Лекции по "Концепции современного естествознания"

     Плазма может так же может быть термодинамически равновесной. Для ее существования необходима очень высокая температура (при которой энергия теплового движения сравнима с энергией ионизации). Такие температуры существуют на поверхности Солнца, могут возникать при очень мощных электрических разрядах (молнии), при ядерных взрывах. Такую плазму называют горячей.

      Атмосферное электричество. Земля является достаточно хорошим проводником электрического тока (по сравнению с сухим воздухом). На высоте около 50 км ионизирующее космическое излучение обуславливает наличие  ионосферы - слоя сильно ионизированного газа. Измерения показывают, что между ионосферой и поверхностью Земли существует огромная разность потенциалов (около 5000000 В), причем ионосфера имеет положительный по отношению к Замле заряд. Наличие разности потенциалов между Землей и “небом” приводит к появлению тока очень малой плотности ( A/ ) даже в таком плохом проводнике как воздух. Полный ток, приходящий на поверхность планеты, весьма велик (ок. А), а выделяемая им мощность сравнима с мощностью всех построенных электростанций ( Вт). Возникают естественные вопросы о механизме поддержания указанной разности потенциалов и о причинах, по которым ее наличие до сих пор никак не используется человеком.

     В настоящее время установлено, что основным механизмом, заряжающим “небо” относительно Земли являются грозы. Капли воды и кристаллы льда, перемещаясь вниз к основанию грозовой тучи собирают на себе имеющиеся в атмосфере отрицательные заряды и тем самым заряжают нижнюю часть грозового облака отрицательным электричеством до потенциалов, во много раз превосходящих потенциал Земли. В результате между Землей и тучей возникает очень большое электрическое поле, направленное в противоположную сторону по сравнению с полем, существующем в безоблачную погоду. Вблизи выступающих с поверхности Земли проводящих предметов это поле еще усиливается и оказывается достаточным для ионизации газа, которая нарастает по лавинообразному закону. В результате возникает очень мощный электрический разряд, называемый молнией. Вопреки бытующему мнению, молния начинается на Земле и бьет в тучу, а не наоборот.

      Характерное для ясной погоды электрическое поле напряженностью 100В/м не удается не только использовать, но даже ощутить, хотя на равной росту человека высоте при его отсутствии оно создает разность потенциалов около 200В. Причиной этого является низкая проводимость воздуха и, как следствие, малые плотности текущих на поверхность Земли токов. Введение в электрическую цепь хорошего проводника (человека), шунтирующего двухметровый воздушный столб, практически не изменяет суммарного сопротивления цепи “небо-Земля”, ток в которой остается неизменным. Вызываемое им падение напряжения на теле человека составляет около U=IR=0.2мкВ, что лежит значительно ниже порога чувствительности нашего организма.

     Электрический ток в живых тканях. Важная роль электрических импульсов для жизнедеятельности организмов предполагалась еще более 200 лет назад. Сейчас известно, что  эти импульсы используются для обеспечения управления работой органов и передачи информации между ними в процессе жизнедеятельности. Роль кабелей для передачи сигналов в сложнейшем “биологическом компьютере” играют нервы, основу которых составляют узко специализированные клетки - нейроны. Основные функции этих клеток - прием, обработка и усиление электрических сигналов. Нейроны связываются друг с другом в “сеть” при помощи специальных удлиненных выростов - аксонов, выполняющих функции проводников.  Исследования распространения электрических сигналов в аксонах выполнялись совместно биологами, химиками и физиками в 30-60 годах нашего века и явились одним из первых удачных примеров  плодотворного сотрудничества представителей смежных естественных наук.

    Как оказалось, свойства электрических импульсов, распространяющихся в аксонах существенно отличаются от привычных для электротехники: 1) скорость распространения импульсов по аксону оказывается на несколько порядков меньше характерных для металлических; 2) после прохождения электрического импульса существует “мертвое” время, в течение которого распространение следующего импульса невозможно; 3) существует пороговое значение напряжения (импульсы с амплитудой ниже пороговой не распространяются); 4) при медленном нарастании напряжения даже до превышающего порог значения импульс по аксону не передается (“аккомодация”).

     Перечисленные нехарактерные для традиционной электротехники особенности проводимости аксонов  нашли объяснения в рамках весьма специфического электро-химического механизма, центральная роль в котором принадлежит полу проницаемой для ионов клеточной мембране, отделяющей содержащий аномально высокую концентрацию ионов K+ и низкую - Na+  внутренний объем клетки (и ее аксона) от окружающей среды, заполненной физиологическим раствором. В результате хаотического теплового движения частиц через границу между областями с различными концентрациями положительных ионов возникают диффузионные потоки (K+ - из клетки, Na+ - внутрь ее), скорости которых регулируются проницаемостью клеточной мембраны и электрической разностью потенциалов по обе стороны от нее. Изменения проницаемости  мембраны для каждого из ионов приводит к изменению количества заряженных частиц, пересекающих границу и, следовательно, к изменению электрического потенциала аксона относительно внешней среды. Как показали опыты, проводимость участка мембраны изменяется в зависимости от приложенной к нему разности потенциалов. Т.о. подаваемый на участок аксона электрический импульс изменяет на небольшое время (зависящее от свойств аксона) проводимость мембраны, что ведет к перераспределению зарядов, усилению импульса и формированию его заднего фронта. При этом аксон одновременно играет роль проводника и “усиливающих подстанций - ретрансляторов”, что позволяет избежать затухания сигналов, передаваемых в организме на достаточно большие расстояния.

     Интересно, что весьма сходную проблему с той, что была решена природой, незадолго до раскрытия механизма проводимости аксона пришлось решать в радиотехнике при попытке организовать транс Атлантическую кабельную связь. Для того, чтобы избежать затухания и искажения сигнала в длинной линии, кабель пришлось разделить на сравнительно короткие звенья, между которыми были помещены усилители. Опыт, накопленный физиками при создании длинных линий кабельной связи существенно облегчил решение проблемы о механизме электропроводности аксона. 
 

11. Классическая электродинамика

      История развития классической электродинамики является поучительным примером того, как  математизация естественно научной дисциплины и переход к изящному (хотя и достаточно сложному) языку описания  повлекли за собой качественный скачок в понимании целого ряда явлений природы, часть из которых была первоначально предсказана теоретически  (“на кончике пера”), а потом получила блестящее экспериментальное подтверждение.  В настоящей теме будет содержаться достаточно большое количество математических формул, приводимых лишь с целью иллюстрации красоты и компактности языка математики.

     Непрерывные распределения зарядов. Входящие в выражения для электростатических и магнитостатических полей (9_4) и (9_8) суммы в случае макроскопических заряженных тел содержат очень большое число слагаемых, соответствующих вкладам в поля от точечных зарядов. Их вычисление неудобно с чисто “технической” точки зрения: математическая операция суммирования более трудоемка, чем, например, интегрирование (сказанное относится  к аналитическим расчетам, при компьютерном счете суммирование предпочтительнее взятия интегралов,  однако в 19 веке подобной альтернативы в математике не существовало). Переход к интегрированию требовал приближенной замены дискретного распределения элементарных зарядов на непрерывное, характеризуемое плотностью электрического заряда (отношение величины заряда к объему содержащего его небольшого, но макроскопического элемента пространства):

(1)      .

Естественно, что  замена (1) приводила к  “сглаживанию” рассчитываемых макроскопических полей по сравнению с реальными микроскопическими, сильно изменяющимися на сравнимых с размером атома расстояниях. Описанный переход к непрерывному распределение зарядов существенно упрощал расчеты, не снижая их практическую  ценность (наука и техника 19 века еще не доросли до эффектов, происходящих на микроскопическом уровне организации материи).

    Математический формализм. Переход к непрерывным распределениям зарядов и токов позволил переписать законы электро и магнитостатики сразу в нескольких математических формах, эквивалентных по физическому смыслу, но существенно различающихся по технике выполнения конкретных расчетов:

интегральные формулировки:

2.       ;

дифференциальные формулировки:

(3)    ;

расчет полей через скалярный и векторный потенциалы:

4.    .

Т.о. адекватное описание одних и тех же законов естествознания возможно на различных языках математики.

    Операторы. В начале 20 века в математике были введены новые объекты - операторы, без использования которых современная физика была бы немыслима. Понятие оператора является естественным обобщением традиционного для классической математики понятия функции. Если под функцией понимается закон (правило, отображение), по которому одному числу (набору чисел) ставится в соответствие другое число (набор чисел), то под оператором подразумевают закон, по которому одному объекту (группе объектов) ставится в соответствие другой объект (группа). Наиболее часто встречаются операторы, действующие на функции (операторы умножения на число, дифференцирования, интегрирования и т.д.) или векторы (оператор поворота, проектирования и т.д.). Весьма полезной оказалась идея определения математических операций над операторами. Например, под произведением двух операторов подразумевается оператор, выполняющий последовательно действия каждого из перемножаемых операторов. Для операции умножения операторов в общем случае не выполняется свойство коммутативности:

(5)    .

    Использование языка операторов существенно сокращает запись многих математических формул и делает их более “элегантными”.  Так введение лишь одного дифференциального оператора “набла”

при помощи стандартным образом определенных операций скалярного ( , )  и векторного [ , ] умножения позволяет записать системы уравнений (3) и (4) в весьма компактной форме:

(3´)           ;

(4´)   ,                    .

В последних равенствах использован оператор Лапласа:

(7)     .

Помимо краткости записи преимущество операторного метода состоит в том, что. с самим оператором набла можно обращаться почти так же, как с обычным вектором, что, несомненно, облегчает громоздкие выкладки.

     Закон электромагнитной индукции Фарадея. Долгое время электрические и магнитные явления считались независимыми, хотя даже на уровне магнитостатики это не совсем верно: магнитостатическое поле порождается постоянными токами, существование которых в веществе невозможно без наличия электрического поля. Фарадей экспериментальным путем установил, что изменяющееся во времени магнитное поле может порождать электрическое. Это электрическое поле в отличие от порождаемого зарядами потенциального электростатического является вихревым, т.е. его линии представляют собой замкнутые кривые (рис. 11_1). Открытый Фарадеем закон индукции впоследствии имел колоссальное практическое значение, поскольку открыл весьма удобный и дешевый способ преобразования механической энергии движения источников магнитного поля в электрическую, ныне лежащий в основе промышленного производства электроэнергии.

     С точки зрения математической записи уравнений для поля открытое Фарадеем явление требует видоизменения системы уравнений (6):

(10)      .

     Гипотеза Максвелла.   Рассмотрев совместно систему уравнений (7) и (10) Максвелл обратил внимание на следующие ее недостатки:

1. Указанная система несовместна с законом сохранения заряда.

2. Система оказалась весьма несимметричной даже для случая описания электромагнитного поля в пустом пространстве ( =0 и j=0).