Методы искусственного интеллекта. Нечеткая логика

Лекции  составлены на основе следующих учебных  изданий:

1. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник/ Под ред. Н.Д.Егупова; издание 2-ое, М: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. 274-348
2. С.Д.Штовба "Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику". Интернет учебник.  http://matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/book1/index.php.
3. Robert Fuller. Neural Fuzzy Systems. Abo Akademy University. 1995
4. В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети.

 

Нечеткие множества 

Характерными примерами четких и нечетких понятий являются календарные и климатические понятия: весна, лето, осень, зима.

1.1 Основные термины и определения 

     Понятие нечеткого множества - эта попытка математической формализации нечеткой информации для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно принадлежать к данному множеству с различной степенью. При таком подходе высказывания типа “такой-то элемент принадлежит данному множеству” теряют смысл, поскольку необходимо указать “насколько сильно” или с какой степенью конкретный элемент удовлетворяет свойствам данного множества. 

Определение. Нечетким множеством (НМ) (fuzzy set) A на универсальном множестве U называется совокупность пар (M_A(u), u), где M_A(u) - степень принадлежности элемента u Î U к нечеткому множеству A.

Степень принадлежности - это число из диапазона [0,1]. Чем выше степень принадлежности, тем в большой мерой элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества. 

В случае четкого  множества M_A(u) = {0,1} 

Определение. Функцией принадлежности (ФП) (membership function) называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Описание НМ

, на конечном множестве элементов U = {u₁,u₂,…u_n}

, на непрерывном множестве  элементов U = [-¥,+¥]

Замечание! Знак суммы обозначает операцию объединения 

Пример: Определим число "близкое к 1" на множестве целых чисел.

A = 0/(-2) + 0.3/1 + 0.6/0 + 1/1 + 0.6/2 + 0.3/3 + 0/4

 

Пример: Определим число "близкое к 1" на множестве реальных чисел.

A = exp(-b(u-1)²), где b – положительное реальное число.

 

1.2. Свойства нечетких множеств  

 

Определение. Высотой нечеткого множества A называется верхняя граница его функции принадлежности: hgt(A) = sup M_A(u).

Для дискретного  универсального множества U супремум становится максимумом, а значит высотой нечеткого множества будет максимум степеней принадлежности его элементов  

Определение. Нечеткое множество A называется нормальным, если его высота равна единице (иначе называются субнормальными).

Нормализация - преобразование субнормального нечеткого множества A' в нормальное A определяется так: A = norm(A') Û M_A(u) = M_A'(u)/ hgt(A').  

Определение. Носителем (основанием) нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности: supp(A) = {u: M_A(u) > 0}.  

Определение. Основание называется компактным если supp(A) < ¥, иначе некомпактным. 

Определение. Нечеткое множество называется пустым, если его носитель является пустым множеством.

Записывается такое  множество Æ и M_A(u) = 0, " u Î U. 

Определение. Ядром нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности равные единице: core(A) = {u: M_A(u) = 0}.

Следствие: Ядро субнормального нечеткого множества пустое.  

Определение. a-сечением (или множеством a-уровня) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности большие или равные a: Aa = {u: M_A(u) > a}, a Î [0,1].

Значение a называют a-уровнем.  

Определение. Нечеткое множество A называется выпуклым если: " u1<u2<u3 (u_iÎ U) Þ M_A(u₂)>min(M_A(u₁),M_A(u₃)). Иначе невыпуклым.

Выпуклость просто пояснить графически. 

точки перехода 

1.3. Описание и типы ФП 

Получить  ФП для НМ можно:

1. Прямым экспертным опросом (непосредственно для каждого u указывается значение M(u))
2. Относительным экспертным опросом (составляется таблица отношений DM(u) для u_i и u_j)
3. На основании статистической информации.

 

Описываются ФП:

1. Парное представление M_A(u)=M_1/u_{1 +…+} M_n/u_n (дискретное)
2. Аналитическое описание M_A(u) = f(u) (непрерывное)

 

ФП могут  быть любыми. Наиболее распространенными  в приложениях теории нечетких множеств являются треугольные, трапециевидные, гауссовские и колоколообразные функции принадлежности.

Замечание! Чем проще описание ФП, тем лучше. 

Классификация типов ФП

1: кусочно-линейные, непрерывные

2: p, s, z 

p ФП описывают НМ, определяющие следующие понятия:

"приблизительно равно", "среднее значение", "расположен в интервале", "похож на предмет"

S ФП описывают НМ, определяющие следующие понятия: "большая величина", "много", "большое значение", "высокая скорость", т.е. высокая степень проявления какого-либо качества.

Z ФП описывают НМ, определяющие следующие понятия: "небольшая величина", "малое количество", "незначительное значение", т.е. (слабая степень проявления какого-либо качества) 

p кусочно-непрерывные ФП

p гладкие ФП

Непрерывные S и Z ФП

 
 

Кусочно-линейные S и Z ФП

 

Так же можно задавать p ФП как комбинацию s и z:

p (x1,x2,x3,x4, x) = min(s(x1,x2,x), z(x3,x4,x)) 

1.4. Операции над нечеткими множествами (нечеткая логика) 

Разбиение

Определение. Любое нечеткие множества A может быть представлено в виде декомпозиции a-уровней

M_A(u) =S M_B(u), " u Î U.  
 

Определение. Нечеткие множества A и B равны (A=B) если M_A(u) =M_B(u), " u Î U.  

Определение. Включение (доминирование). Нечеткое множество A содержится в B (A Ì B)  если " u Î U выполняется M_A(u) £ M_B(u) 

Определение. Дополнением (поЗаде) нечеткого множества A заданного на U называется нечеткое множество Ā с функцией принадлежности 

M_Ā(u)=1-M_A(u),  " u Î U.  

Определение. Пересечением (по Заде) нечетких множеств A и B заданных на U называется нечеткое множество C = AÇB с функцией принадлежности M_C(u)=min(M_A(u),M_B(u)), " u Î U.

или

M_C(u)=M_A(u)ÇM_B(u) т.е. операция нахождения минимума также обозначается знаком Ç. 

Пример: Дано A и B найти их пересечение

Ответ:  

Определение. Объединением (по Заде) нечетких множеств A и B заданных на U называется нечеткое множество C = AÈB с функцией принадлежности M_C(u)=max(M_A(u),M_B(u)), " u Î U.

или

M_C(u)=M_A(u)ÈM_B(u) т.е. операция нахождения максимума также обозначается знаком È. 

Пример: Дано A и B найти их объединение

Ответ:  

Видим, что  приведенные правила выполняются (для граничных точек) как для  четкой логики, так и для нечеткой логики. Однако в промежуточных значениях  данные операции нечеткой логики могут иметь различный результат.

Обобщенные  определения операций нечеткого  пересечения и объединения –  это треугольной нормы (t-нормы) и  треугольной конормы (t-конормы или s-нормы) приведены ниже. 

 

Определение. Треугольной нормой (t-нормой или S-конормой) называется бинарная операция T на единичном интервале , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых a,b,c Î [0,1]:

 

Определение 25. Треугольной конормой (s-нормой или t-конормой) называется бинарная операция S на единичном интервале , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых a,b,c Î [0,1]:

 

Таблица - Примеры треугольных  норм