Электромагнитные поля и волны

="right">                       (3.5)

     Аналогично  может быть получено для составляющей Н_z. Решение уравнения (4.5) может быть произведено методом разделения переменных. Например, для величины Е_г положим

     E_z=R(r)Ц()Z(z)e^jt∞     (3.6)

     После подстановки выражения (3.6) в (3.5) имеем:

                             (3.7) 

     Обозначим

                                         (3.8)

                                   (3.9)

     Подставляя (3.8) и (3.9) в (3.7), получаем уравнение относительно множителя R(r):

                (3.10)

     Таким образом, уравнение (3.5) в частных  производных расщепилось на три  независимых дифференциальных уравнения (3.8)-(3.10) относительно функций R, Ф, Z. Решения первых двух уравнений имеют вид

     Z = C_xe^F +С_ге^р      (3.11)

     Ф = С, cosn + С₄ inn(3.12)

     В выражении (3.12) можно использовать преобразование вида Bcos(n -ψ). Однако нетрудно видеть, что отсутствие определённого начала 

     отсчета углов ф в сечении с полной геометрической симметрией делает невозможным  определение постоянной ψ.

     Оставшееся  уравнение (3.10) относительно функции  R(r), может быть сведено к обычному уравнению Бесселя с помощью подстановки

     r²(k² + y²) =

                       (3.13)

     Решение уравнения (3.13) выражается через функции  Бесселя первого и второго  рода n-го порядка:

     (3.14)

     Для ориентировки на рис. 3.1.2 приведены  графики функций Бесселя. Как  видно из рисунка, внешне эти функции  схожи с тригонометрическими  функциями синуса и косинуса.

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис. 3.1.2 Графики функций Бесселя первого  и второго порядка

     Отбрасывая  волну, распространяющуюся в сторону  отрицательных значений z [первый член в уравнении (3.11)], получаем:

       (3.15) 

     Последнее выражение можно записать в виде

     (3.16)

     где В, С₇ и С₈ - постоянные, определяющие амплитуду поля в волноводе.

     Совершенно  аналогичные уравнения могут  быть написаны и для составляющей Н₂.

     При г0 функция Бесселя второго рода стремится к минус бесконечности. Из условия конечных значений передаваемой мощности и напряженности полей в центре полой трубы заключаем, что постоянная С₈ в уравнении (3.16) должна быть равна нулю. Таким образом, решения для продольных составляющих поля в круглом волноводе сводятся к виду: 

             (3.17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

     

     3.2 Волны типа ТМ в круглом волноводе

     Для нахождения уравнений составляющих поля волн электрического типа в круглом  волноводе в уравнениях (3.4) положим  Н_z=0. Будем сразу рассматривать волны, распространяющиеся без затухания, т.е. у = jβ. В этом случае уравнения поперечных составляющих волн типа ТМ приобретает вид: 

             (3.18) 
 

     Продольная  составляющая E_z согласно решению, приведённому в 3.1, 
оказывается равной 

     Подставляя  соотношение (3.19) в (3.18), можно найти  остальные составляющие поля в круглом  волноводе при волнах типа ТМ. Для  сокращения записи обозначим 

     В результате семейство уравнений  поля при волнах типа ТМ в круглом 
волноводе приобретает вид 

                                      (3.20) 
 
 

 

     

     Через в этих выражениях обозначена производная бесселевой функции первого рода п-го порядка от аргумента Во всех уравнениях (3.20) множитель e^i(∞t-βz) опущен.

     Остаётся  определить постоянные, входящие в  выражения составляющих поля. На стенке волновода при r=R Е₉ = E_z = 0. Это условие можно выполнить для любых ф только при = 0, где R - радиус волновода.

     Обозначим безразмерные корни функции Бесселя  через v_ni:

       где i - номер корня (i=1,2,3...).

     Следовательно,

                                                    (3.21)

     Обозначим ;

     Отсюда  с учётом соотношения (3.21) критическая  длина волны для волн типа TM_nj или E_nj в круглом волноводе равна 

     Индекс  n в уравнении (3.22) может принимать не только целочисленные, но и нулевые значения. Дробные значения п не имеют физического смысла, поскольку в этом случае однозначность поля не может быть обеспечена при обходе по азимуту на 2π.

     Численные значения корней v_ni можно получить из таблиц бесселевых функций. В простейших случаях имеем:

     волна типа  E₀₁: v_m = 2,405;  Л_гр = 2,62R;

     волна типа  E_u :v_u = 3,832;    Л_кр = 1,64R; 
 
 
 

     С учетом (3.21) получаем окончательные  уравнения волн электрического типа в круглом волноводе:

                                        (3.23)

     В общем случае волны типа E_ni в круглом волноводе являются двукратно вырожденными. В самом деле, присутствие синусоидальных и косинусоидальных членов во всех рассмотренных уравнениях указывает на существование волн, различающихся чётной или нечётной вариацией поля относительно произвольного начала отсчёта углов ср. Эти парные волны при идеальной симметрии волновода имеют одинаковые постоянные распространения. Не имеют вырождения только волны типа Е_и, обладающие азимутальной симметрией, т.е. не имеющие вариаций поля по углу ср.

     Среди волн электрического типа в круглом  волноводе наибольший интерес для  практики представляет волна типа E₀i- Её уравнения могут быть получены из выражений (3.23). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Производя необходимые преобразования, получаем уравнения распространяющейся волны  типа E₀₁: 
 
 
 

             Структура поля волны E₀₁ показана на рис. 3.2.1. Вариация поля по азимуту отсутствует, вариация поля по радиусу происходит по кривой бесселевой функции. Изменение поля вдоль оси Z синусоидальное, со сдвигом фазы составляющей E_z относительно составляющих E_r и H_φ на π/2. Токи в стенках волновода при волне типа E₀₁, как и во всех случаях электрических волн, чисто продольные. Максимум плотности тока J_z совпадает с максимумом E_r и H.

     

     Рис. 3.2.1 Структура электрического и магнитного полей при бегущей волне типа E₀₁ в круговом волноводе.

           Волны типа E_n0 в круглом волноводе не существуют. При i = 0 все компоненты поля обращаются в 0. 
 
 

     3.3 Волны типа ТЕ в круглом  волноводе

     Магнитные волны в круглом волноводе  могут быть вычислены с помощью  уравнений (3.4) при условии E_z = 0, соответствующем волнам типа ТЕ в любом однородном волноводе. После подстановки величины H_z, определяемой уравнением (3.17), получаем следующие уравнения распространяющихся волн типа ТЕ в круглом волноводе: 
 
 
 
 
 

     Граничное условие E_φ = 0 при r=R дает:

     ;

                                            (3.26)

     Через µ_ni обозначен i-й корень производной бесселевой функции первого рода n-го порядка. Критическая длина волны отсюда равна 

     Числа n и i могут принимать значения n= 0,1,2,3…; i=1,2,3…

     Вычислим  критическую длину волны для  некоторых простейших типов волн:

     Волна типа H₀₁: µ₀₁ 3,832; λ_кр 1,64R;

     Волна типа H₁₁: µ₁₁ 1,841; λ_кр 3,41R.

     Критические длины волн для некоторых других значений n и i приведены в таблице.

     Таблица Критические длины волн для волноводов круглого сечения

     При рассмотрении таблицы выясняется, что  наибольшую критическую длину волны  имеет не волна с наименьшими  индексами H₀₁, а волна типа H₁₁.

     Магнитные волны. Как и электрические, оказывают  двукратно вырожденными, за исключением n = 0, но так как волна типа H₀₁ имеет одинаковую критическую длину волны типа E₁₁, то указанные волны также имеют вырождение.

     Из  магнитных волн практический интерес  представляют H₁₁ и H₀₁.

     Структура полей этих волн показана на рис. 3.3.1

     

     Рис. 3.3.1 Структура полей бегущих волн типов H₁₁ и H₀₁ в круглом волноводе

     Волна H₀₁ обладает некоторыми аномалиями. Электрические силовые линии этой волны имеют форму замкнутых окружностей и не заканчиваются на стенках волновода. Токи в стенках волновода также протекают по окружностям и не имеют продольных составляющих.

     Примечательной  особенностью волны типа H₀₁ являются малые потери в стенках. В силу этого волна Н₀₁ представляет особый интерес, когда необходимо малое затухание, например, в волноводных линиях дальней связи. Волна типа Н₀₁ используется также в полых резонаторах, обладающих весьма высокой добротностью.

     Использование этой волны для передачи энергии, однако, затрудняется из – за того, что волна типа Н₀₁ не является низшей. На рис.3.3.2 показано распределение критических длин волн для круглого волновода. Область волн λ>3,41R соответствует полной отсечке. В диапазоне 2,62R<λ <3,41R по волноводу может распространяться только один тип волны Н₁₁. Таким образом, волна типа Н₁₁ является низшей волной в круглом волноводе. Начиная с длины волны λ=2,62R, могут существовать одновременно волны типа Н₁₁и E₀₁. При дальнейшем укорочении длины волны до 2,06R возникает волна типа Н₂₁, а при укорочении длины волны до 1,64R могут появиться сразу две волны Н₁₁ и E₁₁ и т.д.

     

     Рис. 3.3.2 Критические длины волн волновода  круглого сечения

     При увеличении отношения R/λ количество типов волн, способных распространяться по круглому волноводу, состовляет приблизительно М 10,2(R/λ)², если М>10. 
 

     4 Структура поля волны H₁₁ в круглом волноводе