Контрольная работа по "Экономическо-математическому моделированию"

2. Построить  линейную модель Ŷ(t)=а₀+а₁t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t)) – расчётные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить  адаптивную модель Брауна Ŷ(t) = a₀+a₁k с параметром сглаживания   α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

4. Оценить  адекватность построенных моделей,  используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании  R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

5. Оценить  точность моделей на основе  использования средней относительной  ошибки аппроксимации.

6. По двум  построенным моделям осуществить  прогноз спроса на следующие  две недели (доверительный интервал  прогноза рассчитать при доверительной  вероятности p = 70%).

7. Фактическое  значение показателя, результаты  моделирования и прогнозирования  представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычисления представить в таблицах (при использовании компьютера представить  соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1. Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

.

Расчётные значения и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение    уровня ряда считается аномальным.

Необходимые расчёты произведем в таблице № 1.

                                                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                          Таблица № 1

 

t	yt	yt -	(yt - )2	|yt - yt-1|
1	30	-8,89	79,01
2	28	-10,89	118,57	2	0,27
3	33	-5,89	34,68	5	0,67
4	37	-1,89	3,57	4	0,54
5	40	1,11	1,23	3	0,40
6	42	3,11	9,68	2	0,27
7	44	5,11	26,12	2	0,27
8	49	10,11	102,23	5	0,67
9	47	8,11	65,79	2	0,27
сумма	350	0,00	440,89	-	-

.

Значение  критерия Ирвина для уровня значимости , т.е. с 5%-ной ошибкой, при равно . Так как все расчётные значения и т.д. меньше табличного значения, то аномальных уровней в данном временном ряду нет.

2. Построим  линейную модель  , параметры которой оценим МНК.

В таблице  № 2 приведём промежуточные вычисления и результаты использования линейной модели.

 

 

 

Таблица № 2

 

t		Yt	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(t-tср)(Y-Yср)	Yp(t)
1		30	-4	16	-8,89	35,56	28,36
2		28	-3	9	-10,89	32,67	30,99
3		33	-2	4	-5,89	11,78	33,62
4		37	-1	1	-1,89	1,89	36,26
5		40	0	0	1,11	0,00	38,89
6		42	1	1	3,11	3,11	41,52
7		44	2	4	5,11	10,22	44,16
8		49	3	9	10,11	30,33	46,79
9		47	4	16	8,11	32,44	49,42
сумма	45	350	0	60	0	158	350

 

Таким образом, линейная модель имеет вид:

Последовательно подставляя в модель значение фактора  t от 1 до 9, находим расчётные значения уровней.

3. Построим  адаптивную модель Брауна  с параметрами сглаживания α = 0,4 и α = 0,7, выберем лучшее значение α.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи метода наименьших квадратов.

 

Таблица № 3

t		Yt	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(t-tср)(Y-Yср)
1		30	-2	4	-3,6	7,2
2		28	-1	1	-5,6	5,6
3		33	0	0	-0,6	0
4		37	1	1	3,4	3,4
5		40	2	4	6,4	12,8
сумма	15	168	-	10	0	29

 

Остальные вычисления производим по формулам:

Вычисления  отразим в таблице № 4.

При α = 0,4, β = 1-0,4 = 0,6

1-β² = 1-0,6² = 1-0,36 = 0,64

(1-β)² = (1-0,6)² = 0,4² = 0,16

 

 

 

 

Таблица № 4

 

t	Y(t)	a0	a1	Yp(t)	E(t)
0		24,90	2,90
1	30	29,21	3,25	27,80	2,20
2	28	29,61	2,54	32,46	-4,46
3	33	32,69	2,68	32,14	0,86
4	37	36,41	2,94	35,37	1,63
5	40	39,77	3,04	39,35	0,65
6	42	42,29	2,91	42,81	-0,81
7	44	44,43	2,72	45,20	-1,20
8	49	48,33	3,02	47,15	1,85
9	47	48,57	2,32	51,35	-4,35

 

 

 

 

Таким образом, на последнем шаге получена модель:

Составим  модель при α = 0,7, β = 1-0,7 = 0,3

1-β² = 1-0,3² = 1-0,09 = 0,91

(1-β)² = (1-0,3)² = 0,7² = 0,49

Получим следующую таблицу:

 

 

 

 

 

 

 

Таблица № 5

t	Y(t)	a0	a1	Yp(t)	E(t)
0		24,90	2,90
1	30	29,80	3,98	27,80	2,20
2	28	28,52	1,15	33,78	-5,78
3	33	32,70	2,78	29,67	3,33
4	37	36,86	3,52	35,48	1,52
5	40	40,03	3,33	40,39	-0,39
6	42	42,12	2,66	43,37	-1,37
7	44	44,07	2,28	44,79	-0,79
8	49	48,76	3,58	46,35	2,65
9	47	47,48	0,96	52,34	-5,34

 

В результате получим модель .

При α = 0,4 модель Брауна лучше, так как расчётные  значения ближе к табличным, чем при α = 0,7.

4. Оценим  адекватность построенной линейной  модели. Результаты исследования  отразим в таблице №6.

Линейная  модель

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                               Таблица № 6

t	Yt	Yp(t)	Et	точки поворота	Et2	Et-Et-1	(Et-Et-1)2	Et*Et-1	|Et/Yt|*100
1	30	28,36	1,64	-	2,70				5,48
2	28	30,99	-2,99	1	8,93	-4,63	21,47	-4,92	10,67
3	33	33,62	-0,62	0	0,39	2,37	5,60	1,86	1,89
4	37	36,26	0,74	0	0,55	1,37	1,87	-0,46	2,01
5	40	38,89	1,11	1	1,23	0,37	0,13	0,83	2,78
6	42	41,52	0,48	0	0,23	-0,63	0,40	0,53	1,14
7	44	44,16	-0,16	1	0,02	-0,63	0,40	-0,07	0,35
8	49	46,79	2,21	1	4,89	2,37	5,60	-0,34	4,51
9	47	49,42	-2,42	-	5,87	-4,63	21,47	-5,36	5,15
сумма	350	350	0,00	4	24,82	-	56,94	-7,93	33,99