Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие

Рассмотрим два предельных случая. Положив с = 0, получим tg kl = ∞; т.е. kl = , и приходим к такой расчётной схеме стержня, когда один конец (левый) жёстко заделан, а другой (правый) свободен. Величина критической силы равна

Положив с = ∞ (очень жёсткая опора), получим определяющее уравнение

tg kl = kl;    т.е.   kl = 4,493 = .

Величина критической  силы

что даёт формулу для стержня, один конец которого заделан, а другой шарнирно опёрт.

Таким образом, если коэффициент  упругости опоры с меняется от нуля до бесконечности, то это можно учесть коэффициентом приведения v, который при этом соответственно изменяется от 2 до 0,7.

Значения критических  нагрузок могут быть получены в виде формул приведённых Эйлером и  для стержней переменного сечения, а также при действии нескольких сжимающих сил. Результаты решения  некоторых задач теории упругой  устойчивости, имеющих практическое значение, приведены в таблице 1.

 

 

4.Понятие о потере устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности.

 

Вывод формулы Эйлера основан  на применении дифференциального уравнения  упругой линии. Поэтому воспользоваться  этой формулой можно лишь в том  случае, если справедлив закон Гука, т.е. пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической  силе) не превышает предела пропорциональности:

     (28)

Действительно, если прямолинейная  форма стержня остаётся устойчивой и при напряжениях, превышающих  предел пропорциональности, то дифференциальное уравнение (2), предполагающее справедливость закона Гука, уже непригодно.

Выведем формулу для критического напряжения σ_кр. В соответствии с выражением (28) и (19)

         (29)

Здесь i² = i²_мин = – квадрат наименьшего из главных радиусов инерции стержня; F = F_бр – площадь брутто поперечного сечения стержня.

Введя безразмерную величину

λ = ,        (30)

называемую гибкостью стержня, окончательно получим

      (31)

т.е. критическое напряжение стержня  зависит от упругих свойств материала (модуля упругости Е) и гибкости стержня (λ).

Функциональная зависимость (31) представляет собой видоизменение  формулы Эйлера. В системе координат σ_кр – λ эта зависимость может быть представлена гиперболической кривой, называемой гиперболой Эйлера. В качестве примера приведём такой график (рис. 10) для стержня из стали марки                   Рис. 10               Ст3, для которой модуль упругости Е = 2,1 ×10⁶ кгс/см², предел текучести σ_т = 2400кгс/см², а предел пропорциональности σ_пц = 2000кгс/см².

График показывает, что  по мере возрастания гибкости стержня  критическое напряжение стремится  к нулю, и наоборот, по мере приближения гибкости стержня к нулю критическое напряжение стремится к бесконечности.

Однако из условия (28) применимости формулы Эйлера в соответствии с  формулой (31) имеем

 и следовательно,     (32)

Значит, формула Эйлера становится непригодной при гибкости стержня, меньшей предельного значения λ_пред, зависящего только от свойств материала, т.е. в рассматриваемом случае при

То же можно получить и  графически. Если на оси ординат (σ_кр) отложить величину предела пропорциональности (σ_пц = 2000кгс/см²) и провести из полученной точки К прямую, параллельную оси абсцисс, то она в пересечении с гиперболой Эйлера даст точку М, абсцисса которой и есть λ_пред. Слева от точки М гипербола Эйлера показана штриховой линией, так как здесь она даёт значения напряжений, большие пределы пропорциональности, т.е. не соответствующие условиям её применимости.

Однако явление продольного  изгиба продолжает существовать и за пределом упругости. Опытным путём  установлено, что действительные критические  напряжения для стержней средней  и малой гибкости (λ < λ_пред) ниже значений, определённых по формуле Эйлера. Таким образом, в этом случае формула Эйлера даёт завышенные значения критической силы, т.е. всегда переоценивает действительную устойчивость стержня. Поэтому использование формулу Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, не только принципиально неправильно, но и крайне опасно по своим последствиям.

Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными  в результате обработки большого количества опытных данных.

Ф.С. Ясинский собрал и обширный опытный материал по продольному  изгибу стержней, в результате чего составил таблицу критических напряжений в зависимости от гибкости для ряда материалов и предложил простую эмпирическую формулу для вычисления критических напряжений за пределом пропорциональности:                 σ_кр = a – bλ.     (33)

Значения коэффициентов  а и b для некоторых материалов даны в таблице 2.

Для чугуна пользуются параболической зависимостью

σ_кр = a – bλ + сλ2,   (34)

где  с = 0,53.

По этим данным для каждого  материала при 0 < λ < λ_пред можно построить график зависимости критических напряжений от гибкости стержня.

При некотором значении гибкости (обозначим его λ₀) величина σ_кр, вычисленная по формуле (33) или (34), становится равной предельному напряжению при сжатии, а именно: для пластичных материалов    σ_кр = σ_т,    а для хрупких материалов    σ_кр = σ_в .    (35)

Стержни, у которых λ < λ₀, называются стержнями малой гибкости. Их рассчитывают только на прочность.

В рассматриваемом примере (рис. 10) часть графика критических  напряжений за пределом пропорциональности (при 40 < λ <100) представляет собой слегка наклонённую прямую SM, а часть (при 0 < λ <40) – горизонтальную линию NS. Следовательно, график σ_кр = f(λ) для стали Ст3 состоит из трёх частей: гиперболы Эйлера при λ > 100, наклонной прямой при 40 < λ < 100 и почти горизонтальной прямой при λ < 40 = λ₀. Наклонная прямая SM соответствует напряжениям между пределом пропорциональности и пределом текучести. Горизонтальная прямая SN соответствует напряжению, равному пределу текучести.

 

 

 

 

 

 

 

5.Проверка сжатых стержней на устойчивость.

 

Можно считать, что центрально сжатые стержни теряют свою несущую  способность от потери устойчивости раньше, чем от потери прочности, так  как критическое напряжение всегда меньше предела текучести или  предела прочности:

σ_кр < σ₀

где σ₀ = σ_г – для пластичных материалов;

       σ₀ = σ_в – для хрупких материалов.

Необходимо напомнить, что  для стержней малой гибкости (λ < λ₀) трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы стержня, как это имеет место для стержней средней и большой гибкости. Несущая способность стержней малой гибкости определяется прочностью материала.

Критическое напряжение для  центрально сжатых стержней средней  и большой гибкости представляет, пожалуй, большую опасность, чем  предел текучести для пластичных материалов или предел прочности  для хрупких материалов при простом  растяжении. Очевидно, что при практическом решении вопроса об устойчивости стержня нельзя допустить возникновения  в нём критического напряжения, а  следует принять соответствующий  запас устойчивости.

Чтобы получить допускаемое  напряжение на устойчивость, нужно  выбрать коэффициент запаса n_y. Тогда

    (36)

Коэффициент запаса на устойчивость всегда принимают несколько больше основного коэффициента запаса на прочность (n_y > n). Это делается потому, что для центрально сжатых стержней ряд обстоятельств, неизбежных на практике (эксцентриситет приложения сжимающих сил, начальная кривизна и неоднородность стержня), способствуют продольному изгибу, в то время как при других видах деформации эти обстоятельства почти не сказываются. Коэффициент запаса устойчивости для сталей выбирают в пределах 1,8 – 3,0; для чугуна – в пределах 5,0 – 5,5; для дерева – 2,8 … 3,2. Заметим, что меньшие значения n, принимают при большей гибкости.

Допускаемое напряжение на устойчивость

и допускаемое напряжение на прочность при сжатии

взаимно связаны. Составим их отношение:

   или      (37)

Обозначив

получим

     (38)

Здесь φ – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения при расчёте на устойчивость. Этот коэффициент для каждого материала можно вычислить при всех значениях гибкости λ и представить в виде таблицы или графика зависимости φ от λ. Значения коэффициента φ для сталей, чугуна и дерева приведены в таблице 3. Пользуясь аналогичными таблицами, можно достаточно рассчитать стержни на устойчивость.

Составим условие устойчивости сжатых стержней: σ ≤ [σ]_y     (39)

Так как

То условие устойчивости принимает вид

        (40)

При расчёте на устойчивость местные ослабления сечения практически  не изменяют величину критической силы, поэтому в расчётные формулы  вводится полная площадь F_бр поперечного сечения.

Рассмотрим два вида расчёта  на устойчивость сжатых стержней –  проверочный и проектировочный.

 

 

5.1 Проверочный расчёт сжатых стержней.

Порядок проверочного расчёта  на устойчивость при использовании  таблицы коэффициентов φ следующий:

1. исходя из известных размеров и формы поперечного сечения, определяем наименьший осевой момент инерции J_мин, площадь F_бр, вычисляем минимальный радиус инерции

                                                                                                            Рис. 11

и гибкость                                                                                              

2. по таблице находим коэффициент φ и вычисляем допускаемое напряжение на устойчивость по формуле

3. сравниваем действительное напряжение

с допускаемым напряжением [σ_y] на устойчивость: σ ≤ [σ]_y.   

Пример №1.

 Проверить на устойчивость сжатую деревянную колонну (рис.11) квадратного поперечного сечения (а = 15см) длиной l = 5м, если основное допускаемое напряжение [σ_] = 100кгс/см², а сжимающая сила Р = 10Тс.

Определяем следующие  величины:

площадь

F = a² = 225см²;

момент инерции

радиус инерции

проведённую длину

l_пр = = 0,7× l = 0,7 × 5м = 3,5м = 350см;

гибкость

λ = = = 80,6

по таблице 3 находим, что

φ = 0,48 – ×0,6 = 0,474.

Тогда               [σ_y] = φ[σ_] = 0,474 × 100кгс/см² = 47,4кгс/см²;

σ = кгс/см² = 44,4кгс/см²

Так как σ = 44,4кгс/см² < 47,4кгс/см², то устойчивость колонны обеспечена.

5.2 Проектировочный  расчёт сжатых стержней.

В расчётной формуле на устойчивость

      (41)

имеются две неизвестные  величины – коэффициент φ и искомая площадь брутто F_бр поперечного сечения. Поэтому при подборе сечений приходится пользоваться методом последовательных приближений, варьируя величину коэффициента φ. Обычно в первой попытке берут φ₁ = 0,5 0,6. Принимая какое-либо из этих значений φ₁, определяют требуемую площадь F_бр и подбирают сечение. Подобранное сечение проверяют и устанавливают фактическое значение φ₁’. Если φ₁’ значительно отличается от φ₁, то и напряжение отличается от допускаемого. Тогда следует повторить расчёт, т.е сделать вторую попытку, приняв среднее по величине значение между φ₁ и φ₁’ :

    (42)

В результате второй попытки  устанавливают φ₂’. Если требуется третья попытка, то            и т. д.

Обычно при подборе  сечений требуется не более двух-трёх попыток.

Пример №2.

 Подобрать по сортаменту двутавровое  поперечное сечение стержня длиной 5м, находящегося под действием центральной сжимающей нагрузки 32Тс. Оба конца стержня защемлены. Материал – Ст3. Основное допускаемое напряжение[σ_] = 1600кгс/см².

Определяем расчётную  длину стержня:

l_пр = = 0,5× l = 0,5 × 5м = 2,5м = 250см;

Подбираем поперечное сечение  путём последовательных приближений.

Первая попытка: принимаем φ₁ = 0,5; требуемая площадь поперечного сечения    F = = см²= 40см²;

По сортаменту подбираем двутавр №27 с площадью F =40,2см² и минимальным радиусом инерции i_мин= i_y = 2,54cм.

Гибкость стержня                                      98,5

По таблице 3 

φ₁’ = 0,69 – ×8,5 = 0,614 » φ₁ = 0,5.

Перейдём ко второму приближению, приняв   φ₂ = ≈ 0,557.