Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Марта 2012 в 23:02, курсовая работа
Темой данной курсовой работы является рассмотрение методов нелинейного программирования. Актуальность темы, на мой взгляд, не может вызывать никаких сомнений. Действительно, ведь объектом нелинейного программирования является оптимизация различных производственных процессов, целью которых всегда является минимизация издержек, максимизация прибыли. Эффективное использование ресурсов является одним из важнейших элементов нормального функционирования любого предприятия, любой организации. Проблема стала еще насущнее в связи с переходом нашей страны к рыночным отношениям.
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………..3
ГЛАВА 1. О нелинейном программировании.
1.1. История развития НП.……………...…………………………..4
1.2. Классификация методов решения задач НП….………….…...6
1.3. Общая постановка задачи НП.……………………..…...……..8
ГЛАВА 2. Метод множителей Лагранжа.
2.1. Решение задач НП с ограничениями – равенствами…..……10
2.2. Теорема Куна – Таккера. Решение задач НП с
ограничениями – неравенствами…………………………….……14
ГЛАВА 3.Практическое задание.…………………………….………16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………….………….20
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………..21
ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………….22
19
ГЛАВА 3. Практическое задание.
Пусть с целью оптимизации работы некоего абстрактного производственного процесса необходимо минимизировать целевую функцию f(x) при ограничениях g1(х) и g2(х).
min f(x)= x12+x22+x32
g1(х)= x1+x2+3x3-2=0
g2(х)= 5x1+2x2+x3-5=0
1) Не вызывает сомнений, что f(x), g1(х) и g2(х) дифференцируемы на всей числовой прямой. Введём набор переменных 1, 2 и составим так называемую функцию Лагранжа следующего вида:
L(х, ) = x12+x22+x32 + 1(x1+x2+3x3-2) + 2(5x1+2x2+x3-5)
2) Находим частные производные:
, j = ; i = .
=2х1+1+52
=2х2+1+22
=2х3+31+2
=x1+x2+3x3-2
=5x1+2x2+x3-5
3) Решаем систему
=0, j =
= hi (х) =0, i = .
Приводим данную систему к матричному виду и решаем её при помощи метода последовательных исключений Жордана – Гаусса.
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) .
Итак, последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной:
Отсюда находим:
=-7/23;
=-2/23;
х1=37/46;
х2=8/23;
х3=13/46;
и следовательно, оптимальным решением является вектор Х*={37/46; 8/23; 13/46} .
4) Исследуем найденную точку на минимум. Для доказательства того, что найденная точка действительно является минимумом целевой функции, достаточно проанализировать исходные данные. Как уже отмечалось выше, целевая функция представляет собой множество сфер некоторого радиуса с центром в начале координат, а ограничения – уравнения плоскостей в трехмерном пространстве, пересекающихся по некоторой прямой. Общее уравнение прямой можно представить в виде системы:
Из уравнений хорошо видно, что прямая не проходит через начало координат, а следовательно минимальным значением функции будет точка пересечения сферы некоторого радиуса R с прямой. Перпендикуляр, восстановленный из начала координат к прямой, фактически будет являться R2 функции x12+x22+x32=R2. Следовательно, найденная нами точка действительно является минимумом целевой функции.