Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Ноября 2011 в 20:12, курсовая работа
1. Параметры систем массового обслуживания
1.1. Общие положения.
1.2. Процесс поступления заявок.
1.3. Процесс обслуживания.
1.4. Дисциплина обслуживания.
1.5. СМО с неоднородной нагрузкой.
1.6. Многоканальные СМО.
1.7. Мнемоническое обозначение СМО.
2. Характеристики функционирования СМО
2.1. Характеристики одноканальной СМО с однородной нагрузкой.
2.2. Характеристики одноканальной СМО
с неоднородной нагрузкой.
2.3. Характеристики многоканальной СМО
(однородная нагрузка).
2.4. Вывод формулы Литтла.
1. Параметры систем массового обслуживания
1.1. Общие положения.
Как отмечалось ранее (раздел "Основы моделирования") предметом изучения в курсе "Моделирование дискретных систем" являются Q-системы или системы массового обслуживания (СМО).
Системой массового обслуживания называется система, процесс функционирования которой является, по сути, процессом обслуживания, который состоит в предоставлении той или иной услуги, определяемой из функционального назначения системы. Объект обслуживания в СМО называется требованием или заявкой. Общепринятое графическое представление простейшей СМО имеет вид:
Процесс функционирования СМО включает в общем случае следующие этапы:
Изучение любой системы, в том числе и СМО, предполагает ее формализацию (описание), т.е. определение параметров системы, необходимых и достаточных для анализа характеристик ее функционирования.
Для формализации любой СМО необходимо описать:
1.2. Процесс поступления заявок.
Прежде
чем описать процесс
Пусть t1, t2, t3, ... , tk, ... — моменты поступления в систему 1-го, 2-го, 3-го, ..., k-го, ... требований:
Обозначим через tk = tk – tk-1 промежуток времени между моментами прихода (k–1)-го и k-го требований, который называется интервалом прихода k-го требования (k = 1, 2, 3, ...).
Если интервалы прихода всех заявок являются постоянными, т.е. , то такой поток называется детерминированным или регулярным. Однако, как правило, интервалы прихода tk являются случайными величинами, и соответствующий поток заявок называется стохастическим или случайным. Очевидно, что регулярный поток является частным случаем случайного потока.
Для описания стохастического потока (стохастического процесса поступления) заявок необходимо задать функцию распределения случайного в общем случае интервала прихода для каждой заявки:
Поток заявок, для которого функции распределения интервалов прихода всех заявок одинаковы, т.е.
называется рекуррентным. Другими словами, для рекуррентного потока интервалы прихода (t ) всех заявок распределены по одному и тому же закону.
Важная характеристика любого потока — это его интенсивность, которая обозначается через l(t) и определяет среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени. Если интенсивность поступления l(t) не зависит от времени, т.е. l(t) º l, то такой поток называется стационарным.
Величина а, обратная интенсивности l (а=1/l), определяет среднее значение интервалов прихода или средний интервал поступления заявок.
Если в каждый момент времени t1, t2, t3, ... поступает только одна заявка, то такой поток называется ординарным, в противном случае — групповым (могут приходить одновременно две или более заявок). В дальнейшем рассматриваются только рекуррентные, стационарные и ординарные потоки.
Поток заявок называется потоком без последействия, если заявки поступают независимо друг от друга или другими словами момент поступления очередной заявки не зависит от того, когда пришла последняя заявка и от того, сколько их пришло.
При анализе СМО важное место занимает так называемый простейший поток. Простейшим называется поток, в котором интервалы поступления заявок распределены по экспоненциальному закону:
Очевидно, что параметр l данного экспоненциального распределения является интенсивностью соответствующего простейшего потока.
Простейший поток является потоком рекуррентным стационарным ординарным и без последействия и, наоборот, любой рекуррентный стационарный, ординарный поток без последействия является простейшим.
Простейший поток обладает следующими свойствами.
2) Если из простейшего потока интенсивности l исключить каждую заявку с вероятностью р (а с вероятностью 1–р оставить), то как поток исключенных, так и поток оставшихся заявок, окажутся простейшими с интенсивностями рl и (1–р)l соответственно:
3) Число заявок N(t) простейшего потока, поступающих в СМО за время t, будучи случайной целочисленной дискретной величиной, распределено по закону Пуассона:
Поэтому очень часто простейший поток называют стационарным Пуассоновским потоком. Такое же выражение было получено (см. пособие "Математические основы моделирования дискретных систем") и для простейшего процесса чистого размножения, что позволяет утверждать: процесс чистого размножения является адекватной моделью простейшего потока.
Таким образом, для описания рекуррентного, стационарного и ординарного процесса поступления заявок необходимо в общем случае задать функцию распределения интервалов их поступления. Однако не всегда бывает известной функция распределения. В таких случаях вместо неизвестной функции распределения для описания входного потока задаются интенсивность l (или средний интервал а=1/l) и коэффициент вариации (КВ) nа интервалов поступления, что оказывается достаточным для многих теоретических и практических приложений. Более того, в большинстве аналитических исследований в качестве входного потока заявок рассматривается простейший поток, ибо только в этом случае удается получать сколько-нибудь содержательные результаты анализа СМО. А для описания простейшего потока достаточно задать интенсивность l, т.к. при этом КВ nаº1 в силу экспоненциального характера распределения интервалов поступления заявок.
Выделение используемых
при анализе СМО потоков
1.3. Процесс обслуживания.
По аналогии с процессами поступления заявок в систему для описания процессов обслуживания необходимо задать функцию распределения Bk(t) длительности обслуживания для каждой k-й заявки (k = 1, 2, 3, ...), которая в общем случае является случайной величиной. При этом под длительностью обслуживания tв понимается промежуток времени, в течение которого заявка находится в обслуживающем приборе. Далее будем считать, что все заявки создают статистически однородную нагрузку, т.е. длительности обслуживания всех заявок распределены по одному и тому же закону:
Важной характеристикой процесса обслуживания является интенсивность обслуживания m, характеризующая среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.
Величина b, обратная интенсивности m (b=1/m), определяет среднее время обслуживания одной заявки.
Как
и в случае интервалов поступления,
если функция распределения B(t)
неизвестно, то для многих приложений
(теоретических и практических) оказывается
достаточным определить интенсивность
обслуживания m (или среднее время
обслуживания b)
и КВ nв
длительности обслуживания. Если длительность
обслуживания распределено по экспоненциальному
закону, то достаточно задать интенсивность
обслуживания m (или среднее время
обслуживания b). Следует отметить,
что, в отличие от интервалов поступления
заявок, отказ от экспоненциального характера
распределения длительности их обслуживания
не столь усложняет задачу аналитического
исследования СМО, и многие содержательные
результаты получены при произвольном
характере распределения времени обслуживания.
1.4. Дисциплина обслуживания.
Дисциплиной обслуживания (ДО) называется правило, по которому выбираются на обслуживание заявки из очереди. Различают следующие ДО:
1)
обслуживание в порядке
2)
обслуживание в обратном
3)
обслуживание в случайном
В дальнейшем в качестве ДО будем рассматривать ДО FIFO.
Таким образом, для описания СМО необходимо задать:
1) функцию распределения A(t) интервалов поступления (общий случай) или интенсивность поступления l (или средний интервал а=1/l) и КВ nа интервалов поступления;
2) функцию распределения В(t) длительности обслуживания (общий случай) или интенсивность обслуживания m (или среднее время обслуживания b=1/m) и КВ nвºn времени обслуживания;
3) дисциплина обслуживания (ДО FIFO).
Следует отметить, что на практике СМО
описывается, как правило, путем определения
совокупности параметров {l, na} и {m, n},
считая, что ДО по умолчанию является дисциплина
FIFO. Более того, если интервалы поступления
или длительности обслуживания распределены
по экспоненциальному закону, то нет необходимости
задать и соответствующий КВ, т.к. в таком
случае он равен 1 (na º1 или n = 1). Графическое представление
СМО, для которой определены параметры,
имеет вид:
1.5. СМО с неоднородной нагрузкой.
До сих пор, рассматривая СМО, негласно считалось, что нагрузка СМО является статистически однородной, т.е. все заявки имеют одинаковые функции распределения, как интервалов поступления, так и длительностей обслуживания. Однако в общем случае нагрузка СМО может быть неоднородной, когда в систему поступают заявки нескольких классов, отличающиеся друг от друга законами распределения либо интервалов поступления, либо длительностей обслуживания, а так же наличием между заявками разных классов приоритетов на обслуживание.
Информация о работе Параметры и характеристики систем массового обслуживания