Контрольная работа по "Экономико-математические методы и пркладные модели"

27

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ

ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Контрольная работа №1

по дисциплине

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ

Выполнила: Тарасова Маргарита

Владимировна, курс III

Факультет: учетно-статистический

Специальность: Бухгалтерский учет,

анализ и  аудит, группа № 308

личное дело № 09УББ02589

Проверила: Гусарова

Ольга Михайловна

Смоленск

2011 г.

              1.9. При производстве двух видов продукции используется четыре вида ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в Таблице 1.

Таблица 1.

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Экономико-математическая модель задачи об использовании ресурсов в общем виде:

а11 х1 + а12 х2 « b1

а21 х1 + а22 х2 « b2

а31 х1 + а32 х2 « b3

а41 х1 + а42 х2 « b4

F ( х ) = C1 х1 + C2 х2 → мах

Обозначим через:

х1 – объем выпуска продукции первого вида;

х2 – объем выпуска продукции второго вида.

Составим ограничения по ресурсам:

    2х1 + 2х2 « 12                                                        (1)

    1х1 + 2х2 « 8                                                        (2)

    4х1           « 16                                                        (3)

              4х2 « 12                                                        (4)

На переменные х накладывается дополнительное ограничение:

х1, 2х2 » 0                                                                      (5), (6)

              Целевая функция задачи:

F ( х ) = 2х1 + 3х2 → мах

              Для формирования данной задачи в общем виде введем следующие обозначения:

хj – объем выпуска продукции j вида;

bi – запас i ресурса;

aij – норма расхода i ресурса для  производства единицы продукции j вида.

F ( х ) – суммарная прибыль от реализации всех видов продукции.

Найдем решение первого неравенства:

(1)                                                                      2х1 + 2х2 « 12

Для этого построим прямую:

2х1 + 2х2 = 12

Контрольные точки:

При х1 = 0                                                                                                                               При х2 =0

2х2 = 12                                                                                                                               2х1 = 12

х2 = 6                                                                                                                               х1 = 6

(0; 6)                                                                                                                                             (6; 0)

(Рисунок находится в Приложении 1)

на рисунке видно, что данная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. Для определения искомой полуплоскости я подставлю в исходное неравенство координаты контрольной точки, лежащей на одной из полуплоскостей. Выберу в качестве контрольной точки точку О (0; 0), то есть точку начала координат и подставлю ее в исходное неравенство.

2х1 + 2х2 « 12

2*0 + 2*0 « 12

0 < 12 – истинное выражение

Следовательно, решением первого неравенства является та полуплоскость, в которой лежит начало координат.

Найдем решения всех остальных неравенств по тому же алгоритму решения:

(2)                                                                       1х1 + 2х2 « 8

1х1 + 2х2 = 8

Контрольные точки:

При х1 = 0                                                                                                                               При х2 =0

2х2 = 8                                                                                                                               х1 = 8

х2 = 4                                                                                                                                

(0; 4)                                                                                                                                             (8; 0)

Выберу в качестве контрольной точки точку О (0; 0).

1х1 + 2х2 « 8

1*0 + 2*0 « 8

0 < 8 – истинное выражение

Следовательно, решением второго неравенства является также та полуплоскость, в которой лежит начало координат.

(3)                                                                      4х1 « 16

4х1 = 16

х1 = 4

Выберу в качестве контрольной точки точку О (0; 0).

4*0 « 16

0 < 16 – истинное выражение

Следовательно, решением третьего неравенства является также та полуплоскость, в которой лежит начало координат.

(4)                                                                      4х2 « 12

4х2 = 12

  х2 = 3

Выберу в качестве контрольной точки точку О (0; 0).

4*0 « 12

0 < 12 – истинное выражение

Следовательно, решением четвертого неравенства является также та полуплоскость, в которой лежит начало координат.

(5), (6) ограничения, указывают на то, что х1 и х2 не отрицательны.

ОАВСD – является областью допустимых решений (см. рисунок).

Для нахождения точки ОДР, которая обеспечивает максимальное значение целевой функции необходимо ввести линию уровня.

F = C1 х1 = С2 х2 = а – уравнение линии уровня

Где а – некоторое значение удобное для проведения расчетов.

Рассмотрим линию уровня:

F = 2х1 + 3х2 = 6

Контрольные точки:

При х1 = 0                                                                                                                 При х2 =0

2*0 + 3х2 = 6                                                                                                   2х1 + 3*0 = 6

х2 = 2                                                                                                                 х1 = 3

(0; 2)                                                                                                                               (3; 0)

Для определения направления возрастания целевой функции необходимо построить вектор, выходящий из точки (0; 0) и входящий в точку, координаты которой определяются коэффициентами при переменных х из выражения целевой функции (2; 3). (См. рисунок)

Передвигая линию уровня в направлении, указанным данным вектором таким образом, чтобы линия уровня, прошла через каждую вершину ОДР. Вершина ОДР, которая обеспечит самое верхнее положение линии уровня и будет той точкой, в которой достигается максимальное значение целевой функции задачи.

Точка С (4; 2) определяет самое высокое положение линии уровня, следовательно и обеспечивает максимальное значение целевой функции:

С (4; 2) → Fmax = 2*4 + 3*2 = 14

Точка О (0; 0) определяет самое низкое положение линии ровня, при котором значение целевой функции будет равно 0.

О (0; 0) → Fmin = 2*0 + 3*0 = 0

Ответ: объем выпуска первой продукции 4 у.е. и объем выпуска 2 у.е обеспечит максимальную прибыль предприятию в размере 14 у.е.

2.9. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены Таблице 2.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максиму выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

5. Определить, как изменится выручка при увеличении запасов сырья I вида на 100 единиц и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида.

6. Определить, как изменится план выпуска продукции  при указанных изменениях ресурсов.

7. Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

Решение:

1)     Сформулируем ЭММ прямой оптимизационной задачи.

Обозначим через:

х1 – объем выпуска изделия А;

х2 – объем выпуска изделия Б;

х3 – объем выпуска изделия В;

х4 – объем выпуска изделия Г.

Составим функциональные ограничения прямой задачи (ограничения по ресурсам):

2х1 + 1х2 + 0,5х3 + 4х4 « 2 400

1х1 + 5х2 +   3х3 +   0  « 1 200

3х1 +   0  +   6х3 +  1х4 « 3 000

Прямое ограничение задачи: х1, х2, х3, х4 » 0

Целевая функция прямой задачи:

F ( х ) = 7,5х1 + 3х2 + 6х3 + 12х4 → мах

Найдем значение переменных в программе Excel:

х (0; 0; 400; 550)                    х1 = 0, х2 = 0, х3 = 400, х4 = 550

2) Сформулируем экономико-математическую модель для двойственной задачи линейного программирования (далее ДЗЛП), обозначим через:

у1 – двойственную оценку ресурса «Труд»;

у2 – двойственную оценку ресурса «Сырье»;

у3 – двойственную оценку ресурса «Оборудование».

Составим функциональные ограничения ДЗЛП:

2у1    + 1у2 + 3у3 » 7,5

1у1    + 5у2 +  0   » 3

0,5у1 + 3у2 + 6у3 » 6

4у1    + 0   + 1у3 » 12

              Прямое ограничение ДЗЛП:     у1, у2, у3 » 0

              Целевая функция ДЗ (суммарные затраты на ресурсы):

  G ( Y ) = 2 400y1 + 1 200y2 + 3 000y3 → мin

Для того, чтобы найти значение переменных у необходимо выполнить анализ использования ресурсов в производственной программе:

4) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане, для этого в функциональные ограничения исходной задачи подставим значения переменных х.