Методы искусственного интеллекта. Нечеткая логика

 

Также существует другие варианты определение обобщенной операции "НЕ"

Операция  Дополнение или "НЕ" или (-)

 по Сугено

 по Ягеру 

 

Свойства  простейших операций (Ç È не)

1. Коммутативность:  АÈB = BÈА, АÇB = BÇА

2. Ассоциативность:  АÈ(BÈС) = (АÈB)ÈС, АÇ (BÇС) = (АÇB) ÇС

3. Дистрибутивность: АÈ(BÇС) = (АÈB)Ç(BÈС),

       АÇ(BÈС) = (АÇB)È(BÇС)

4. Идемпотентность:  АÈA = A, АÇA = A

5. Поглощение: АÈ(AÇB) = АÇ(AÈB) = A

6. Универсальность  границ: АÈÆ = A, АÈU = U

       АÇÆ = Æ, АÇU = A

7. Инволюция: 

8. Законы де Моргана:  ,  

Другие операции с НМ, которые еще не упоминались

разность

(по заде) 

Дизъюнктивная сумма 

(по заде) 

Умножение на число

 

 

CON эквивалентна применению к лингвистической переменной понятия "Очень"

т.е. увеличение четкости множества (уточнение модели) 

EX: есть "старый"

CON("старый" ) = "очень старый"  

 

DIL эквивалентна применению к лингвистической переменной понятия "более менее" 

т.е. увеличение нечеткости множества (размытия модели)

EX: есть "старый"

DIL("старый" ) = "более менее старый"  

Замечание! Существуют другие типы описания модификаторов (кванторов) для применения понятий "очень"/"более менее": масштабирование и сдвиг. 
 
 
 
 
 
 
 

1.5. Нечеткие отношения 

Определение. Нечетким отношением R на множествах X1, X2, …, Xn называется нечеткое подмножество декартова произведения X1 x X2 x… x Xn. Степень принадлежности M_R(X1, X2, …, Xn) показывает степень выполнения отношения R между элементами X1, X2, …, Xn, xi Î Xi, i = 1,…, n . 

Отличается только тем (без учета смысловой нагрузки), что нечеткие множества это функции  от одного переменного, а нечеткие отношения  это функции от многих переменных. 

Замечание! В дальнейшем будем рассматривать только бинарные отношения между множествами X, Y. Тогда задание бинарного нечеткого отношения R на X x Y состоит в указании всех троек:

(x,y,M_R(x,y)), где  x Î X, y Î Y          

                    или, (x,y) Î XxY. 

Пример. Задать нечеткое отношение x~y ("x приблизительно равно y").

Пусть x,y Î {0,1,2,3}. Тогда нечеткое отношение удобно задавать матрицей вида:

 

Пример. Для непрерывных множеств x =[0,3] и y =[0,3] нечеткое отношение "x~y" можно задать следующей функцией принадлежности:  M_R(x,y) = exp(-0.2(x-y)^2).  

Пример. Задать нечеткое отношение "x << y" ("x намного меньше y").

Пусть x,y Î {0,1,2,3}. Тогда нечеткое отношение можно задать матрицей вида:

 

Пример. Для непрерывных множеств x =[0,3] и y =[0,3] нечеткое отношение "x<<y" можно определить такой функцией принадлежности:

 

Совпадающие свойства нечетких отношений и множеств: основание, высота, нормальность, a-сечение и т.д.

Определение. Носителем нечеткого отношения R на множествах X и Y называется подмножество декартова произведения X´Y вида:

supp R ={(x,y): (x,y) Î XxY, M_R(x,y)>0)} 

Определение. a-сечением нечеткого отношения R на X и Y называется обычное отношение, связывающее все пары (x,y) Î XxY, для которых степень выполнения нечеткого отношения R не меньше a:

Ra ={(x,y): (x,y) Î XxY, M_R(x,y)>=a)} 

Определение. Нечеткое отношение R на XxX называется рефлексивным, если для любого xÎX выполняется равенство M_R(x,x)=1.

В случае конечного  множества X все элементы главной диагонали матрицы R равны 1. Примером рефлексивного НО "x~y".  

Определение. Нечеткое отношение R на XxX называется антирефлексивным, если для любого xÎX выполняется равенство M_R(x,x) = 0.

В случае конечного  множества X все элементы главной диагонали матрицы R равны 0. Примером антирефлексивного НО "x >> y". 

Определение. Нечеткое отношение R на XxY называется симметричным, если для любой пары (x,y) Î XxY выполняется равенство  M_R(x,y) = M_R(y,x).

Матрица симметричного  нечеткого отношения, заданного  на конечном множестве, рефлексивная. 

Определение. Нечеткое отношение R на XxY называется асимметричным, если выражение M_R(x,y)>0 =>M_R(y,x) = 0 справедливо для любой пары (x,y) Î XxY.

Примером асимметричного нечеткого отношения может служить  отношение "намного больше". 

Определение. Нечеткое отношения R и R^(-1) на XxY называется обратными, если для любой пары (x,y) Î XxY выполняется равенство M_R(x,y) = M_R^(-1)(y,x).

Примером обратных нечетких отношений может служить  пара НО "x >> y" - "x << y". 

     1.6. Операции над нечеткими отношениями

Операции  над нечеткими отношениями аналогичны соответствующим операциям для  обычных отношений. Однако, как и  для нечетких теоретико-множественных операций, они могут выполняться различными способами. Ниже приводятся определения операций над нечеткими отношениями с использованием треугольных нормы и конормы. 

Определение. Пересечением нечетких отношений A и B , заданных на XxY, называется нечеткое отношение  C = A ÇB с функцией принадлежности  Mc(x,y) = t(MA(x,y), MB(x,y)), (x,y) Î XxY, где t(.) - t-норма. 

Определение. Объединением  нечетких отношений A и B , заданных на XxY, называется нечеткое отношение C = A ÈB с функцией принадлежности  Mc(x,y) = s(MA(x,y), MB(x,y)), (x,y) Î XxY, где s(.) - t-конорма (s-норма). 

Пересечение и объединение нечетких отношений "x приблизительно равно y" и "x намного меньше, чем y"из примеров 5 и 6 показаны на рис. 12. В качестве t-нормы и s-нормы использовались операции нахождения минимума и максимума, соответственно. 

Пример. Даны НО R1 "x<<y" и R2 "x ~y". Посчитать

объединение R = R1 ÈR2

Пересечение R = R1ÇR2

 

Определение. Дополнением нечеткого отношения R, заданного на XxY, называется нечеткое отношение R с функцией принадлежности M_Ř(x,y) = 1 –M_R(x,y), (x,y) Î XxY. 

Определение. Первая проекция это нечеткое множество с ФП

Определение. Вторая проекция это нечеткое множество с ФП

 

Определение. Максминной композицией (произведением) нечетких отношений A и B, заданных на XxZ и ZxY, называется нечеткое отношение G=A°B на множестве XxY с функцией принадлежности

Замечение! В случае конечных множеств X,Y,Z матрица нечеткого отношения G=A°B получается как максминное произведение матриц A и B, в которой операция выполняется как обычное произведение матриц («строка на столбец») и операция поэлементного умножения заменена на нахождение минимума, а суммирование - на нахождение максимума.