Контрольная работа по "Экономическо-математическому моделированию"

 

• Случайность остаточной компоненты по критерию пиков.

Для проверки условия случайности  возникновении отдельных отклонений от тренда используется критерий, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним члена. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны.

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить, как

где р - фактическое количество поворотных точек в случайном ряду;

1,96 — квантиль нормального распределения  для 5%-го уровня значимости;

квадратные скобки означают, что  от результата вычисления следует взять  целую часть.

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), и, стало быть, модель не является адекватной.

Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает положительный  результат: р = 4 больше 2 (критическое число поворотных точек, рассчитанное по формуле).

• Независимость уровней ряда остатков по d-критерию (d₁ = 1,08, d₂ = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36.

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста  проще всего проверить с помощью  критерия Дарбина — Уотсона. С этой целью строится статистика Дарбина— Уотсона (d -статистика), в основе которой лежит расчетная формула:

Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

При отсутствии автокорреляции значение d примерно равно 2, а при полной автокорреляции - 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d₂) и нижние (d₁) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. При сравнении расчётного значения d -статистики с табличным могут возникнуть такие ситуации: d₂ < d < 2 — ряд остатков не коррелирован; d < d₁ — остатки содержат автокорреляцию; d₁ < < d < d₂— область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Если d превышает 2, то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. Перед входом в таблицу такие значения следует преобразовать по формуле d'= 4 - d.

В нашем случае d = 2,29 > 2, значит находим d' = 4 – 2,29 = 1,71. Следовательно, ряд остатков не коррелирован.

Воспользуемся первым коэффициентом  автокорреляции, который вычислим по формуле:

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляется с табличным r(1) = 0,36. Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда же фактическое значение больше табличного, делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

Так как |r₁| < r(1) (0,32 < 0,36), то свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.

• Нормальность распределения остаточной компоненты по R/S – критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7.

Соответствие ряда остатков нормальному  закону распределения проверим с  помощью R/S -критерия:

где Е_mах и E_min - максимальный и минимальный уровни ряда остатков соответственно;

Е_mах=2,21, E_min=-2,99

- среднеквадратическое отклонение.

Если расчётное значение попадает между табулированными границами, то гипотеза о нормальном распределении  ряда остатков принимается. В этом случае допустимо строить доверительный  интервал прогноза.

Так как 2,7<2,95<3,7; то свойство нормальности выполняется.

Итак, все четыре пункта проверки 1-4 дают положительный результат, делается вывод о том, что выбранная  трендовая модель является адекватной реальному ряду экономической динамики. В этом случае её можно использовать для построения прогнозных оценок.

Проверим адекватность построенной  адаптивной модели Брауна с коэффициентом  α = 0,4: .

Составим  таблицу расчётов.

 Таблица  № 7

t	Yt	Yp(t)	Et	точки поворота	Et2	Et-Et-1	(Et-Et-1)2	Et*Et-1	|Et/Yt|*100
1	30	27,80	2,20	-	4,84	-	-	-	7,33
2	28	32,46	-4,46	1	19,89	-6,66	44,36	-9,81	15,93
3	33	32,14	0,86	0	0,73	5,32	28,26	-3,82	2,59
4	37	35,37	1,63	1	2,67	0,78	0,60	1,40	4,41
5	40	39,35	0,65	0	0,42	-0,98	0,96	1,06	1,63
6	42	42,81	-0,81	0	0,65	-1,46	2,12	-0,53	1,92
7	44	45,20	-1,20	1	1,44	-0,40	0,16	0,97	2,73
8	49	47,15	1,85	1	3,41	3,05	9,30	-2,22	3,77
9	47	51,35	-4,35	-	18,92	-6,20	38,41	-8,04	9,26
сумма	350	353,63	-3,63	4	52,99	-	124,18	-20,98	49,57

 

Оценка качества на основе остаточной компоненты E(t) дало следующие результаты:

Р = 4, значит неравенство р > 2 выполняется. Свойство случайности выполняется.

- независимость выполнена.

.

Так как R/S не принадлежит интервалу (2,7-3,7), значит, свойство нормальности не выполняется.

5. Оценка точности линейной модели.

Вычислим среднюю относительную  ошибку аппроксимации:

.

Так как  Е_отн. = 3,78 < 15, ошибку можно считать приемлемой.

Проверим  адаптивную модель Брауна на точность:

. Точностные характеристики приемлемые.

6. Построим точечный и интервальный  прогнозы на два шага вперед.

Линейная  модель

При прогнозировании  на два шага имеем

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие  границы:

Верхняя граница прогноза:

Нижняя  граница прогноза:

Результат прогноза представим в таблице.

 

                                                                                                Таблица № 8

время t	шаг k	точечный  прогноз	интервальный  прогноз
			нижняя граница	верхняя граница
10	1	52,06	49,61	54,50
11	2	54,69	52,10	57,28

 

Адаптивная модель Брауна при α = 0,4:   

Прогнозные  оценки получаются путем подстановки  значений k = 1, k = 2.

Результат прогноза представим в таблице.

 

 

 

 

 

 

Таблица № 9

время t	шаг k	точечный прогноз	интервальный прогноз
			нижняя граница	верхняя граница
10	1	50,89	47,32	54,46
11	2	53,20	49,42	56,98

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования  представим графически (Приложение 4).

 

 

¹ 3 (ден. ед./ц) *30 (ц/га)* Х₁ (га) + 6(ден. ед./ц*60(ц/га)* Х₂ (га) = 90х₁ + 360х₂