Методы искусственного интеллекта. Нечеткая логика

Аналогично  определяются операции минимаксной  композиции. Композиция играет ключевую роль в нечетком логическом выводе. 

% код минимакса ----------------------------------------------------------------

D = zeros(size(R1*R2))

for j = 1:length(R2(1,:))

for i = 1:length(R1(:,1))

    D(i,j) = max( min(R1(i,:),R2(:,j)'));

end

end

%------------------------------------------------------------------------------------ 

Пример.

 

Определение. Цилиндрическое расширение НМ A(x1)

Определение. Проекция нечеткого отношения на X1

 

Определение. Декартово произведение нечетких множеств A и B называется нечеткое множество C (нечеткое отношение), ФП, которого определяется

M_C(u,v) = min(M_A(u), M_B(v)),     " u Î U, " v Î V. или (u,v) Î UxV. 

 

1.7. Нечеткая арифметика  

     В этом разделе рассматриваются способы  расчета значений четких алгебраических функций от нечетких аргументов. Материал основывается на понятиях нечеткого числа и принципа нечеткого обобщения. В конце раздела приводятся правила выполнения арифметических операций над нечеткими числами.  

Определение. Нечетким числом называется выпуклое нормальное нечеткое множество с кусочно-непрерывной функцией принадлежности, заданное на множестве действительных чисел.  

Пример, нечеткое число "около 10" можно задать следующей функцией принадлежности:

 

Определение. Нечеткое число A называется положительным (отрицательным) если M_A(u) = 0, " u < 0 (" u > 0).  

Определение. Принцип обобщения Заде. Если y = f(x1,x2,…xn) функция от n независимых переменных и аргументы x1,x2,…xn заданы нечеткими числами <x1>,<x2>,…<xn>, соответственно, то значением функции <y>=f(<x1>,<x2>,…<xn>) называется нечеткое число <y> с функцией принадлежности:

 

Геометрическое пояснение.   

 

Пример: Дано A1 = "~5"  и A1 = "~2", которые описываются ФП M1(x1) = Pi(3,5,7) и M2(x2) = Pi(1,2,3). Необходимо найти A3 = A1 + A2 

1. Получить M3(x1,x2) = min[M1(x1),M2(x2)] (рис.)
2. Зафиксировать yi

и получить зависимость  между аргументами:

yi = f(x1,x2),

yi = x1 + x2,

x2 = yi – x1

3. Получить значение M3(yi) по формуле (пояснения на рис)

4. Повторить шаги 2, 3 для всех значений yi -> M3(yi)

Ключевые точки M3i / yi= {0/4, 1/7 0/10} 

Пример: Дано A1 = "~5"  и A1 = "~2", которые описываются ФП M1(x1) = SZ(3,5,7) и M2(x2) = SZ(1,2,3). Необходимо найти A3 = A1 - A2

Аналогично. Только в п.2  x2 = x1 - yi

Ключевые точки  M3i / yi= {0/0, 1/3 0/6} 
 

 

Сложение

Вычитание

Умножение       Деление

 

Определение. (a-уровневый принцип обощения). Если y = f(x1,x2,…xn) функция от n независимых переменных и аргументы x1,x2,…xn заданы нечеткими числами <x1>,<x2>,…<xn>,

xi = U(xi,a, xi,a)

соответственно, то значением функции <y>=f(<x1>,<x2>,…<xn>) называется нечеткое число

<y> = U(yi,a, yi,a)

yia = inf 

Возможно  применение интервальной арифметики

т.е. необходимо посчитать  для всех а-уровней интервалы, а потом получить объединение.

[a,b] + [d,e] = [a+d, b+e]

[a,b] - [d,e] = [a-e, b-d]

[a,b] × [d,e] = [min(a*d,a*e,b*d,b*e), max(a*d,a*e,b*d,b*e)] = [a*d, b*e]

[a,b]/[d,e] = [min(a/d,a/e,b/d,b/e), max(a/d,a/e,b/d,b/e)] = [a/e, b/d] 

 
 

Пример: Даны два нечетких числа в виде треугольных ФП [2a-1, 3—2a] и [2a+1, 5-2a]. Необходимо найти сумму.

(A+B) = [2a-1, 3—2a] + [2a+1, 5-2a] = [4a, 8-4a]