Экономико- математические методы и модели

Пусть 66,33 < S < 115, тогда оптимальным решением задачи оптимизации выпуска будет точка соответствовать точке G, являющейся точкой пересечения прямых (1) и (2), координаты которой находятся из системы уравнений:

2x₁ + x₂ = S

6x₁ + x₂ = 199

Следовательно, ,

Запишем условия дополняющей нежесткости  и найдем оптимальное решение  двойственной задачи, соответствующее  найденному оптимальному решению прямой задачи.

u₁(S – 2x₁ – x₂) = 0,   x₁(2u₁ + u₂ + 6u₃ – 541) = 0,

u₂(167 – x₁ – 2x₂) = 0,    x₂(u₁ + 2u₂ + u₃ – 246) = 0.

u₃(199 – 6x₁ – x₂) = 0,

Так как  , и 167 – x₁ – 2x₂ ¹ 0, то

2u₁ + u₂ + 6u₃ – 541 = 0

u₁ + 2u₂ + u₃ – 246 = 0.

u₂ = 0

Таким образом, u₁ = 233,75, u₂ = 0, u₃ = 12,25

При уменьшении S от 66,33 до 0 оптимальное решение будет иметь вид:

, ,  .

Запишем условия дополняющей нежесткости  и найдем оптимальное решение  двойственной задачи, соответствующее  найденному оптимальному решению прямой задачи.

u₁(S – 2x₁ – x₂) = 0,   x₁(2u₁ + u₂ + 6u₃ – 541) = 0,

u₂(167 – x₁ – 2x₂) = 0,    x₂(u₁ + 2u₂ + u₃ – 246) = 0.

u₃(199 – 6x₁ – x₂) = 0,

Так как  , то 2u₁ + u₂ + 6u₃ – 541 = 0;

Так как  , то u₂ = 0.

Так как  , то u₃ = 0.

Таким образом, получаем систему уравнений:

  2u₁ + u₂ + 6u₃ = 541,

     u₂ = 0,

 u₃ = 0.

Откуда  ; , .

Следовательно, при S Î (0, 66,33).

Таким образом, для всех возможных значений S Î [0, +¥) определена функция предельной полезности ресурсов:

=

Рис. 1.4. Графики функций предельной полезности и полезности сырья

 

Задача№ 3.

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск новой  продукции А и В, пользующейся спросом на рынке. Предприятие располагает  необходимым сырьем и оборудованием  и может привлечь квалифицированных  рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда  рабочих. Для этого оно может  получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в  конце квартала.

Информация  о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья  и парка оборудования, имеющихся  в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции  А и В приведены в таблице

 

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем ресурса
	Продукт А	Продукт В
Сырье (кг.)	12	3	3240
Оборудование (ст.час)	1	2	480
Трудоресурсы (чел.час)	13	3	?
Цена реализации (руб.)	3873	960

 

Целью организации выпуска новой продукции  является получение максимальной суммарной  прибыли, которая определяется как  разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной  за квартал продукции А и В, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита  и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочим с произвольной почасовой ставкой t (руб/чел.-час) оплаты труда.
2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка труда равна 10 руб/чел.-час.
3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего её получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 40 рублей за чел.-ч. Найти функции, выражающие эти зависимости и построить их графики.

РЕШЕНИЕ:

3.1 Построение математической модели

x₁ – объем выпуска продукции А

x₂ – объем выпуска продукции В

S – потребность в трудовых ресурсах

t – почасовая ставка оплаты труда

V – размер кредита

Z – выручка от реализации произведенной продукции

P – прибыль предприятия

 

 

 

Ограничения по использованию сырья

Ограничения по использованию оборудования

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах и

Размер необходимого кредита определяется исходя из потребности в трудовых ресурсах и почасовой ставки оплаты труда t:

Выручка от реализации произведенной продукции:

Суммы расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита  и процентов по нему

 

Прибыль определяется как разность между выручкой и  расходами по обслуживанию кредита:

Это и есть наша математическая модель.

При этом необходимый  размер кредита определяется

   

 

3.2  Определение оптимальной программы выпуска

 

Точкой  maxфункции P(10) будет точка С (270;0)

 

 

Х2

1080

 

 

 

 

А240

               В

                               Р(10)

                               Р(40)

                   С                                            Х1

              270                 480

 

При руб/чел.-час математическая модель примет вид:

Максимальный размер прибыли:

                                        

Размер необходимого кредита

Сумма уплаченных процентов

Потребность в трудовых ресурсах

 

3.3 Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы.

Определим оптимальные планы выпуска  при различных значениях t.

Так как нам нужны показатели на интервале 

при ; при

Нужно найти  , которая является переломной на графике и она переходит от С к В.

 Уравнение линии уровня целевой  функции:

(граничная прямая)

 

Имеем: при  ;   ; т.е. С

              При  ;   ; т.е. В

 

При - здесь решение определенно неоднозначно, им будет любая точка отрезка [В,С]

 

При

Точкой  max функции P(40) ,будет (.) В (240,120)

 

        =>           =>      

 

Максимальный  размер прибыли:

Размер необходимого кредита:

Сумма уплаченных процентов

Потребность в трудовых ресурсах

                                                     

 

Рассмотрим интервал при =40:

Т.к. решение точка В(240;120), то:

 

 

Рассмотрим интервал при =10:

Т.к. решение точка С(270;0), то:

 

Рассмотрим  - здесь решение определенно неоднозначно, им будет любая точка отрезка [В,С], т.е. при t=30:

, где во всех точках этого  отрезка величина прибыли одинакова,  т.е.:

 

Результаты в таблице:

Почасовая ставка оплаты труда  (руб.)	Оптимальный план выпуска	Величина спроса на трудовые ресурсы  (чел.-час)	Размер необходимого кредита (руб.).	Максим. прибыль (руб.).
	С( )	3510	3510t
	Любая точка отрезка [A, B]			929984,4
	В( )	3480	3480t

 

 

 

 

 

 

 

S

 

                     

 

3510

 

 

3480

 

                                                       T

         10               30    40

 

 

V

 

 

139200

 

105300

 

104400

 

3510

 

                                                         t

        10                    30     40

 

 

 

 

P

 

 

 

1007135,1

 

929984,4

 

 

891739,2

 

                                                                t

             10                     30 40

 

 

Задача 4

4.1. Построить  графики ПФ при фиксированном  значении одной из переменных

 а) K=162,б) L=27

Фиксируем значение К = 162, тогда:

построим график при изменении  рабочей силы в пределах 20≤ L≤100

при L =20 ^0,4=3,31, т.е. 127,02∙3,31=420,4

при L =50 ^0,4=4,78, т.е. 127,02∙4,78=607,2

при L =100 ^0,4=6,31, т.е. 127,02∙6,31=801,5

 

 

  Y

801,5

 

607,2

 

 

420,4

 

 L

              20                 50                  100

 

 фиксируем значение на L = 27, тогда

построим график при изменении  оборудования в пределах 100≤ К≤500

при К =100 ^0,6=15,85;, т.е. 22,44∙15,85=355,7

при К =300 ^0,6= 30,64, т.е. 22,44∙30,64=687,6

при К =500 ^0,6=41,63, т.е. 22,44∙41,63=934,2

  Y

 

 

934.2                                    

687.6

 

355.7

 

           100      300        500                 К

 

4.2. Составим  уравнение изоквант при фиксированных  значениях объема выпуска продукции:

 

  

 

 

Для построения изоквант надо выразить переменную L как функцию от переменной К:

  или  

итак получим:

(1)

(2)

(3)

 

L

 

 

                        (3)

                        (2)

                        (1)

 

                                                     K

4.3. Объем выпуска  Yбаз=475, наличные трудовые ресурсы Lбаз=27 в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом периоде:

Используя  уравнение изокванты  получим выражение для потребности в оборудовании:

Если объем трудовых ресурсов не изменится, то потребность в оборудовании в базовом  периоде  составит:

Если объем трудовых ресурсов увеличится на 5 %, то потребность в оборудовании в плановом периоде  составит:

 

В базовом периоде потребность  в оборудовании составила:

 

4.4. Составим  ограничение по величине денежных  средств, которые фирма может  затратить на приобретение ресурсов:

C=PkK+PlL= 100K+400L

Математическая модель может быть записана так:

100K+400L≤30000

K≥0 ; L≥0

Т.е.нужно найти точку касания  самой высокой изокванты с  линией бюджетного ограничения. Граничная  прямая АВ (бюджетного ограничения):

100K+400L=30000, где K=30000/100=300; L= 30000/400=75

 

 

L

 

 

             C(Pk,PL)

   B

75 

30                         D       A

              180       300       K