Економіко - математичні моделі в управлінні та економіці

Теоретична частина

Систематизація  моделей поведінки споживачів

 

Дослідження математичної моделі дає змогу діставати характеристики реального економічного об’єкта  чи системи. Тип математичної моделі залежить як від природи системи, так і від задач дослідження. У загальному випадку математична модель системи містить опис множини можливих станів останньої та закон переходу з одного стану до іншого (закон функціонування).

Розглянемо основні типи економіко-математичних моделей (ЕММ), які класифікують за різними  критеріями.

За цільовим призначенням ЕММ поділяються  на теоретико-аналітичні, застосовувані  для дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних  процесів (наприклад, модель Кейнса), та прикладні, призначені для розв’язування  конкретних економічних задач (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління тощо).

ЕММ можуть бути призначені для дослідження  як різних функціональних складових  економіки (виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структури), так і  його окремих частин. Розглядають моделі всієї економіки в цілому та її підсистем — секторів, галузей, регіонів, комплексів моделей виробництва, споживання, формування та розподілу прибутків, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв’язків тощо.

Згідно із загальною класифікацією математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, охоплюючи проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на макрорівні найчастіше використовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв’язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв’язків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поводження об’єкта («вихід») впливають, змінюючи «вхід». Прикладом може бути модель поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин. Один і той самий об’єкт може описуватися водночас як структурною, так і функціональною моделлю.

В умовах ринкової системи управління виробничою і збутовою діяльністю підприємств і фірм в основі прийняття господарських рішень лежить ринкова інформація, а обгрунтованість рішень перевіряється ринком у ході реалізації товарів і послуг. При такому підході основою підприємницької діяльності стає вивчення споживчого попиту.

Розглянемо деякі питання моделювання попиту і споживання.

Рівень споживання суспільства  можна висловити цільової функцією споживання U = U (Y), де Y О - вектор змінних різноманітних товарів і послуг. Ряд властивостей цієї функції зручно вивчати, використовуючи геометричну інтерпретацію рівнянь U (Y) = С, де С - мінливий параметр, що характеризує значення (рівень) цільової функції споживання (наприклад, прибуток або рівень матеріального добробуту).

У сукупності споживчих  благ кожному рівнянню U (Y) = С відповідає певна поверхню рівноцінних, або байдужих, наборів благ, яка називається поверхнею байдужості. Для наочності розглянемо простір двох благ, наприклад, у вигляді двох агрегованих груп товарів: продукти харчування (y ₁₎ і непродовольчі товари, включаючи послуги (у _2). Тоді рівні цільової функції споживання можна зобразити на площині у вигляді кривих байдужості, відповідних різним значенням С (рис. 1.1, де З ₁ <З ₂ <Сз).

 

 
 

 

 

 

Рис. 1.1. Графік кривих байдужості

З основних властивостей цільової функції споживання можна відзначить наступні:

1. функція U (Y) є зростаючою функцією всіх своїх аргументів, тобто збільшення споживання будь-якого блага при незмінному рівні споживання всіх інших благ збільшує значення даної функції;

2. криві байдужості не можуть  перетинатися, тобто через одну  точку сукупності благ (товарів,  послуг) можна провести тільки  одну поверхню байдужості;

3. криві байдужості мають негативний  нахил до кожної осі координат, при цьому абсолютний нахил кривих зменшується при русі в позитивному напрямку по кожній осі, тобто криві байдужості є опуклими кривими.

Методи побудови цільової функції  споживання засновані на узагальненні досвіду поведінки споживачів і тенденцій купівельного попиту в залежності від рівня добробуту.

Розглянемо моделювання поведінки споживачів в умовах товарно-грошових відносин на базі цільової функції споживання. В основі моделі поведінки споживачів лежить гіпотеза, що споживачі, здійснюючи вибір товарів при встановлених цінах і наявному доході, прагнуть максимізувати рівень задоволення своїх потреб.

Нехай у сукупності п видів товарів досліджується поведінка споживачів. Позначимо попит споживачів через вектор Y = (y _1, у ₂ ,..., y _n), а ціни на різні товари - через вектор Р = (р _1, р _2, ..., p _п). Нехай D - величина доходу . Тоді споживачі можуть вибирати тільки такі комбінації товарів, які задовольняють обмеженню , Званому бюджетним обмеженням.

Нехай U (Y) цільова функція споживання. Тоді найпростіша модель поведінки споживачів в векторної формі можна записати у вигляді:

(1.1)

Геометрична інтерпретація моделі (1.1) для двох агрегованих груп товарів представлена на рис. 1.2.

Лінія АВ (в інших варіантах А ₁ В _1, А ₂ В ₂₎ відповідає бюджетному обмеженню і називається бюджетною лінією. Вибір споживачів обмежений трикутником АОВ (A ₁ OB _1, A ₂ OB _2).

Рис. 1.2. Графік найпростішої моделі поведінки споживача

Набір товарів М, відповідний точці дотику прямої АВ з найбільш віддаленій кривої байдужості, є оптимальним рішенням (в інших варіантах це точки К і L). Легко помітити, що лінії АВ і A ₁ B ₁ відповідають одному і тому ж розміру доходу та різними цінами на товари y ₁ і у _2; лінія A ₂ B ₂ відповідає більшому розміру доходу.

На основі теорії нелінійного програмування, можна визначити математичні умови оптимальності рішень для моделі (1.1). Із завданням нелінійного програмування зв'язується так звана функція Лагранжа, яка для задачі (1.1) має вигляд

L (Y, l,) = U (Y) + l (D - PY),

де множник Лагранжа l є оптимальною оцінкою доходу.

Позначимо приватні похідні функції U (Y) через U _i:

Вони представляють собою граничні корисні ефекти (граничні корисності) відповідних споживчих благ і показує на скільки одиниць збільшується цільова функція споживання при збільшенні використання i - гоблага (товару) на деяку умовну «малу одиницю».

Необхідними умовами того що вектор Y ⁰ буде оптимальним рішенням, є умови Куна-Таккера:

при цьому 

(Товар купується)

(Товар не купується) (1.2)

 
Останнє з співвідношень (1.2) відповідає повному використанню доходу, і для цього випадку очевидно нерівність .

З умов оптимальності (1.2) випливає, що

Це означає, що споживачі  повинні вибрати товари таким  чином, щоб відношення граничної  корисності до ціни товару було однаковим  для всіх придбаних товарів, тобто в оптимальному наборі граничні корисності обираних товарів повинні бути пропорційні цінами.

Функціями попиту називаються функції, що відбивають залежність обсягу попиту на окремі товари і послуги від сукупності факторів, що впливають на нього. Розглянемо побудову функцій попиту залежно від двох факторів - доходу і цін.

Нехай в моделі (1.1) ціни і дохід розглядаються як змінні параметри. Мінливу доходу будемо позначати Z. Тоді рішенням оптимізаційної задачі (1.1) буде векторна функція компонентами якої є функції попиту на певний товар від цін і доходу:

Розглянемо окремий випадок, коли вектор цін є незмінним, а дохід змінюється. Для двох товарів цей випадок представлений на рис. 1.3. Якщо по осі абсцис відкласти кількість одиниць товару y _1, яке можна придбати на що має дохід Z (точка В), а по осі ординат - те ж саме для товару y ₂ (точка А), то пряма лінія АВ, званої бюджетною лінією, показує будь-яку комбінацію кількостей цих двох товарів, яку можна купити за суму грошей Z. При збільшенні доходу бюджетні лінії переміщуються паралельно самим собі, віддаляючись від початку координат. Разом з ними переміщуються відповідні криві байдужості. Точками оптимуму попиту споживачів для відповідних розмірів доходу будуть в даному випадку точки M _1, M _2, M _3. При нульовому доході попит на обидва товари нульовий. Крива, що з'єднує точки 0, M _1, M _2, M _3, є графічним відображенням векторної функції попиту і доходу при заданому векторі цін.

Рис. 1.3. Графік функції попиту і доходу (для двох товарів у ₁ і у ₂₎

Однофакторні функції  попиту від доходу широко застосовуються при аналізі купівельного попиту. Відповідні цим функціям криві називаються кривими Енгеля (по імені німецького економіста). Форми цих кривих для різних товарів можуть бути різні. Якщо попит на даний товар зростає приблизно пропорційно доходу, то функція буде лінійною (рис. 8.4а). Якщо у міру зростання доходу попит на дану групу товарів зростає все більш високими темпами, то крива Енгеля буде опуклою (рис. 1.4б). Якщо зростання значень попиту, починаючи з певного моменту, в міру насичення попиту відстає від зростання доходу, то крива Енгеля має вигляд увігнутою кривою (рис. 1.4в). запропонував спеціальні види функції попиту (функції Торнквиста) для трьох груп товарів: першої необхідності, другої необхідності, предметів розкоші.

Важливим показником функції попиту є коефіцієнт еластичності. Коефіцієнт еластичності попиту від  доходу показує на скільки відсотків, зміниться попит, якщо доход збільшиться  на 1% (за інших не змінюються факторах), і обчислюється за формулою:

де  - Коефіцієнт еластичності для i-го товару (групи товарів) за доходом Z; y _i - попит на i-й товар, що є функцією доходу: .

Рис. 1.4. Криві Енгеля

Аналогічний принцип  розмежування груп товарів за типами функцій попиту від доходу використовував шведський економіст Л. Торнквіст, який

Коефіцієнти еластичності попиту від доходу різні за величиною  для різних товарів, аж до негативних значень, коли із зростанням доходів споживання зменшується. Прийнято виділяти чотири групи товарів залежно від коефіцієнта еластичності попиту на них від доходу:

Малоцінні товари ( );

· Товари з малою еластичністю ( );

· Товари з середньою еластичністю ( близькі до одиниці);

· Товари з високою еластичністю ( ).

До малоцінних товарів (з негативною еластичністю попиту від доходу) відносяться хліб, а також низькосортні товари. За результатами обстежень, коефіцієнти еластичності для основних продуктів харчування знаходяться в інтервалі від 0,4 до 0,8, по одягу, тканин, взуття - в інтервалі від 1,1 до 1,3 і т.д. У міру збільшення доходу попит переміщається з товарів першої та другої груп на товари третьої і четвертої груп, при цьому споживання товарів першої групи за абсолютними розмірами скорочується.

Перейдемо до розгляду та аналізу  функцій купівельного попиту від  цін на товари. З моделі поведінки  споживачів (1.1) випливає, що попит на кожен товар в загальному випадку залежить від цін на всі товари (вектора Р), однак побудувати функції загального вигляду дуже складно. Тому в практичних дослідженнях обмежуються побудовою та аналізом функцій попиту для окремих товарів залежно від зміни цін на цей же товар або групу взаємозамінних товарів: .

Для більшості товарів  діє залежність: чим вища ціна, тим  нижче попит, і навпаки. Відносне зміна обсягу попиту при зміні ціни даного товару або цін інших пов'язаних з ними товарів характеризує коефіцієнт еластичності попиту від цен.Етот коефіцієнт еластичності зручно трактувати як величину зміни попиту у відсотках при зміні ціни на 1%.

Для попиту y _i на i-й товар щодо його власної ціни p _i коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою:

(1.4)

Значення коефіцієнтів еластичності попиту від цін практично  завжди негативні. Однак за абсолютним значенням цих коефіцієнтів товари можуть істотно відрізнятися один від одного. Їх можна розділити на три групи:

- Товари з нееластичним  попитом у відношенні ціни  ;

- Товари з середньою  еластичністю попиту від ціни ( близькі до -1);

- Товар з високою  еластичністю попиту  .

У товари еластичного  попиту підвищення ціни на 1% призводить до зниження попиту більш ніж на 1% і, навпаки, зниження ціни на 1% призводить до зростання покупок більше ніж на 1%. Якщо підвищення ціни на 1% тягне за собою пониження попиту менш ніж на 1%, то говорять, що цей товар нееластичного попиту.

Розглянемо вплив на попит на будь-який товар зміни  цін на інші товари. Коефіцієнт, що показує, на скільки відсотків зміниться  попит на даний товар при зміні  на 1% ціни на інший товар за умови, що інші ціни і доходи покупців залишаються  незмінними, називається перехресним коефіцієнтом еластичності. Для попиту у _i на i-й товар відносно ціни p _j на j-й товар ( ) Перехресний коефіцієнт еластичності розраховується за формулою:

(8.5)

За знаком перехресних  коефіцієнтів еластичності товари можна  розділити на взаємозамінні і взаємодоповнюючі. Якщо , Це означає, що i-й товар замінює в споживанні товар j, тобто на товар i переключається попит при збільшенні ціни на товар j. Прикладом взаємозамінних товарів можуть служити багато продуктів харчування.

Якщо  , Це є ознакою того, що i-й товар у процесі споживання доповнює товар j, тобто збільшення ціни на товар j призводить до зменшення попиту на товар i. Як приклад можна привести такі взаємодоповнюючі товари, як автомобілі і бензин, чай і цукор.