольное волновое число для Е и Н-волн в волноводе,  x - поперечное волновое число 
 

                                                                   

      

 

     

     2.3 Е и Н волны

     Для этих волн поперечное волновое число X ≠ 0, а продольное волновое число К отличается от к. Рассмотрим, как будет изменяться величина К в зависимости от частоты колебаний ω. В реальных системах частота со есть частота источника, возбуждающего поле, т.е. частота генератора. Положим в общем виде:

           (2.12)

     В зависимости от величины ю могут  иметь место три случая (напомним, что )

     Волновое  число к > Х (частота достаточно высокая). При этом продольное волновое число К является чисто вещественной величиной (см.(2.11)). Следовательно, в данном случае (см. (2.12)) К = , a = 0. Волна распространяется вдоль линии без затухания, и процесс ее распространения определяется множителем ехр(—jPz), где играет роль коэффициента распространения этой волны в волноводе:

           (2.13)

     Волновое  число к < X (частота ю низкая). При этом продольное волновое число К является чисто мнимой величиной (см. (2.11)) и, в соответствии с (2.12), К = -ja, β = 0. Это означает, что в данном случае в линии передачи существует не электромагнитная волна, а не распространяющееся электромагнитное поле, «привязанное» к источнику возбуждения и затухающее по мере удаления от него по закону ехр(-аz), где a — коэффициент затухания, равный:

           (2.14)

     Волновое  число к =X. При этом продольное волновое число К = 0. Формально в этом случае в линии передачи нет ни волны, ни не распространяю ще гося поля. Такой режим работы линии передачи называют критическим, а частоту, при которой наступает этот режим, также

     называют  критической и обозначают _кр. Она определяет границу перехода от режима, при котором в линии передачи могут распространяться электромагнитные волны, к режиму, при котором распространение электромагнитных волн вдоль линии передачи невозможно. Из выражения (3.11), полагая К = 0, находим _кр:

            

     где V — фазовая  скорость плоской электромагнитной волны, распространяющейся в свободном  пространстве. Из формул (2.15), (2.16) видно, что критическая частота зависит  не только от поперечного волнового

     числа Х, но и от параметров диэлектрика, заполняющего линию передачи. Такая зависимость  иногда оказывается неудобной, поэтому  помимо _кр и f_кр для характеристики критического режима пользуются параметром «критическая длина волны» - А,_кр, под которой понимают длину волны плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве, частота возбуждения которой равна f_KT): 

     Таким образом Е- и Н-волны могут распространяться вдоль линии передачи не при любых частотах, а лишь при выполнении условия:

     (2.18)

     где f — частота возбуждающего линию передачи генератора, а , — длина волны в свободном пространстве, соответствующая этой частоте.

     Найдем  фазовую и групповую скорости Е- и Н- волн, распространяющихся вдоль линии передачи — Уф и У,_т. Для этого запишем мгновенное значение функции для падающей волны:

     Z(z,t) = A cos(- βz)                                          (2.19) 

     Фазовая скорость будет равна производной  по времени от полученной величины z

     V_ф =         (2.20)

           Продолжая преобразования, найдем:

     =    (2.21)

     Анализ  выражения (2.21) показывает, что, во-первых, У_ф зависит от частоты генератора и, следовательно, линии передачи с Е- и Н-волнами являются диспергирующими системами. Во-вторых, У_ф оказывается больше, чем фазовая скорость плоской однородной волны в свободном пространстве V. Этот результат, на первый взгляд, может показаться противоречащим основному постулату теории относительности, согласно которому передача сигналов со скоростью, превышающей скорость света в пустоте, невозможна. На самом деле противоречия, конечно, нет, так как скорость передачи сигнала электромагнитной волной, равная 1/(), совпадает с фазовой скоростью этой волны и скоростью переноса энергии только для плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве. Для Е- и Н-волн скорость передачи сигнала, которую мы назовем групповой скоростью и обозначим V_гр, отличается от V_ф и равна: 

                 (2.22)

     Как и следовало ожидать, У_гр оказывается меньше, чем V. Примечательно, что всегда выполняется условие:

     V_грV_ф=V²

     Найдем  длину волны Е- и Н-волн, распространяющихся вдоль линии передачи.

     Фазовая скорость Уф определяет длину волны  в линии передачи, 
которую мы обозначим А и будем понимать под ней расстояние, которое Е- 
или Н-волна проходит вдоль линии за отрезок времени, равный периоду 
колебаний Т:

     Λ = V_ФТ;    (2.23)

     Подставляя  в (2.23) значение У_ф из (2.21), и учитывая, что Т = 7JV,

     получаем: 

     где - длина волны в свободном пространстве, соответствующая частоте генератора, возбуждающего Е- и Н-волны в линии передачи. Как и следовало ожидать, при одной и той же частоте возбуждения длина волны в линии передачи Λ оказывается больше длины волны в свободном пространстве . Из формул (2.24) и (2.21) следует, что с увеличением частоты 
возбуждающего генератора длины волн электрических и магнитных волн в линии передачи и их фазовые скорости приближаются к длине волны и фазовой скорости плоской волны в свободном пространстве. Этот результат можно объяснить тем, что, по мере увеличения частоты, относительные (по отношению к А) размеры поперечного сечения линии передачи возрастают и 
условия распространения волн вдоль линии передачи все больше приближаются к условиям, существующим при распространении волны в свободном пространстве. Наоборот, при стремлении f к f_кр значения Λ и V_ф все больше превосходят , и V, стремясь в пределе (при f = f_кр) к бесконечности.

     Установив общие свойства направляемых волн, перейдем к рассмотрению структуры  электромагнитного поля этих волн для  конкретных направляющих систем. 
 
 

     3 Структура электромагнитного поля  Е- и Н- волн, распространяющихся в круглом волноводе

     3.1 Уравнения поля  в цилиндрической системе координат

     Разместим цилиндрическую систему координат так, как показано на рисунке.

     

     Рис.3.1.1 Цилиндрическая система координат

     В этом случае граничные условия запишутся  в виде

     Е_ф = 0приг = R (3.1)

     Е_z = 0 при г = R (3.2)

     где E_ф и E_z - азимутальная и осевая составляющие электрического поля в волноводе и R - радиус волновода. Будем полагать волновод заполненным однородным изотропным диэлектриком без потерь.

     Для нахождения уравнений волн типов  ТМ и ТЕ воспользуемся методом  вычисления поперечных составляющих через  продольные составляющие роля E_z и H_z. Векторная операция ротора в цилиндрической системе координат имеет вид 

     где e_r, e_ф, е_z - единичные векторы (орты) по координатам г, ф, z.

     Пользуясь выражением (3.3), разложим по ортам цилиндрической системы координат уравнения  Гамильтона при отсутствии потерь в  диэлектрике (е' = е): 
 
 

         
 

     Производя дифференцированные по z с учетом множителя е^j∞t-yz и выполняя преобразования, получим 
 
 
 

     Полученные  соотношения являются суммой двух линейно  независимых решений, зависящих  соответственно только от Е_z, и H_z. Таким образом, поле в круглом волноводе разделяется на волны типов ТЕ и ТМ.

     Дальнейшее  рассмотрение поля в круглом волноводе  требует решения волнового векторного уравнения и нахождения выражений  для составляющих E_z и H_z.

     Для того чтобы развернуть оператор второго  порядка типа V²E в цилиндрической системе координат, следует воспользоваться векторными соотношениями по координатам г, , z. Например, для координаты г:

     (V²Е)_г - grad_rdivE - rot_rrotE

     Операции  дивергенции и градиента в  цилиндрических координатах  записываются в виде: 

     ; 

     Используя эти соотношения совместно с (3.3), можно переписать волновое уравнение  относительно вектора Е в виде трёх скалярных уравнений, соответствующих  членам при ортах е_г, е_ф, e_z. Последнее из этих уравнений даёт: