Метод продолжения по параметру в задачах идентификации экономических моделей

а относительной капиталоемкостью –

K=

Эластичность  замещения труда  фондами есть σ =.

     Известно, что если 0<σ <1, то с ростом средней фондовооруженности k наблюдается падение в пределе до нуля эластичности выпуска по фондам (и, соответственно, рост эластичности выпуска по труду= 1- в пределе до единицы). С уменьшением σ кривая (E_K,k) имеет все более крутой сопрягающий участок, вплоть до вертикального при σ = 0. При σ = 1 = const, а случай σ > 1 характеризуется ростом с ростом k.

     Зависимость эластичности выпуска по труду  EL от средней трудообеспеченности фондов l описывается аналогичным образом.

Справедливо соотношение:

                              .

Поэтому, если σ = const, то график зависимости (lnK,lnk) представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом равным ρ=1 /σ-1.

Аналогично, при σ = const прямой линией является и график

(lnk,lnS), где S - предельная норма замещения. 
 

     1.3. Производственная  функция с постоянной эластичностью замещения.

     На  практике часто используют ПФ, принадлежащие  к классу CES-функций (constant elasticity of substitution), т.е. ПФ с постоянной эластичностью замещения ПЭЗ.

                             Y=                                 (1.3)

A>0, 0≤b≤1, ρ €[-1,0) u(0,+∞), >0

     Эластичность  замещения функции (1.3) постоянна  и равна σ = 1/(1+ρ).

Положив в (1.3) Y = const, получим выражение для изокванты CES-функции   =

     Легко показать, что изокванты ПФ (1.3) являются монотонно убывающими выпуклыми функциями. Чем вышеρ(т.е. чем ниже σ), тем больше кривизна сопрягающего участка . Если σ > 1, то имеется возможность полного замещения одного фактора производства другим при сохранении выпуска неизменным, что противоречит предположению о невозможности производства при отсутствии хотя бы одного ресурса. Если σ ≤1, то возможности полного замещения одного фактора другим не существует.

Представляет  также интерес анализ изоквант и  в координатах ()

Из (1.3) для эластичности выпуска по фондам получаем

                                                                                             (1.4)

     Таким образом, для CES-функции эластичность выпуска по фондам (как и эластичность выпуска по труду ) является функцией средней фондовооруженности k, причем - монотонной функцией. Вместе с тем не всякая монотонная зависимость (,k) может быть описана производственной функцией, обладающей традиционным набором свойств. Так, невозможен рост с ростом k быстрее, чем имеющий место для линейной ПФ, у которой σ = ∞, поскольку это означало бы, что эластичность замещения σ < 0 и нарушается требование неположительности вторых частных производных ПФ, вытекающее из закона убывающей отдачи.

Из (1.4) и из уравнения Эйлера + =γ получаем

                                         k=                                                    (1.5)

т.е. для CES-функции k связано с k степенной зависимостью, откуда

                                          lnk=ln(1-b)/b+ρln k                                             (1.6)

т.е. график (lnk,lnk) для CES-функции представляет прямую линию.

Накладыванием дополнительных ограничений на величину эластичности замещения σ можно получить некоторые частные виды CES-функции .

     Если  в (1.3) величину ρ устремить к нулю, то в пределе (по правилу Лопиталя) получим функцию Кобба-Дугласа

                                       Y = A                                                  (1.7)

Ей соответствует  значение σ = 1. Нетрудно убедиться, что в (1.7) показатели степени bγ и (1-b)γ равны эластичностям выпуска по факторам. Таким образом, в этом случае и постоянны (не зависят от k).

Если  в (1.3) величину ρ устремить к бесконечности, то в пределе получим производственную функцию с фиксированными пропорциями (функцию Леонтьева):

                                            Y = Amin

которую чаще записывают в виде

                                        Y=Amin. (1.8)

ПФ Леонтьева (1.8) не является дифференцируемой в  точке K = и L = . Ей соответствует значение σ = 0. В этом случае факторы производства обладают свойством дополняемости (в отличие от свойства замещаемости при σ > 0;, согласно которому между ними имеются определенные пропорции, при отклонении от которых избыток фактора не вносит вклада в выпуск.

Если  в (1.3) величину ρ положить равной -1, получим производственную функцию с линейными изоквантами:

                                     ,                                     (1.9)

которую даже при γ ≠ 1 часто называют просто линейной. Ей соответствуетзначение σ=+∞, что свидетельствует о неограниченных возможностях замещения (возможно даже полное замещение одного фактора другим).

Изокванта ПФ (1.9) является прямой линией . 

     1.4. Фактор времени  в производственной  функции

Фактор  времени в функции F(K,L;t) вводится, в частности, для учета влияния совокупности всех других, не фигурирующих непосредственно в списке аргументов ПФ, факторов (которые часто связывают с техническим прогрессом.

Поскольку =,где точка над переменной обозначает дифференцирование по времени, то

       или ,

где - темпы выпуска, капитала и труда соответственно, и - эластичности выпуска по фондам и труду, а

  p= член, учитывающий вклад прогресса в темп выпуска (его часто называют также темпом автономного технического прогресса).

Если  p = const, то ПФ (1.1) может быть представлена в виде

Y = F(K, L) . 
 
 
 
 
 
 
 

     2. Учет инвестиций в качестве фактора производства, задача построения производственных функций по информации об инвестициях

     С точки зрения проблемы построения производственной функции, среди факторов L и K в условиях российской экономики явно не хватает фактора, который может оказывать определяющее влияние на динамику выпуска. С формальной точки зрения такой фактор должен быть таким, чтобы его базисный индекс упал бы на этапе доминирования в экономике тенденций спада сильнее, чем общепринятые показатели выпуска, такие, как индекс ВВП в реальном выражении или индекс промышленного производства. А на этапе роста такой фактор, наоборот, должен показывать опережающий рост.

Другими словами, этот фактор должен показывать достаточно «противоположную» динамику. Только в таком случае динамику выпуска можно было бы рассматривать как среднее индексов факторов. С экономической точки зрения это должен быть такой фактор, который бы оказывал значительное влияние на динамику объема выпуска. Поскольку и L и K- факторы, имеющиеся в условиях российской экономики в избытке, то необходимый фактор должен соответствовать тому, чего в экономике не совсем хватает. С экономико-статистической точки зрения это должен быть фактор, по которому имеются данные сопоставимые за достаточно длительный промежуток времени. И наконец, такой фактор мог бы рассматриваться как управление в смысле теории управления.

     Явным кандидатом на роль такого фактора в данных условиях являются инвестиции ( I ). Этот фактор подходит ко всем перечисленным требованиям: инвестиции показывают гораздо более глубокий спад, чем производство; инвестиции необходимы для экономического роста, и они являются дефицитным фактором в экономике; есть статистические данные, отражающие динамику инвестиций; именно инвестиции возможно рассматривать как управление. Добавим, что не существует проблемы выделения эффективно используемой части инвестиций, в отличие от данных по фондам и труду.

     Проведение  анализа с целью выяснения  возможности построения ПФ, учитывающей вместо фактора производства инвестиции, позволило бы, например, осветить вопрос об остроте инвестиционного голода, так как весьма известно мнение о том, что привлечение инвестиций является чуть ли не важнейшим условием для вывода экономики из кризиса.

Конкурирующей позицией является мнение о том, что ограничивающим фактором роста являются спросовые ограничения, тогда как при наличии спроса на какие-либо услуги или товары задача привлечения инвестиций под соответствующий проект не является сложной.

      Теперь  выясним, как должна выглядеть производственная функция, построенная по информации об инвестициях ( I ).

     Попытка построения производственной функции вида Y = F(I,L) (Бессонов, 2002; Рахлина, Лукашин, 2004; Демченко, 2006; Сюань, 2007), где I - инвестиции всегда вызывала большой интерес. Отметим, что идти по пути увеличения набора учитываемых факторов производства, т.е. построения трехфакторной ПФ с факторами K, L и I не является целесообразным по ряду причин:

Во-первых, увеличение числа факторов вызывает проблемы при оценивании параметров ПФ (как из-за увеличения числа оцениваемых параметров, так и проблема мультиколлинеарности), в результате оценки параметров получаются статистически ненадежными и хуже интерпретируются содержательно, в то время как именно они представляют основной интерес при ретроспективном анализе.

Во-вторых, это усложняет технику предварительного анализа данных (необходимо анализировать поверхности в трехмерном пространстве), который является необходимым этапом построения ПФ.

Наконец, учитывать наряду с потенциально лимитирующим фактором I еще и фактор K, показывающий крайне «вялую» динамику, заведомо не являющийся ограничивающим и крайне неточно измеряемый, представляется совершенно нелогичным.

     Заметим, что функцию вида Y = F(I,L) можно считать предельным случаем производственных функций, учитывающих возрастную структуру основных фондов.

Предварительный анализ данных позволяет говорить о  возможности построения линейно-однородной производственной функции Y = F(I,L).

Вместе  с тем едва ли можно ожидать  хорошего качества аппроксимации и надежной оценки эластичности замещения. Учитывая значительность отклонений, неопределенность направления выпуклости анализировавшихся кривых и малую длину временных рядов, представляется целесообразным оценивать производственную функцию возможно более простого вида с минимальным числом оцениваемых параметров, т.е. ПФ Кобба-Дугласа.

     Теперь  отметим, почему от модели Y = F(I,L) трудно ожидать высокого качества.

     Более значимым фактором, учитываемым в  испытанных десятилетиями типах  производственных функций (ПФ), является стоимость оборотных и основных фондов (анализируемых  раздельно  либо в совокупности), которую кратко называют «капиталом» (Плакунов, Раяцкас, 1984; Клейнер, 1986; Hackman, 2008). В качестве второго фактора, не менее важного, обычно рассматривается труд. Таким образом, задача построения ПФ, зависящей от количества загружаемого капитала и соответствующей определенному производственному объекту, чаще всего решается на основе известной динамики затрат капитала (наряду с другими факторами и выпуском) на периоде наблюдения объекта. Но отметим, что для российской экономики последних двух десятилетий характерна низкая загруженность основных фондов в сельском хозяйстве и в большинстве несырьевых отраслей промышленности. Высокая инфляция 90-х годов из-за недоработанных методов построения экономических индексов делает проблему сопоставления цен и объемов производства в тот период. В таких условиях даже испытанные методы построения ПФ не могут предоставить хорошую адекватность математического моделирования экономики.