Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять  утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

     Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев  легко вычислить напряженность  электрического поля вокруг заряженного  тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

     Примером  может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно  заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии, электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 4).⁷

     При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

     где τ – заряд единицы длины  цилиндра. Отсюда:

     Этот  результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

     Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно  построить замкнутую поверхность  для случая r < R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.⁸

     Аналогичным образом можно применить теорему  Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда  распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

     Рассмотрим  еще один пример симметричного распределения  зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 5).

 

     В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

     где σ – поверхностная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.⁹

     Полученное  выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости  применимо и в случае плоских  заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

 

2. Применение теоремы Остроградского-Гаусса

2.1. Теорема Гаусса в дифференциальной форме

     В курсе векторного анализа доказывается очень полезная теорема. Она связывает интеграл от вектора по поверхности с интегралом дивергенции этого вектора по объёму:

      .    (13)

     Её  можно использовать для вывода теоремы  Гаусса в дифференциальной форме:

      (14) 

     Из  механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа этих сил не зависит от пути. А зависит только от начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле систем неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда взять положительный единичный заряд, то работа сил поля равна:

            (15)

     Этот  интеграл берётся по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным. ¹⁰

     Из независимости от пути следует, что по замкнутому контуру интеграл будет равен нулю:

               (16)

     Интеграл от вектора по замкнутому контуру (пути) называется циркуляцией вектора и обозначают С или (рис.6). 

     

     Рис.6. Интеграл от вектора по замкнутому контуру 

     Теорема о циркуляции вектора Е звучит так: циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю: 

                  (17)

     Следствие этой теоремы звучит так: в электростатическом поле силовые линии незамкнуты.

     Действительно, если бы какая-нибудь силовая линия была бы замкнута, то взяв по ней циркуляцию, мы получили бы интеграл отличным от нуля (скалярное произведение Е и dl по всему контуру будет положительно, а следовательно и вся сумма-интеграл тоже больше нуля).

     Поле, циркуляция которого равна нулю, называется потенциальным.

     Рассмотрим  отношение циркуляции вектора Е  к площади ограниченной контуром. Оказывается это отношение стремиться к некоторому пределу при S→0 , причём этот предел зависит от ориентации контура в пространстве. Ориентация контура задаётся вектором нормали n к плоскости контура и связано с направлением обхода правилом правого винта.¹¹

     Предел, получаемый при заданной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведёт себя как проекция вектора на вектор нормали к плоскости контура, по которому берётся циркуляция:

                 (18)

     Получим выражение для ротора в декартовой системе координат. Для этого выберем очень маленький контур в виде прямоугольника, лежащий в плоскости х,у (рис. 7.) 

     

     Рис. 7. Контур в виде прямоугольника, лежащий в плоскости х,у 

     Запишем интеграл - циркуляцию по этому контуру:

     

     Так как под интегралом стоит скалярное  произведение, то знаки расставлены  в соответствие с направлением единичных  векторов базиса.

     Теперь  разделим результат на площадь контура  и возьмём предел, так как нормаль  направлена на нас из рисунка, то это будет z-вая проекция ротора:

                  (19)

     Аналогично  получим х и у проекции ротора:

      ,   (20)

      .  (21)

     Собрав  все три проекции вектора вместе можно записать вектор в виде определителя:

              (22)

     Ротор ещё иногда называют вихрем.

2.2. Поток электрического смещения. Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля

     Характер  векторных полей определяется потоком  и циркуляцией вектора. Рассмотрим поток электрического смещения электростатического  поля.

       
 
 
 
 

     Рис. 8 Поток электрического смещения электростатического поля

     В электрическом поле с электрическим  смещением представим элементарную площадку dS (рис.8). Ориентация dS в пространстве задается нормалью (единичным вектором) в направлении перпендикуляра к dS.¹²

     Потоком электрического смещения dФ_D через элементарную площадку dS называется произведение модуля электрического смещения на величину элементарной площадки dS и на косинус угла a между и :

     dФ_D = DdScosa.  (23)

     Здесь Dcosa = D_n - проекция на направление, поэтому dФ_D можно представить в виде:

     dФ_D=DndS.  (24)

     Поток электрического смещения через поверхность  площадью S выражается формулой:

     

  (25)

     Формула потока через замкнутую поверхность записывается следующим образом:

     

  (26)

     При замкнутых поверхностях за направление  принимается направление внешней нормали к dS.

     Теорема Остроградского - Гаусса утверждает, что  поток электрического смещения поля покоящихся электрических зарядов  через замкнутую поверхность  равен алгебраической сумме зарядов  в объеме, ограниченном этой замкнутой  поверхностью.

     Обозначим алгебраическую сумму зарядов внутри замкнутой поверхности qv. Тогда формула теоремы Остроградского - Гаусса будет иметь вид:

     

  (27)

     Если  S охватывает систему точечных зарядов, то:

     

  (28)

     В общем случае из определения объемной плотности следует, что:

     q

   (29),

и формула  теоремы Остроградского - Гаусса принимает  вид 

     

   (30)

     При применении теоремы Остроградского - Гаусса для расчета электростатических полей нужно:

     1) выбрать замкнутую поверхность,  удобную для данного случая  и проходящую через рассматриваемую точку;

     2) вычислить Ф_D через эту замкнутую поверхность;

     3) вычислить алгебраическую сумму  зарядов внутри выбранной замкнутой  поверхности;

     4) приравнять вычисленные Ф_D и q_V и из этого равенства определить D и Е.¹³

     Применив  теорему Остроградского - Гаусса для  электростатического поля бесконечной  заряженной однородно с поверхностной  плотностью s плоскости, можно получить: