Контрольная работа по "Экономическо-математическому моделированию"

Задача №1

 

На имеющихся  у фермера 400 га земли он планирует  посеять кукурузу и сою. Сев и  уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду на 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесёт 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесёт ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  её элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдёт, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

ЭММ задачи:

Переменные: х₁ – количество га под кукурузу;

                       х₂ – количество га под сою.

Целевая функция: f (х₁;х₂ ) = 90х₁ + 360х₂ max¹

Функциональные ограничения:

х₁ + х₂ <= 400

200х₁ + 100х₂ <= 60000

30х₁ + 60х₂ <= 21000

Прямые ограничения: х_1,2  <= 0

Преобразуем систему функциональных ограничений:

 

х₁ + х₂ <= 400

2х₁ + 1х₂ <= 600

х₁ + 2х₂ <= 700

1. Построим ОДР
2. Строим вектор градиент (90;360)
3. Строим линию уровня 90х₁ + 360х₂ = а (Const)
4. т.к. задача на max, то линия уровня сдвигается параллельно себе в направлении вектора градиента.

Координаты  т.А определяют оптимальный план задачи х₁ = 0; х₂ = 350.

Ответ: чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 350 га земли соей. При этом он получит: 360*350 = 126000 ден. ед. При решении задачи на min линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении противоположном вектору градиента. Минимум функции будет в т.А(0;0), следовательно фермер не получит прибыль, если не засеет поле.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №2

 

Для изготовления трёх видов продукции используются три вида сырья, нормы его расхода  и цены реализации единицы каждого  вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие			Запасы  сырья
	А	Б	В
I	4	2	1	180
II	3	1	2	210
III	1	2	3	244
Цена изделия	10	14	12

 

Требуется:

1. Сформулировать  прямую оптимизационную задачу  на максимум выручки то реализации  готовой продукции, получить оптимальный  план выпуска продукции.

2. Сформулировать  двойственную задачу и найти  её оптимизационный план с  помощью теорем двойственности.

3. Пояснить  нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

4. На  основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план её выпуска при увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого;
• оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 13 единиц, на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2 единицы каждого вида сырья, и изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение:

ЭММ задачи:

Переменные: х₁, х₂, х₃ – количество изделий вида А, Б и В

Целевая функция: f(X) = 10х₁ + 14х₂ + 12х₃  max

Ограничения по ресурсам:

4x₁ + 2x₂ + x₃ <= 180

3x₁ + x₂ + 2x₃ <= 210

x₁ + 2x₂ + 3x₃ <= 244

Прямые ограничения:

x_1,2,3 – целые.

x_1,2,3 >= 0

(Приложение 1).

2. ЭММ двойственной задачи:

у₁ – двойственная оценка единицы сырья первого типа;

у₂ – двойственная оценка единицы сырья второго типа;

у₃ – двойственная оценка единицы сырья третьего типа.

Целевая функция: g(Y) = 180у₁ + 210у₂ + 244у₃              min

Ограничения по ресурсам:

4у₁ + 3у₂ + у₃  >= 10

2у₁ + у₂ +2у₃  >= 14

у₁ +2у₂ +3у₃  >= 12

Прямые ограничения:

у_1,2,3 – целые.

у_1,2,3 >= 0

x₁ = 0; x₂ = 74; x₃ = 32

 

   Применяем 2 теорему двойственности:

у₁ (4x₁ + 2x₂ + x₃ – 180) = 0

у₂ (3x₁ + x₂ + 2x₃ – 210) = 0

у₃ (x₁ + 2x₂ + 3x₃ –244) = 0

 

у₁ (4∙0 + 2∙74 + 32– 180) = 0

у₂ (3∙0 + 74 + 2∙32 – 210) = 0

у₃ (0 + 2∙74 + 3∙32 –244) = 0

0∙ у₁ = 0 – выполняется при любом у₁

-72∙ у₂ = 0 – у₂ = 0

0∙ у₃ = 0 – выполняется при любом у₃

Применяем 2 теорему двойственности:

x₁ (4у₁ + 3у₂ + у₃ – 10) = 0

x₂ (2у₁ + у₂ +2у₃ – 14) = 0

x₃ (у₁ +2у₂ +3у₃ – 12) = 0

 

0 = 0

2у₁+2у₃ = 14

у₁+3у₃ = 12 │∙2

2у₁+2у₃ = 14

2у₁+6у₃ = 24

-4 у₃= - 10

у₃= 2,5

у₁= 4,5

Таким образом  оптимальный план двойственной задачи имеет вид :

у₁= 4,5; у₂ = 0; у₃= 2,5

Вычислим  оптимальные планы: значения целевых  функций прямой и двойственной задач  на найденных оптимальных планах

f(0;74;32) = 10∙0+ 14∙74 + 12∙32 = 1420

g(4,5;0;2,5) = 180∙4,5 + 210∙0 + 244∙2,5 = 1420

1420 = 1420 –  следовательно по 1 теореме двойственности обе задачи решены правильно.

3. у₂ = 0, означает, что ценность ресурса равна нулю. Он расходуется не полностью, находится в избытке.

4. Анализ  использования ресурсов в оптимальном  плане выполняется с помощью  второй теоремы двойственности:

если  у_i > 0, то ∑a_ij∙x_j = b_i, i = 1,m;

если ∑  a_ij∙x_j  < b_i, то yi=0, i = 1,m.

Первый и третий типы сырья имеют  отличные от нуля оценки 4,5 и   2,5 - эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям:

4x₁ + 2x₂ + x₃ <= 180

x₁ + 2x₂ + 3x₃ <= 244

 Х=(0;74;32)

4∙0 + 2∙74 + 32 = 180

0 + 2∙74 + 3∙32 = 244

Второй  тип сырья используется не полностью (170<210), поэтому имеет  нулевую двойственную оценку  (у₂ = 0):

3x₁ + x₂ + 2x₃ <= 210

3∙0 + 74 + 3∙32 =170 < 210.

Этот тип  сырья не влияет на план выпуска  продукции.

Согласно  второй теореме двойственности не использованный полностью в оптимальном плане  ресурс получает нулевую оценку. Нулевая  оценка ресурса свидетельствует  о его недефицитности. Недефицитность ресурса возникает не из-за его неограниченных запасов, а из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане.

• а) ∆f(Х) – изменение выручки от реализации продукции.

∆f(Х)=?

∆b₁ = +4 – увеличение запаса сырья первого типа;

∆b₃ = +4 – увеличение запаса сырья третьего типа.

У=(4,5;0;2,5)

Решение:

Применяем третью теорему двойственности:

∆f(Х) = ∑y_i∙∆b_i, где

∆f(Х) – изменение функции цели,

∆b_i – изменение запаса ресурса вида i,

y_i – переменная двойственной задачи (двойственная оценка единицы ресурса вида i).

∆f(Х) = ∑y_i∙∆b_i = у₁∙∆b₁ + у₃∙∆b₃= 4,5∙4 + 2,5∙4 = 28

∆f(Х) < 0, значит выручка от реализации продукции увеличится на 28 и станет равной 1448 ден. ед.

б) Найти  ∆х₁, ∆х₂, ∆х₃.

∆х₁ – изменение выпуска продукции вида А,

∆х₂ – изменение выпуска продукции вида Б,

∆х₃ – изменение выпуска продукции вида В.

∆b₁ = +4 , b₁′= 180 + 4= 184

∆b₂ = 0 , b₂′= 210

∆b₃ = +4 , b₃′= 244 + 4 = 248

∆х₁ = х₁′ – х₁,

∆х₂ = х₂′– х₂,

∆х₃ = х₃′– х₃,

Х= (х₁′; х₂′; х₃′) – новый план выпуска продукции.

f(х′)= 10х₁′ +  14х₂′ + 12х₃′ (max-?)

Ограничения по ресурсам:

4x₁′ + 2x₂′ + x₃′ <= 184

3x₁′ + x₂′ + 2x₃′ <= 210

x₁′ + 2x₂′ + 3x₃′ <= 244

(Приложение 2).

• Включаем в план  выпуска изделие вида Г.

С₄ = 13 ден. ед.

а₁₄ = 1, а₂₄ = 3, а₃₄ = 2.

У = (4,5; 0; 2,5)

Используем  следующую формулу:

∆j= ∑а_ij∙y_i – c_j, (j =1,n), где

∑ а_ij∙y_i – это объективно обусловленные затраты на ресурсы, при выпуске единицы продукции вида j,

c_j – цена единицы продукции вида j.

∆4 = а₁₄∙у₁+ а₂₄ ∙у₂+ а₃₄∙у₃ – с₄ = 4,5 + 3∙0 + 2∙2,5 – 13  = 9 – 13 = -4

∆4 > 0 –  изделие вида Г выгодно включать в план производства

• Включаем в план  выпуска изделие вида Д.

С₅ = 12 ден. ед.

а₁₅=2, а₂₅=2, а₃₅=2.

У = (4,5; 0; 2,5)

Используем  следующую формулу:

∆j= ∑а_ij∙y_i – c_j, (j =1,n), где

∑ а_ij∙y_i – это объективно обусловленные затраты на ресурсы, при выпуске единицы продукции вида j,

c_j – цена единицы продукции вида j.

∆5=а₁₅∙у₁ + а₂₅∙у₂ + а₃₅∙у₃ – с₅ = 2∙4,5 + 2∙0 + 2∙2,5 – 13 = 14 – 13 = 1

∆5 > 0 –  изделие вида Д не выгодно включать в план производства, т.к. затраты больше цены изделия. (Приложение 3).

   

 

 

 

 

 

 

 

 Задача № 3

 

В течение  девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.

T	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	30	28	33	37	40	42	44	49	47

 

Требуется:

1. Проверить  наличие аномальных наблюдений.