Анализ и прогнозирование цен недвижимости

Анализ временных рядов. Предварительные замечания

     Временной ряд представляет собой последовательность значений случайной величины, например, цен объектов недвижимости в данном сегменте рынка, генерируемых последовательно во времени. В случае, когда время непрерывно, временной ряд также называется непрерывным. Если же время изменяется дискретно, получаем дискретный временной ряд. В данной статье рассматриваются исключительно дискретные временные ряды, в которых наблюдения осуществляются через фиксированные интервалы времени, например, месяц, квартал или год.

     Следует отметить, что идея использования математических моделей для описания поведения экономических систем является общепризнанной. В том случае, если бы экономические законы, управляющие рыночными процессами, могли бы быть точно описаны системами дифференциальных уравнений, вычисление характеристик рынка в любой момент времени не представляло бы принципиальных трудностей. В этом случае было бы возможным точно предсказать, как, например, будут меняться цены в дальнейшем. Однако, если в физике иногда и удается построить детерминированные модели, то в экономике ситуация коренным образом отличается. На экономические процессы в большой степени влияют неконтролируемые факторы. Причинно-следственные связи не поддаются строгому анализу, а многие явления обнаруживаются лишь тогда, когда они уже проявились. Кроме того, существует множество параметров, выраженных косвенным образом, которые также необходимо учесть. Для таких систем нельзя предложить детерминированную модель, допускающую точное вычисление будущего поведения системы. Тем не менее, можно рассматривать ее аналог, позволяющий определить вероятность того, что некоторое будущее значение будет лежать в конкретном интервале. Такая модель называется вероятностной или стохастической. Соответственно, модели временных рядов, позволяющие описать динамику процессов на реальном рынке, являются стохастическими.

     В соответствии с приведенными терминами, если будущие значения временного ряда точно определены какой-либо математической функцией, временной ряд является детерминированным. В противном случае, при возможности описания будущих значений только с помощью случайных величин, получаем случайный временной ряд. Временные ряды, которые характеризуют поведение параметров рынка, являются случайными.

     В дальнейшем следует различать стохастический процесс и временной ряд, представляющий собой множество наблюденных значений, упорядоченных во времени. Модель, описывающую вероятностную структуру последовательности наблюдений временного ряда, называют стохастическим процессом. [5]. Если же использовать более строгую статистическую терминологию, наблюденный временной ряд есть выборочная реализация из бесконечного ансамбля таких рядов, генерируемых стохастическим процессом. Из всех стохастических процессов выделяется отдельный класс, который характеризуется постоянными, не изменяющимися в течение больших интервалов времени значениями среднего арифметического и дисперсии. Такие процессы называются стационарными. При этом величину среднего и дисперсии можно оценить стандартными методами, относящимися к обработке случайных величин.

     В большинстве случаев временные  ряды, описывающие процессы на рынке (например, цены недвижимости, или котировки  акций) обнаруживают нестационарный характер. Это, прежде всего, выражается в том, что значения временного ряда не колеблются относительно фиксированного среднего, а проявляют четко выраженную тенденцию к росту или падению. Также во многих случаях значениям временного ряда присуще наличие периодической составляющей, - следствие сезонности тех или иных процессов. Среди моделей, описывающих нестационарные процессы, наиболее распространенными являются регрессионные модели. Для них характерно то, что, хотя уровень, относительно которого происходят флуктуации, может принимать отличные значения в разные моменты времени, поведение рядов (после исключения меняющегося уровня) оказывается во многом сходным. Следует отметить, что именно методы регрессионного анализа пользуются наибольшей популярностью среди всей совокупности статистических методов прогнозирования временных рядов. Они основаны на выявлении общих тенденций, которые ассоциируются с проявляющимися трендами, и построении математической модели тренда, выраженной уравнением, по которому и рассчитываются прогнозные значения исследуемого явления. При этом простейшим видом регрессионной модели является такая, в которой в качестве независимой переменной выступает фактор времени.

     Наряду  с трендовыми моделями для прогнозирования  временных рядов используются авторегрессионные модели, основанные на выявлении взаимосвязей между значением анализируемого временного ряда в текущий момент времени и рядом значений, соответствующих предыдущим моментам времени: . Отметим, что построение авторегрессионных моделей напрямую связано с преобразованием исходного нестационарного ряда, если он таковым является, к стационарному виду с помощью набора некоторых несложных операций для расчета коэффициентов модели (метод последовательных разностей, цепные индексы, логарифмирование). В этом и состоит их принципиальное отличие. Если регрессионная модель составляется по данным исходного ряда и состоит в выявлении трендов, которые интерполируются функциями различной сложности, то в авторегрессионной модели прогнозирование осуществляется обычно на основе стационарных рядов, образованных в результате преобразования исходных данных. Впоследствии производится процедура обратного перехода к значениям исходного ряда.

     При этом порядок авторегрессионной  модели (количество включаемых в нее  в качестве факторных показателей предыдущих уровней ряда) напрямую зависит от вида ряда, а точнее, от степени корреляции между последовательностями его уровней. В связи с этим включение в авторегрессионную модель фактических переменных ограничено для каждого конкретного случая определенным числом параметров, превышать которое нецелесообразно с точки зрения адекватности получаемых результатов (включение в модель незначимых переменных, как правило, снижает точность прогноза, получаемого по такой модели). В свою очередь, определенное число параметров дает возможность ориентироваться лишь на ограниченное число значений ряда при составлении дальнейшего прогноза.

     Учитывая, что конструктивные модели вероятностных процессов и соответствующий математический аппарат достаточно хорошо разработан для анализа процессов, принадлежащих к классу стационарных, широкое применение получили модели так называемых нестационарных процессов, приводимых к стационарным. Такие процессы не являются стационарными в указанном выше смысле. Однако если рассматривать значения, на которые изменяются ряды через равные промежутки времени (приращения), то такие ряды могут рассматриваться как аналогичные им. Так, особое значение в этой статье уделено процессам, характеризуемым стационарными относительными приращениями. Отметим, что игнорирование нестационарности того или иного процесса, зачастую приводит к ложным выводам, что и будет проиллюстрировано ниже

Анализ возможности интерполяции траектории цен жилья с помощью полиномов высокого порядка

     Первоначальной  ступенью в регрессионном анализе данных является проверка их однородности. Так, обратившись к рисунку, иллюстрирующему общую траекторию цен в течение длительного периода нельзя не отметить присутствующих в нем структурных изменений. Ориентировочно до августа 2006 года образованный из последовательных удельных цен квартир временной ряд содержал в себе выраженный плавный тренд, отражающий в среднем монотонный рост стоимости жилья. Далее после резкого скачка цен в начале осени 2006 года характер тенденции полностью изменился: началось стремительное скачкообразное нарастание показателей с достижением пиковой точки максимального значения и последующим спадом. Графики (рис.3) иллюстрируют вывод о наличии двух существенно разных процессов, относящихся к двум последовательным периодам времени:

     Рис. 3. Динамика стоимости вторичного жилья (долл./кв.м.) в Нижнем Новгороде 

     Таким образом, исследуемый временной ряд как бы содержит в себе две различные тенденции. На верхней части рис. 3, можно отметить, что линия тренда, представленного полиномом достаточно высокой степени, все же не может в полной мере аппроксимировать изменение показателя. В тоже время намного удачней выглядит ситуация на нижних рисунках: тот же самый тренд приближает две части исходного временного ряда (до августа 2006 года и после него) в значительно большей степени. Значения коэффициентов детерминации подтверждают сделанные выводы. Отсюда следует, что для построения модели, позволяющей приблизить траекторию изменения цен с помощью полинома, целесообразно анализировать данные части ряда по отдельности, характеризующие по существу разную динамику движения цен. Здесь следует сделать два следующих важных замечания.

     Хорошая интерполяция временного ряда с помощью  полинома высокого порядка, не отражающего  внутренние механизмы движения цен, отнюдь не гарантируют высокую точность прогноза дальнейшего поведения цен. Здесь следует обратить внимание на весьма распространенное заблуждение о том, что использование интерполяционной функции с высоким коэффициентом детерминации позволяет качественно спрогнозировать дальнейшую динамику ряда. Даже в случае наличия достаточно точной интерполяции временного ряда, дающей приближенные к единице значения коэффициента детерминации, не всегда возможно получить хороший результат в продолжении интерполирующей функции на прогнозный период. Более того, при высоких степенях полинома такой прогноз становится неустойчивым и, наоборот, приводит к большим ошибкам, чем модели более простой структуры (низкой размерности). Подробный анализ процедуры выбора модели для интерполяции функции, с помощью которой в данном случае следует описывать тренд, выполнен в статье [3]. Здесь лишь отметим, что для прогнозирования временных рядов на небольшие интервалы времени целесообразно использовать полиномы не выше второй степени.

     Разделение ряда на части приводит к уменьшению объема исследуемой выборки (внутри каждого отрезка), что отражается на снижении точности приближения и последующего прогноза. Такое разделение оправдано только в том случае, если можно выделить интервалы времени, внутри которых сохраняется единый механизм изменения цен. При этом есть основания утверждать, что этот механизм сохранится в обозримом будущем (на протяжении прогнозного периода).

Анализ  возможности прогнозирования  удельных цен квартир

     Любая модель строится при каких-либо предположениях относительно реального процесса. Как следствие, никакая модель не может являться абсолютно правильной и должна быть подвергнута диагностической проверке. С точки зрения статистических методов, существует ряд показателей, позволяющих в определенной мере оценить адекватность построенной модели. Каждый из них основан на анализе ошибки, получающейся вычислением разности между уровнями реального временного ряда и его значениями, вычисленными по исследуемой модели.

     Для того чтобы оценить качество метода прогнозирования с точки зрения погрешности результатов, рассмотрим результаты прогноза на период длительностью 1 год, используя в качестве базы прогноза данные об удельных ценах за предшествующий период, равный, в свою очередь, двум годам. Таким образом, прогнозирование осуществляется для 7 периодов, при этом имеется возможность сравнить результаты прогноза с фактическими данными, которые показывают, как развивался процесс на самом деле. 

     Прогнозные  базы и прогнозируемые периоды

Таблица 1

     Результаты  прогнозирования по каждому из перечисленных  периодов приведены на графиках ниже.