a – коэффициент прямых затрат – доля промежуточного продукта в валовом общественном продукте.

     В принятых обозначениях односекторная модель Солоу запишется в следующем виде:

     

Ход выполнения задания 2.

     1. Выполним решение дифференциального уравнения в модели Солоу изменяя параметры и таким образом, чтобы определить  увеличение основных фондов, снижение или стационарный режим работы предприятия.  Выполним графическое представление полученных решений.

    В качестве начальных значений примем  

    Решим дифференциальное уравнение используя программу Mathcad: 

     Рисунок 12 - Динамика основных производственных фондов при  

    По  графику видим, что при постоянной  величине коэффициента накопления и при всех значениях доли выбытия основных производственных фондов происходит снижение основных производственных фондов.

     Рисунок 13 - Динамика основных производственных фондов при  

    На  данном графике видно, в большинстве  значений доли выбытия ОПФ при происходит снижение ОПФ, кроме , где идет их увеличение, и , где режим работы предприятия близок к стационарному.

Рисунок 12 - Динамика основных производственных фондов при

    При во всех случаях наблюдает рост ОПФ даже при ситуации, когда их выбытие составляет 40%. Для большей наглядности данные наблюдений сведены в таблицу: 

Таблица 6– Динамика основных производственных фондов  предприятия

 

    По  данной таблице и графикам можно  сделать след выводы:

    - чем выше темп выбытия ОПФ,  тем меньше должна быть норма  накопления, чтобы был рост ОПФ

    - чем больше разница между  и тем интенсивнее рост или снижение ОПФ

    - для данной модели, чтобы хотя  бы иметь стационарный режим  работы при темпах убытия ОПФ  в 40%, необходимо отчислять в  валовые инвестиции хотя бы 3% от валового продукта.

     2. Построим зависимость изменения  числа занятых в производстве  людей от времени:

     

     где -  начальная численность занятых в производстве людей ();

             t – время, в течение которого изучается динамика числа занятых в производстве;

            - средний темп прироста числа занятых в производстве людей.

       Средний темп прироста числа  занятых в производстве людей  определяется по формуле: 
 

     Получим следующее уравнение, отражающее зависимость  числа занятых в производстве людей от времени: 

    Построим  полученную зависимость

 

     Рисунок 12 - Зависимость изменения числа занятых людей в производстве от времени

     Исходя  из графика можем сделать вывод, что в рассматриваемый промежуток времени имеет место тенденция увеличения числа занятых в производстве людей.

 

Модель  малого предприятия, привлекающего единовременный кредитный ресурс при условии равномерного погашения долга.

     В момент времени  малому предприятию предоставляется кредит в размере . Рассчитать возможность получения и погашения кредита. По кредиту начисляются сложные проценты,  которые определяются по экспоненциальной зависимости

     При разработке модели малого предприятия используются следующие  гипотезы.

     Считается, что малое  предприятие может развиваться  за счет внутренних источников (прибыли) и внешней финансовой поддержки. Основные производственные фонды - это  фактор, определяющий выпуск продукции. Малое предприятие функционирует  при неизменной технологии, что предполагает постоянство его фондоотдачи.

     С учетом сделанных  предпосылок темпы развития предприятия  определяются динамикой основных производственных фондов.

     Зависимости между  основными переменными модели малого предприятия представлены следующей  системой  уравнений:

     

     где  P(t) – выпуск продукции в момент времени t в стоимостном выражении;

              f - показатель фондоотдачи;

            A(t) – стоимость основных производственных фондов;

             c – удельная себестоимость выпуска продукции в стоимостном выражении;

             - общая прибыль малого предприятия;

            – чистая прибыль малого предприятия за вычетом налоговых отчислений;

            N(t) – сумма налоговых отчислений;

            - ставки налогообложения на объём выпуска и прибыль соответственно;

            - доля чистой  прибыли, отчисляемой на реинвестирование;

             - коэффициент, отражающий долю реинвестируемых средств прибыли, не имеющих льгот по налогообложению (не все реинвестируемые средства освобождаются от налогов), и оцениваемый статистическим путем;

             I(t) – внешние инвестиции, полученные малым предприятием на безвозмездной основе.

     Исследуем динамику малого предприятия, функционирующего в условиях, описанных гипотезами рассмотренной модели, но без государственной  поддержки: . Рассмотрим ситуацию единовременного кредитования малого предприятия, осуществляющего равномерное погашение долга с учетом начисленных процентов, что сказывается  на его показателях прибыли и себестоимости.

     Важным вопросом является исследование условий доступности  кредита для малого предприятия.

     Анализ модели свидетельствует, что для обеспечения роста  малого предприятия должны быть выполнены  два условия:

    1) необходимое (размер процентов не должен превышать общей прибыли):

    

;

    2) достаточное (размер чистой прибыли должен превышать долговые обязательства):

    

 или  при

    В том случае, если эти условия не выполняются, малому предприятию не целесообразно брать кредит –  он недоступен.

    Для характеристики доступности кредита  могут быть использованы также другие соотношения и показатели.

    Так, в экономических исследованиях  величина доступности кредита обычно оценивается индикатором  , который вычисляется как отношение долгового обязательства к величине :

     .                         (16)

    Если  , кредит в момент t является доступным; если или - соответственно недоступным. Чем величина меньше, тем кредит более доступен для малого предприятия. Соотношение параметров, входящих в и и обеспечивающих доступность кредитов для малого предприятия, в данном случае будет выглядеть так:

                              .                      (17)

    При фиксированной сумме кредита  его доступность в каждый момент времени t зависит от динамики основных фондов системы ( то есть от тех параметров, которые определяют эту динамику): при достаточно быстром росте основных фондов обеспечивается выполнение условия .

    Ход выполнения задания 3

    Считаем, что предоставление единовременного  кредита в момент времени  в размере отражается в модели путем увеличения стоимости начальных основных производственных фондов на сумму кредита . По кредиту начисляются сложные проценты, непрерывным аналогом которых является функция . Таким образом, размер долгового обязательства , погашаемого к моменту времени t, составляет величину: 

Таблица 7 – Результат  вычислений размера долговых обязательств

 

     Так как кредит, выданный на период , погашается равномерно, то величина выплачиваемой в каждый момент времени t суммы долговых обязательств является постоянной  и рассчитывается  как сумма двух слагаемых (часть основного долга) и (процент, выплачиваемый в период t).  Тогда часть основного долга в момент времени t равна:

     

,

    проценты, выплачиваемые по кредиту составят:

    0.176 

    Таким образом, величина выплачиваемой в  каждый момент t суммы долговых обязательств составит:

    

.

    Рассчитаем  показатели , зависящие от внутреннего экономического механизма малого предприятия. Используя Mathcad проведем расчеты.

    

    

    Рассмотрим  динамику основных производственных фондов в зависимости от временного фактора  и удельной себестоимости при  фиксированных значениях ставки налогообложения на объем выпуска.

    

     Рисунок 13 – Динамика основных производственных фондов 

    Таким образом, основные производственные фонды  растут в зависимости от времени  и при различных значениях  удельной себестоимости. Определим динамику выпускаемой продукции.

    

    

    Рисунок 13 – Динамика выпуска продукции 

    Выпуск  продукции растет на данном промежутке времени. Чем ниже удельная себестоимость  выпуска продукции, тем выше скорость роста выпуска продукции.

    Для определения возможности получения  кредита рассмотрим два условия:

    Необходимое условие - размер процента не должен превышать  общей прибыли

    

    

Рисунок 14 – Графическое представление необходимого условия доступности кредита