Содержание 

Введение           3

1. Теорема Остроградского-Гаусса, основные положения   5

1.1. Исторические  аспекты, связанные с теоремой

Остроградского-Гаусса         5

1.2. Теорема Остроградского-Гаусса      7

2. Применение  теоремы Остроградского-Гаусса    14

2.1. Теорема Гаусса  в дифференциальной форме    14

2.2. Потоп электрического  смещения. Теорема Остроградского-

Гаусса для  электростатического поля      18

Заключение          21

Список использованной литературы      23     
 

 

Введение

 

     В науке часто бывает, что один и  тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки  зрения его действия, однако новая  формулировка помогает теоретикам несколько  иначе интерпретировать закон и испытать его применительно к новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был сформулирован.

     Теорема о суммировании зарядов позволяет  понять смысл и определить границы  применимости известной теоремы  Остроградского-Гаусса. В электродинамике  существуют понятия потоков напряженности  и индукции электрического и магнитного полей. Напряженность и индукция определяются градиентами потенциалов.

     В свою очередь они определяют число  силовых линий и линий индукции, исходящих из заряженного тела (заряда). Существует прямая пропорциональная связь  между величинами электрических и магнитных зарядов и количествами силовых линий и линий индукции. 
Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что суммарное число линий, проходящих через замкнутую поверхность, охватывающую электрические и магнитные заряды, равно алгебраической сумме линий, выходящих из каждого заряда в отдельности. Заметим, что линии напряженности и индукции – это крайне формальные понятия, в течение длительного времени затруднявшие правильное понимание электрических и магнитных явлений.

     Вместе  с тем эти понятия легко получить из общей теории, так как напряженность и индукция непосредственно связаны (пропорциональны) с потоком нанозаряда, а сам поток – с величиной излучающего его макро или микрозаряда.

     Таким образом, из общей теории как частный  случай вытекает теорема Остроградского-Гаусса. Она есть следствие теоремы о суммировании зарядов, справедливой только для стационарного режима и только в условиях, когда отсутствует взаимное влияние между зарядами. В реальных условиях теорема Остроградского-Гаусса неточно отражает действительность.

     Целью данной работы является систематизация и закрепление знаний о теореме Остроградского-Гаусса и ее применении при расчетах электростатических полей.

     Для реализации вышеуказанной цели в  работе необходимо решить следующие задачи:

     - рассмотреть исторические аспекты, связанные с теоремой Остроградского-Гаусса;

     - изучить основные положения теоремы  Остроградского-Гаусса;

     - охарактеризовать применение теоремы Остроградского-Гаусса в расчетах электростатических полей.

     Цель и задачи работы обусловили выбор ее структуры. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной при написании работы литературы. 

 

1. Теорема Остроградского-Гаусса, основные положения

1.1. Исторические аспекты, связанные с теоремой Остроградского-Гаусса

     В 1828 г. 27-летний русский математик М.В. Остроградский доложил на заседании Петербургской Академии наук о своих исследованиях в области переноса тепла, а вскоре опубликовал по этим результатам статью «Note sur la theorie de la chaleur» (Заметка по теории теплоты) в журнале Парижской Академии наук Mem. l'Acad, где в самом общем виде была доказана следующая формула:

      (1)

     У любого дальше возникает вопрос: почему теорема о дивергенции часто называется все-таки теоремой Остроградского-Гаусса, т.е. почему здесь указывается и имя Гаусса, а порой (чаще всего в английской и немецкой литературе) только его имя и упоминают. Просто в 1813г. Гаусс выпустил исторически значимую работу «Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata», в которой он изучил задачу о притяжении точки трехосным эллипсоидом. Здесь он впервые развил процедуру сведения объемного интеграла к поверхностному для простых функций в выражении:

      (2),

     и для нескольких частных случаев  ограничивающих поверхностей.¹ Более того, в 1830г. в работе «Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» Гаусс доказал теорему о среднем для гравитационного потенциала, которой мы часто пользуемся, в том числе в электродинамике, а именно: среднее значение потенциала по поверхности шара, внутри которого не содержится притягивающих масс, равно его значению в центре. Сразу же он вывел формулу:

           (3),

     где интегрирование ведется по поверхности, ограничивающей массу М, а под знаком интеграла стоит производная потенциала вдоль внутренней нормали к поверхности . В итоге получилось, что Гаусс в явном виде записал интегральное соотношение, равнозначное теореме о дивергенции для частного случая кулоновских полей.² Поэтому появление имени Гаусса при цитировании теоремы о дивергенции для кулоновских полей вполне закономерно. Но все же не стоит забывать о том, что эта теорема в общем виде была доказана впервые Остроградским, хотя это факт в последнее время редко вспоминают.

     Причин  того, что имя Остроградского при  упоминании теоремы чаще всего не упоминается, может быть несколько. Самая очевидная состоит в том, что произнести «теорема Гаусса» проще и быстрее, чем «теорема Остроградского-Гаусса», особенно для нерусского человека. Однако, часто важную роль в этом вопросе играет и мнение того или иного научного сообщества. Как уже упоминалось выше, в Германии и в англоязычных странах упоминается в большинстве случаев только имя Гаусса, иногда имена Грина и Стокса (теорема Стокса - это также теорема о конверсии процедуры интегрирования к меньшему числу измерений, а именно преобразование поверхностного интеграла к линейному - она известна как теорема о циркуляции). С другой стороны, во французской литературе, часто называется только имя Остроградского. Традиции цитирования в нашей стране, как правило, во все времена были более корректны, поэтому чаще всего теорема о дивергенции называется у нас теоремой Остроградского-Гаусса.

1.2. Теорема Остроградского–Гаусса

 

     Экспериментально  установленные закон Кулона и  принцип суперпозиции позволяют  полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.³

     Введем  новую физическую величину, характеризующую  электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1):

     где E_n – модуль нормальной составляющей поля

 

     Рассмотрим  теперь некоторую произвольную замкнутую  поверхность S. Если разбить эту поверхность  на малые площадки ΔS_i, определить элементарные потоки ΔΦ_i поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис.2):

     В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.⁴

     Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.

     Для доказательства рассмотрим сначала  сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой  точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

     где R – радиус сферы.⁵ Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR². Следовательно, .

     Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R₀ (рис.3).

 

     Рассмотрим  конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS₀, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ₀ и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

     Здесь ΔS ' = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса r.

     Так как  а следовательно ΔΦ₀ = ΔΦ. Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ₀ через поверхность вспомогательной сферы:

     Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0.⁶ Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

     Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного  распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно  представить как векторную сумму  электрических полей  точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φ_i электрических полей отдельных зарядов. Если заряд q_i оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

     Таким образом, теорема Гаусса доказана.