Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие

1 Устойчивое и  неустойчивое упругое равновесие.

 

Проводя расчёты на прочность  и жёсткость при различных  деформациях, мы полагали, что во время  деформации любой системы имеет  место единственная заранее известная  форма равновесия. В действительности же в деформированном состоянии  равновесие между внешними и вызываемыми  ими внутренними силами упругости  может быть не только устойчивым, но и неустойчивым.

Упругое равновесие будет устойчивым, если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремиться возвратиться к первоначальному состоянию и возвращается к нему после удаления внешнего воздействия, нарушившего первоначальное равновесное состояние. Упругое равновесие неустойчиво, если деформированное тело, будучи выведено из него каким-либо воздействием, приобретает стремление продолжать деформироваться в направлении данного ему отклонения и после удаления воздействия в исходное состояние не возвращается. Между этими двумя состояниями равновесия существует переходное состояние, называемое критическим, при котором деформированное тело находиться в безразличном равновесии: оно может сохранить первоначально приданную ему форму, но может и потерять её от самого незначительного воздействия.

Устойчивость формы равновесия деформированного тела зависит от величины приложенных  к нему нагрузок. Например, если силы, сжимающие стержень, невелики, то первоначальная форма равновесия остаётся устойчивым (рис. 1, а). При возрастании величин приложенных сил достигается состояние безразличного равновесия, при котором наряду с прямолинейной формой стержня возможны смежные с ней слегка искривлённые формы равновесия

      Рис. 1                  (штриховые линии на рис. 1, б). При дальнейшем самом незначительном увеличении нагрузки характер деформации стержня резко меняется – стержень выпучивается (рис. 1, в), прямолинейная форма равновесия перестаёт быть устойчивой. Это означает, что нагрузки превысили критическое значение.

Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы тела, называется критической и обозначается через Р_кр.

Можно утверждать, что достижение нагрузками критических значений равносильно  разрушению конструкции, так как  неустойчивая форма равновесия неминуемо  будет утрачена, что связано с  практически неограниченным ростом деформаций и напряжений. Особая опасность  разрушения вследствие потери устойчивости заключается в том, что обычно она происходит внезапно и при  низких значениях напряжений, когда  прочность элемента ещё далеко не исчерпана.

До момента наступления  критического состояния упругие  деформации по величине весьма незначительны  и нарастание их происходит почти  незаметно для глаза. Но с момента  наступления критического состояния  до момента разрушения остаточные деформации нарастают крайне быстро, и практически  нет времени принять меры по предотвращению грозящей катастрофы. Таким образом, при расчёт на устойчивость критическая  нагрузка подобна разрушающей при расчёте на прочность. Для обеспечения определённого запаса устойчивости необходимо, чтобы удовлетворялось условие

                     в формуле     (1)

где Р – действующая нагрузка;

      n_y – коэффициент запаса устойчивости.

Следовательно, чтобы рассчитывать сжатые стержни на устойчивость, необходимо изучить способы определения  критических нагрузок Р_кр.

Из всего многообразия расчётов на устойчивость упругих систем подробно рассмотрим лишь случай потери устойчивости при сжатии длинного тонкого  стержня, или так называемый продольный изгиб.

 

 

2 Формула Эйлера для определения  критической силы сжатого             стержня.

 

Предположим, что под действием  силы Р, величина которой несколько превышает критическую силу Р_кр, стержень с шарнирно закреплёнными концами (рис. 2, а) слегка изогнулся (рис. 2, б). Отнесём искривлённую ось стержня к прямоугольной системе координат, выбрав начало координат в точке О.                                        

Предположим, что критическая  сила Р_кр не вызывает             Рис. 2            

в стержне напряжений, превышающих  предел пропорциональности, и что  рассматриваются только малые отклонения от прямолинейной формы. Тогда для  определения критической силы можно  воспользоваться приближённым дифференциальным уравнением упругой линии

,      следовательно   получим                    (2)

Здесь J_мин – наименьший момент инерции сечения стержня.

В расчёт принимается наименьшая жесткость стержня EJ_мин, так как очевидно, что прогиб произойдёт перпендикулярно к оси наименьшей жесткости, если остальные условия для изгиба во всех плоскостях одинаковы, как в рассматриваемом случае.

В отличие от поперечного  изгиба при продольном в правой части  этого уравнения следует ставить  знак «минус», так как абсолютная величина изгибающего момента                   ,            (3)

а знак прогиба всегда противоположен знаку второй производной, т.е. знаки  момента М(х) и второй производной противоположны при любом направлении

 Подставив в уравнение (2) выражение  (3) для изгибающего момента, получим 

(4)   или (5)

Введя обозначение (6) перепишем  уравнение (5) так:

                                                   (7)         

Мы получим однородное линейное дифференциальное уравнение, общий интеграл которого, как известно, представляется гармонической функцией

    (8)

Постоянные интегрирования А и В должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись граничные условия

Из первого граничного условия следует, что В=0, т.е.

     (9)

Из второго условия получаем (10)

Если допустить, что А=0, то прогиб будет тождественно равен нулю, т.е.

Это решение соответствует  одной из возможных форм равновесия сжатого стержня, а именно – прямолинейной  форме. Нас же интересует значение силы Р, при которой становиться возможной другая форма равновесия – криволинейная. Так как А≠0, то при искривлённой форме стержня должно выполняться равенство Корень этого уравнения kl может иметь бесконечное множество значений: 0, , 2π, …, nπ, т.е.   где n – произвольное целое число.

Однако первый корень kl=0 отпадает, так как он не соответствует исходным данным задачи. Таким образом,   (11)

Тогда из уравнения (6) получим  выражение для сжимающей силы:

  (12)

 

Уравнение (12) представляет собой формулу, впервые полученную Эйлером.

Практически нас интересует наименьшее значение продольной сжимающей силы, при котором становится возможным продольный изгиб. Наименьшее значение критической силы Р_кр получим при n = 1 и kl = π:

(13)

Возвращаясь к уравнениям (9) и (11), получим уравнение изогнутой  оси стержня при малых деформациях:

Наибольший прогиб стержня  при   Тогда .

Следовательно, уравнение упругой  линии сжатого стержня имеет  вид  (14)

График этой зависимости показан на рис. 3.

Максимум  имеет место при таком значении х, для которого т.е. или 

Наименьшее значение аргумента, при котором косинус равен   Рис.3    нулю,будет , значит, = , откуда x = .  (15)

Если n = 1, то х = , а максимум имеет место посредине    стержня,    что соответствует так называемому основному случаю, показанному на рис. 2.

Из соотношения (15) или  из уравнения (14) и рис. 4 следует, что n представляет собой число полуволн синусоиды, располагающихся на длине изогнутого стержня.

                                                                                                                                Рис. 4              

               

3. Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы.

 

В предыдущем разделе был  рассмотрен так называемый основной случай нагружения и закрепления  концов сжатого стержня – стержня  с шарнирно опёртыми концами. Как  было показано, после потери устойчивости на длине стержня укладывается только одна полуволна (n = 1).

Рассмотрим другие случаи закрепления концов стержня:              Рис. 5

1.Стержень длиной l заделан одним концом и сжат продольной силой, приложенной к свободному концу (рис. 5, а). Сравнивая рис. 5, а и б, видим, что изогнутая ось стержня, заделанного одним концом, находится в таких же условиях, как и верхняя половина стержня, длиной 2l с шарнирно закреплёнными концами. Таким образом, критическая сила для стержня с одним заделанным, а другим свободным концом такая же, как и для стержня с шарнирно опёртыми концами при длине L=2l, т.е.

                                   .      (16)

При этом изогнутая ось  стержня (рис. 5, а) имеет вид половины полуволны синусоиды.

2. Стержень длиной l, у которого оба конца жёстко заделаны (рис. 6). После потери устойчивости стержня вследствие симметрии средняя его часть длиной работает в тех же условиях, что и стержень при шарнирно опёртых концах. При этом образуются две полуволны: средняя длиной L = и две крайние    

Рис. 6       половинки полуволны длиной .

        Критическую силу в этом случае находим из уравнения (13) при L = :

  .      (17)

                      Рис. 7                                3. Стержень длиной l заделан одним концом и шарнирно оперт на другом (рис. 7). После потери устойчивости правая часть СВ стержня имеет вид полуволны синусоиды. Из сравнения рис. 7 и 5, б находим, что участок СВ длиной L = 0,7l находится в таких же условиях, как и стержень с шарнирно закреплёнными концами. Значит,

(18)

Соотношения (13), (16) – (18) можно объединить в одну формулу

  (19)

где vl = l_пр – приведённая длина стержня;

l – фактическая длина стержня;

v – коэффициент приведения длины.

Таким образом, различные  случаи опирания и нагружения стержня  приводятся к основному случаю введением  в формулу для Р_кр так называемой приведённой длины l_пр = vl. Это понятие впервые было введено Ф.С. Ясинским.

Из формулы Эйлера (19) видно, что  критическая нагрузка зависит от наименьшей жёсткости ЕJ_мин, длины стержня l и коэффициента v.

На рис. 8 приведены значения v для рассмотренных стержней. Однако такие расчётные схемы на практике редко встречаются в чистом виде. Чаще закрепления концов бывают упругими. Наиболее распространены следующие случаи упругого закрепления концов:

1. один конец стержня жёстко заделан, а другой упруго опёрт;                                                                                              Рис. 8
2. оба конца упруго заделаны.

Рассмотрим первый случай (рис. 9). После  потери устойчивости упруго опёртый  конец стойки перемещается в вертикальном направлении на величину f_В: R_B = cf_B ,

                       Рис. 9                                где с – коэффициент упругости опоры В.

Составим дифференциальное уравнение упругой линии сжатого  стержня после потери устойчивости:

  (20)

Разделив почленно на ЕJ_мин и обозначив, как обычно,

получим

или

  (21)

Общий интервал этого дифференциального  уравнения

  (22)

Для определения постоянных интегрирования и критической нагрузки имеем такие граничные условия:

при х = 0

     (23)

     (24)

при х = l

     (25)

Используя граничное условие (23), из уравнения (22) находим

Чтобы применить граничное  условие (24), вычислим производную от перемещения  :

   

откуда при х = 0 находим

или

Подставив полученные выражения  для произвольных постоянных в формулу (22), получим окончательное уравнение изогнутой оси сжатого стержня:

    (26)

Граничное условие (25) используем, чтобы получить определяющее уравнение  для нахождения критической нагрузки. Положив в уравнение (26) х=l, находим, что

или

откуда

    (27)

Если это уравнение  решить, т.е. определить наименьший корень k, то тем самым можно найти значение критической нагрузки, так как