Контрольная работа по "Экономико-математические методы и пркладные модели"

2*0 + 1*0 + 0,5*400 + 4*550 « 2 400

1*0 + 5*0 +    3*400 +    0      « 1 200

3*0 +   0   +    6*400 + 1*550 « 3 000

2 400 = 2 400

1 200 = 1 200

2 950 < 3 000

2 400 = 2 400         у1 > 0,                                                        1 200 = 1 200         у2 > 0

Первый и второй ресурсы производственной программы используются полностью, являются дефицитными и их двойственная оценка положительна.

2 950 < 3 000         у3 > 0

Третий ресурс производственной программы используется не полностью, его двойственная оценка равна 0.

Продолжение пункта 2)

Найдем значения переменных у.

В первом пункте задачи было получено, что х1 и х2 = 0 – это означает, что изделия А и Б не вошли в производственную программу. Следовательно, первое и второе ограничения из системы функциональных ограничений (ДЗЛП) можно из рассмотрения исключить.

В первом пункте задачи было получено, что х3 и х4 отличны от 0, следовательно изделия В и Г в двойственных оценках не избыточны, и следовательно третье и четвертое неравенство из системы функциональных ограничений ДЗЛП можно записать в виде уравнений.

   0,5у1 + 3у2 + 6у3 = 6

   4у1    +  0   + 1у3 = 12

С учетом того, что у3 = 0 имеем

   0,5у1 + 3у2 = 6

   4у1    +  0   = 12

   0,5у1 + 3у2 = 6

   у1 = 12/4

   у2 = (6 – 1,5)/3

   у1 = 3

   у1 = 3

   у2 = 1,5

  у3 = 0

у (3; 1,5; 0)

Для проверки правильности нахождения переменных у найдем значения целевых функций, исходной и двойной задач.

  F ( х ) = 7,5*0 + 3*0 + 6*400 + 12*550 = 9 000

G ( Y ) = 2 400*3 + 1 200*1,5 + 3 000*0 = 9 000

F ( х ) = G ( Y ) = 9 000, следовательно производственная программа является оптимальной и значения переменных у определены верно.

3) Анализ нулевых значений переменных производственного плана.

Анализ нулевого значения переменной у2 выполнен в четвертом пункте.

В первом пункте задачи получено, что х1 и х2 = 0, это означает, что изделия А и Б не вошли в производственную программу, следовательно изделия А и Б в двойственных оценках убыточны , то есть для изделий А и Б затраты на ресурсы превосходят планируемую доходность изделия. Для проверки данного утверждения представим  в I и II ограничения ДЗЛП значения у, получим:

Изделия А:       2у1 + 1у2 + 3у3 » 7,5

              2*3 + 1*1,5 + 3*0 » 7,5

              7,5 = 7,5

Для изделия А затраты на ресурсы равны планируемой доходности, следование изделие А не целесообразно включать в производственную программу.

Изделие Б:        1*3 + 5*1,5 + 0 » 3

                           10,5 » 3

Вывод: Для изделия Б затраты на ресурсы вообще превосходят планируемую доходность, следовательно изделие Б не целесообразно включить в производственную программу.

5) Определим, как изменится выручка предприятия при увеличении запасов сырья I на 100 единиц (∆b1 = 100) и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида (∆b2 = -150):

  ∆Fj ( х ) = yj * ∆bj

∆b1 = 100                                                                                                   ∆b2 = -150

∆F1 ( х ) = y1 * ∆b1                                                                      ∆F2 ( х ) = y2 * ∆b2

∆F1 ( х ) = 3 * 100 = 300                                                        ∆F2 ( х ) = 1,5 * (-150) = -225

Суммарная ∆F ( х ) =  ∆F1 ( х ) + ∆F2 ( х ) = 300 – 225 = 75

Вывод: Увеличение запасов I ресурса на 100 единиц и уменьшение запаса II ресурса на 150 единиц приведут на увеличение прибыли на 75 условных денежных единиц.

6) Определить, как изменится план выпуска продукции при указанных изменениях ресурсов.

              В четвертом пункте задачи было установлено, что I и II ресурсы используются в производственной программе полностью. На основании этого I и II неравенства из системы функциональных ограничений ИЗЛП можно записать в виде уравнений:

2х1 + 1х2 + 0,5х3 + 4х4 « 2 400

1х1 + 5х2 +   3х3 +    0  « 1 200

С учетом того, что х1 и х2 = 0, получим:

0,5х3 + 4х4 = 2 400

3х3  +   0   = 1 200

После изменение запасов ресурсов будем иметь:

0,5х3 + 4х4 = 2 400 + 100

3х3  +   0   = 1 200 – 150

Решая данную систему, получим план выпуска продукции:

0,5х3 + 4х4 = 2 500

    х3  +  0   = 1 050 ÷ 3

х4 = (2 500 – 175) ÷ 4

х3 = 350

х3 = 350

х4 = 581,2

Новый план выпуска х (0; 0; 350; 581,2)

Первоначальный план выпуска х (0; 0; 400; 550)

              Найдем изменение производственного плана:

∆х3 = 350 – 400 = - 50 (объем выпуска изделия В)

∆х4 = 581,2 – 550 = 31,2  (объем выпуска изделия Г)

Вывод: При увеличении запасов III ресурса на 100 единиц и сокращении запасов IV ресурса на 150 единиц план выпуска изделия В снизился на 50 единиц, а план выпуска изделия Г увеличился на 31 единицу.

Проведем следующую проверку:

Для изделия В: - 50 * 6 = - 300

Для изделия Г: 31 * 12 = 375

где 6 и 12 – доходность изделий В и Г соответственно.

375 – 300 = 75

7) Для определения целесообразности включения в план одного дополнительного изделия Д, составим по нему ограничения двойственной задачи:                                                                                                                                             Таблица 3.

2у1 + 4у2 + 3у3 (?) 10

2*3 + 4*1,5 + 3*0 (?) 10

12 > 10

Вывод: Затраты на ресурсы для изделия Д превосходят планируемую доходность, следовательно изделие Д не целесообразно включать в производственную программу.

3.9 Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию 3х видов, при этом каждое из 3х предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – на продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется  предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аji (i= 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1.      Проверить продуктивность технологической матрицы А = (аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2.      Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятия холдинга.

Решение:                                                                                                                               Таблица 1

1. Построим продуктивность технологической матрицы А = (аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

Запишем технологическую матрицу (А) и матрицу конечной продукции (Y) для трехотраслевой математической системы:

              0,4     0,2    0,3                                          180

А=              0,2     0,1    0,0                            Y=              200

              0,2     0,1    0,0                                          160

Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат В=(Е – А)-1

1)     В программе Excel запишем матрицу А.

2)     Вычислим разницу между единичной матрицей Е и матрицей А и также внесем значения в таблицу Excel.

              1     0    0                                          0,4     0,2    0,3                                            0,6     -0,2     -0,3

Е =              0     1    0       –   ­­­­А =              0,2     0,1    0,0              =    (Е – А)= -0,2     0,9      0,0

              0     0    1                                          0,2     0,1    0,0                                             -0,2    -0,9      1

3) Далее осуществляя расчеты в программе Excel:

В ячейки В6:D8 запишем элементы матрицы Е – А. Массив Е – А задан, как диапазон ячеек. Выделим диапазон В10:D12 для размещения обратной матрицы В=(Е – А)-1 и введем формулу для вычислений МОБР (В6:D8). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Вывод: Как мы видим все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В не отрицательны, из этого следует, что матрица А продуктивна.

2. Вычислим вектор валового выпуска Х по формуле  Х = ВY:

Далее осуществляя расчеты в программе Excel:

В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон В15:В17 для размещения вектора валового продукта Х, вычисляемого по формуле Х = (Е – А)-1Y. Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (В10:D12, G10:G12). Далее следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

3. Межотраслевые поставки хij вычислим по формуле хij = аijХj

              а11Х1     а21Х2     а31Х3                                          0,4*570,9   0,2*349,1  0,3*309,1

Х’ =               а12Х1     а22Х2     а32Х3                            Х’ =               0,2*570,9   0,1*349,1  0,0*309,1

              а13Х1     а23Х2     а33Х3                                          0,2*570,9   0,1*349,1  0,0*309,1

              228,4     69,8     92,7

Х’ =               114,2     34,9      0,0

              114,2     34,9      0,0