Параметры и характеристики систем массового обслуживания

      Рассмотрим  производную СМО и достаточно длинный интервал (0, t) ее функционирования. Пусть a(t) — число заявок, поступивших в систему, а d(t) — число заявок, покинувших ее за время t.

        Очевидно, что n(t)=a(t)–d(t) — число заявок в системе в момент времени t. С другой стороны, площадь между кривыми a(t) и d(t) (заштрихованная площадь) на интервале (0, t) есть общее (суммарное) время, проведенное всеми заявками в системе на момент времени t. Обозначим это общее время через g(t).

       Пусть l_t — интенсивность поступления заявок в систему на интервале (0, t). Очевидно, что l_t= .

      Пусть u_t — среднее время пребывания заявок в системе на интервале (0, t). Тогда u_t = .

      Пусть m_t — среднее число заявок в системе на интервале (0, t). Тогда m_t= . Из полученных равенств имеем:

      Пусть существуют пределы l= l_t, u= u_t и m= m_t, что имеет место, если система имеет стационарный режим функционирования. Тогда m=ll, что и требовалось показать.

      Теперь  если под "системой", о которой шла речь выше, понимать "очередь" или "прибор", то получим соответствующие выражения для средней длины очереди (l=lw) и среднего числа заявок в обслуживающем приборе (r=lb).