Параметры и характеристики систем массового обслуживания

      Утверждение "в" напрямую следует из утверждения "б", ибо рассмотренная ранее доля времени и есть вероятность занятости прибора. Тогда вероятность простоя системы равна 1–r.

      Справедливость  утверждения "г", в свою очередь, следует из утверждения "в": в приборе может находиться 1 заявка с вероятностью r и 0 заявок с вероятностью 1–r. Тогда среднее число заявок в приборе равно

1·r + 0·(1–r)=r.

      3) Время ожидания — это, как правило, случайное время, которое заявка проводит в очереди в состоянии ожидания. Среднее значение этого времени, которое представляет наибольший интерес, обозначается через w.

      4) Время пребывания — это случайный промежуток времени от момента поступления заявки в систему до момента окончания ее обслуживания. Для среднего значения u времени пребывания справедливо равенство:

u=w+b.

      5) Среднее число заявок в очереди или средняя длина очереди

l=lw.

      6) Среднее число заявок m, находящихся в системе, складывается из средних значений числа заявок, находящихся в очереди (l) и в приборе (r):

m=l+r=lw +lb=l(w+b)=lu

      Формулы r =lb, l=lw и m=lu называются формулами Литтла соответственно для прибора, очереди и системы в целом. Справедливость этих формул показывается далее в разделе 2.4.

      Ранее отмечалось, что если известны вероятности  состояний, то можно определить и  все остальные характеристики системы. Предположим, что вероятности состояний  Р_к=Pr{в системе находится k заявок}, k = 0, 1, 2, ..., известны или заданы. Тогда загрузка системы, которая характеризует вероятность того, что, прибор занят обслуживанием, определяется равенством:

r

,

где P₀ – вероятность простоя системы.

      В системе могут находиться 1, 2, 3, ... заявок соответственно с вероятностями P₁, P₂, P₃, .... Тогда, исходя из определения математического ожидания дискретной случайной величины, среднее число заявок в системе

.

      Если  в системе находится k заявок, то в очереди ожидают k–1 заявка (k= 1, 2, 3, ...). Тогда средняя длина очереди

m–r.

      Зная  среднее число заявок в системе (m) и в очереди (l), соответствующие временные характеристики можно определить по формуле Литтла:

u=m/l       и       w=l/l=u–b.

      Полученные  соотношения взаимосвязи между  характеристиками функционирования системы справедливы при любых законах распределений интервалов поступления и длительности обслуживания заявок и таким образом носят фундаментальный (универсальный) характер. Единственное требование — это требование, чтобы система была без отказов, т.е. емкость накопителя была не ограничена. 

2.2. Характеристики одноканальной  СМО

с неоднородной нагрузкой.

      Рассмотрим  характеристики функционирования ОК СМО  с неоднородной нагрузкой. Пусть в СМО поступают заявки Н классов с параметрами:

      – l₁, l₂, ... , l_н — интенсивность поступления;

      – n_а1, n_а2, ... , n_ан — КВ интервалов поступления;

      – b₁, b₂, ... , b_н — среднее время обслуживания;

      – n₁, n₂, ... , n_н — КВ длительности обслуживания.

       Приведенные параметры полностью описывают  систему, которая является СМО типа :

      Характеристики  СМО в случае неоднородной нагрузки определяются как для заявок отдельных  классов, так и для заявок объединенного  потока, и те и другие характеристики во многом аналогичны соответствующим  характеристикам системы с однородной нагрузкой. 

Характеристики  заявок отдельных  классов.

      1) Pr{n₁, n₂, ..., n_H} — вероятности состояний СМО, где под состоянием системы здесь понимается вектор , показывающий, сколько заявок каждого класса находятся в системе.

      2) r_к=l_кb_к — загрузка СМО заявками класса k (k–заявок). При этом, загрузка r_к имеет тот же физический смысл, что и в случае однородной нагрузки, но только применительно к классу k .

      3) w_k — среднее время ожидания k–заявок.

      4) u_k=w_k+b_k — среднее время пребывания в системе k–заявок.

      5) l_k=l_kw_k — средняя длина очереди заявок класса k.

      6) m_k=l_ku_k =l_k+r_k — среднее число k–заявок в системе .

      Соотношения взаимосвязи между характеристиками заявок отдельных классов такие  же, что и в случае однородной нагрузки. Эти соотношения также всегда справедливы, если только СМО является системой без отказов.

Характеристики  заявок объединенного  потока.

      1) — суммарная загрузка системы и СМО функционирует в стационарном режиме, если R<1. При этом h=1–R — коэффициент простоя.

      2) — среднее время ожидания заявок объединенного потока, где — интенсивность результирующего потока.

      3) — среднее время пребывания, где — усредненное время обслуживания.

      4) — средняя (суммарная) длина очереди.

      5) — среднее число заявок в системе. 

2.3. Характеристики многоканальной  СМО 

(однородная  нагрузка).

      Рассмотрим  МК СМО из N обслуживающих приборов, в которую поступает поток заявок интенсивности l и КВ n_а интервалов поступления. Все приборы совершенно идентичны и среднее время обслуживания в одном приборе равно b, а КВ длительности обслуживания – n. Определим для описанной МК СМО (типа G/G/N) характеристики функционирования.

      1) Вероятности состояний. Под состоянием МК СМО как и в случае ОК СМО понимается число заявок k, находящихся в системе, и вероятность такого состояния также обозначается через P_k, k = 0, 1, 2, ...

      2) Загрузка. По аналогии с ОК СМО произведение lb можно было бы трактовать как загрузку МК СМО. Однако это не так и в качестве загрузки МК СМО принимается загрузка ее одного прибора, определяемая как r=lb/N. Это делается с тем, чтобы использовать одинаковые обозначения для загрузки, придать одинаковый смысл загрузке, "приравнять" отдельные приборы МК СМО и прибор в ОК СМО. После такого определения загрузки МК СМО для нее справедливы все утверждения, приведенные ранее относительно загрузки ОК СМО. Отношение l/N=l¢ в выражении для загрузки характеризует интенсивность заявок, приходящих на один прибор МК СМО. Условием существования стационарного режима: r=l¢b<1.

      3) Среднее число заявок m в МК СМО определяется так же, как и в ОК:

m=

.

      4) Средняя длина очереди

l=

,

где k–N — число заявок в очереди, когда в системе находится k заявок.

      5) Среднее время ожидания w определяется по формуле Литтла:

w=l/l.

      6) Среднее время пребывания

u=m/l=w+b.

      7) Вероятность ожидания или вероятность того, что все N приборов заняты обслуживанием заявок

.

      8) Для МК СМО представляет интерес  такая характеристика как среднее число занятых приборов, определяемая следующим равенством:

.

С другой стороны, — это среднее число заявок, находящиеся в обслуживающих приборах, т.к., очевидно, что число занятых приборов всегда равно числу заявок в приборах. Вспомним, что загрузка r=lb/N — это среднее число заявок в приборе (одном). Тогда среднее число заявок в N приборах равно Nr. Таким образом

=lb.

      Очевидно, что m=l+ (сравните с m=l+r для ОК СМО). Действительно

 
 
 
 
 

2.4. Вывод формулы  Литтла.

      Универсальная формула Литтла (справедлива для  любой системы без отказов) устанавливает связь между средними значениями числа заявок, времени пребывания и интенсивности поступления. Так для СМО в целом эта связь имеет вид: m=lu, вывод которой приводится ниже.