Моделирование биологических процессов и систем

Итерационный метод решения

   Решение оптимизационной задачи, как правило, не удается найти в аналитическом виде, поэтому обычно определяется решение как результат итерационного процесса - ряда однотипных повторяющихся вычислений. Каждый последующий шаг итерационного процесса дает решение, более близкое к оптимальному, чем на предыдущем шаге. При этом надо иметь в виду, что при реализации итерационного процесса накапливаются ошибки округления, которые с определенного - момента времени могут стать настолько большими, что полученное решение теряет смысл.

Проверка гипотез

   Проверка гипотезы состоит в сравнении некоторой величины (теста), вычисляемой по экспериментальным данным с табличным значением (критерий), который определяется видом гипотезы и уровнем значимости. Если тест меньше критерия - гипотеза принимается, больше - отклоняется. Результат проверки не доказывает истинность или ложность гипотезы, а говорит лишь о том, что экспериментальные данные противоречат или не противоречат ей.

   Могут быть проверены следующие гипотезы:
-адекватности модели по критерию Фишера;
-наличия выбросов по критерию Стьюдента;
-гомоскедастичности по критерию Барлетта;
-некоррелированности остатков по критерию серий;
- альтернативных параметров по критерию Фишера.

Для каждой гипотезы может быть четыре варианта ответа:
   - "не проверена" - до проверки или после изменения значимости;
   - "мало данных" - объем экспериментальных данных не позволяет провести проверку;
   - "принята" - гипотеза успешно выдержала проверку, причем для комплексных гипотез, где проверяется гипотеза для каждой серии отдельно, они все "приняты".
   - "отклонена" - гипотеза отвергнута на этом уровне значимости, причем для комплексных гипотез хотя бы в одной серии гипотеза была отклонена.

   Уровень значимости характеризует строгость проверки гипотезы - чем больше уровень значимости, тем жестче она проверяется. Так, например, гипотеза принятая для уровня значимости 0.01, может быть отклонена для уровня 0.05.

Проверка адекватности модели по критерию Фишера (рис. 7) состоит в том, что сравниваются две оценки дисперсии погрешности измерения:
   s - оценка метода максимума правдоподобия по модели для текущих значений параметров;
   d - выборочная оценка, полученная из опытов на воспроизводимость. Если гипотеза верна, то s=d. Проверка гипотезы невозможна, если нет опытов на воспроизводимость или их кратность недостаточна.

   Отклонение гипотезы адекватности по Фишеру указывает на недостатки при проведении испытаний: неслучайный отбор образцов, нарушения в условиях испытаний или неточное определение моментов съема. При этом точность прогноза будет занижена.

Задание

Задание 32.

В специализированной вычислительной системе периодически выполняются три вида заданий, которые характеризуются уровнями приоритета: нулевым, первым и вторым. Каждый новый запуск задания оператор производит при помощи дисплея, работая на нем 50 ± 30 с. После запуска задания оно требует для своего выполнения 100 ± 50 с времени работы процессора, причем задания более высокого приоритета прерывают выполнение задач более низкого приоритета. Результаты обработки задания выводятся на печать без прерываний в течение 30 ± 10 с, после чего производится их анализ в течение 60 ± 20 с, и задание запускается снова. Можно считать, что при работе дисплея и при выводе результатов на печать процессор не используется.

Смоделировать процесс работы системы при условии, что задание второго уровня приоритета выполняется 100 раз. Подсчитать число циклов выполнения остальных заданий и определить коэффициенты загрузки технических средств системы.

Основные этапы исследования операций

   При всем многоообразии содержания конкретных работ в области исследования операций каждое операционное исследование проходит последовательно через несколько этапов, основными из которых есть:

             постановка задачи и разработка концептуальной модели;

             разработка математической модели;

             выбор (разработка) метода и алгоритма;

             проверка адекватности и корректировка модели;

             поиск решения на модели;

             реализация найденного решения  на практике.

На основании этого задания на моделирование процесса взаимодействия пользователей с ВЦ, считая, что задание соот­ветствует концептуальной модели, построим структурную схему (рис 1). Более подробно с основными понятиями, встречающимися в задании на данную курсовую работу, можно познакомиться в [2]. Таким образом, в процессе взаимодействия пользователей с ВЦ возможны следующие ситуации: 1) режим нормального обслуживания, посадка самолета на основной аэродром ; 2) режим отказа в обслуживании пользователя, когда самолет после 5 кругов уходит на запасной аэродром.

Учитывая, что по своей сути описанные процессы являются процессами обслуживания пользователей самолетов, используем для их формализации аппарат Q-схем [1]. В соответствии с концептуальной моделью, используя символику Q-схем, структурная схема модели данного примера может быть представлена в

Рисунок 1- Структурная схема процесса функционирования информационной системы.

И—источник; К—канал; Н — накопитель. Система клапанов регулирует процесс занятия самолетами  каналов К1, К2  . Если канал К1 занят, то клапан 1 закрыт, а клапан 2 открыт; если канал К2 занят, В результате если все каналы К1, К2,

Рисунок 2- Структурная схема модели процесса специализированной вычислительной системы и символике Q- схем

Рисунок 3- Блок- диаграмма модели процесса функционирования

Отметим, что при такой постановке задачи оценки вероятно­стно-временных характеристик процесса функционирования ВЦ использование аналитического подхода, базирующегося на теории массового обслуживания, не представляется возможным, так как в явном виде не получены выражения для вычисления искомых характеристик. Поэтому для получения необходимых оценок аналитическим методом нужно предварительно упростить модель (естественно, за счет точности в достоверности получаемых результатов). В исходной постановке воспользуемся методом имитационного моделирования [1].

Запишем переменные и уравнения имитационной модели в следующем виде:

эндогенные переменные: tni — время обработки задание на 1-м аэропорте, i=1,3; tpj—время решения задачи на j- и запроса, j=1,2;

экзогенные переменные: Nо — число обслуженных самолетов; N1 — число самолетов, получивших отказ;

уравнение модели: Ротк=N1/(N0+N1), где Ротк — вероятность отказа пользователю в обслуживании аэропорта.

Так же как и в предыдущем примере, при разработке машинной модели будем рассматривать два варианта моделирования: с использованием языков GPSS и общего назначения.

Используя для моделирования GPSS, символика блок-диаграмм которого приведена в приложении 1, и построив структурную схему модели (рисунок 4), можно перейти к разработке блок-диаграммы, приведенной для данного примера на рисунок 3.

Рисунок 4- Обобщенная схема моделирующего алгоритма процесса функционирования аэропорта

Проверка адекватности модели

   Этапом обработки экспериментальных данных является проверка адекватности полученной модели, которая выполняется программой по запросу с терминала. Выполняется расчет оценки дисперсии адекватности по формуле:

Sад2 = Σm*(yi - yi)/(N-d),

где:     Sад2 - оценка дисперсии адекватности (суммирование по i от 1 до N);   N - число точек плана;            d - число коэффициентов, оставшихся в модели;            yi - оценка математического ожидания выходного контролируемого параметра в            i-той точке плана;           m  - число повторений экспериментов в каждой точке плана;           yi - значение выходного контролируемого параметра, рассчитанного по модели в i-той точке плана.    После этого вычисляется значение F - статистики для проверки гипотезы об адекватности по формуле:                F = Sад2/Sε2

При справедливости гипотезы об адекватности модели известно распределение случайной величины F, оно носит название распределения Фишера. Вид этого распределения зависит от числа степеней свободы числителя ν1=N—d и знаменателя ν2=N*(m—1). По принятому уровню значимости а всегда можно определить значение Fкр, превысить которое величина F может только с вероятностью менее α. Поэтому очевидно, если при расчете получилось F>Fкр , то модель не может считаться адекватной. Значение Fкр определяется из таблиц распределения Фишера. Фрагмент такой таблицы приведен в ниже.

   Пусть для нашего варианта имеем следующие значения: F=1,19   ν1=3   ν2=8. По таблице определяем: Fкр =4,07.
   Таким образом полученная модель адекватна. В курсовом расчете необходимо привести полученную модель в натуральных единицах. Для этого каждый фактор в уравнении необходимо заменить соответствующим выражением нормировки и привести подобные члены. Для нашего примера имеем:
y = 39,1+3,06x1+2,44x2+3,33x3+1,33x2x3 = 39,1 + 3,06*(x1 - 32)/4 + 2,44*(x2 - 3)/0,6 +

Проверка адекватности регрессионной модели

    Такая проверка имеет своей целью выяснение вопроса о том, правильно или нет выбран вид уравнения регрессии. Проверка возможна, если:

   а) известна точечная оценка дисперсии воспроизводимости Se2;

   б) выполнено условие d* < N.

   Если d* = N, следовательно d+1 = N, то проверять адекватность регрессионной модели нет смысла, так как в этом случае поверхность, соответствующая уравнению регрессии, проходит точно через все экспериментальные точки.

   При проверки адекватности используется статистика: F = Sост.2/ Se2. Если F не превосходит критического значения F*, то следует сделать вывод о том, что модель адекватна. В противном случае говорят о наличии дополнительного рассеивания, обусловленного несоответствием модели реальному объекту. Тогда необходимо либо усложнить регрессионную модель, либо уменьшить интервалы варьирования факторов. Критическое значение равно значению распределения Фишера Fn1,n 2, a , которое зависит от степеней свободы n 1 = N-d*, n 2 = n e и уровня значимости a .

   Если модель является адекватной, то имеет смысл рассматривать вопрос о ее работоспособности.

   Регрессионная модель зависимости работающих активов от капитала банков может быть записана в виде конкретного простого уравнения регрессии:

.

   Это уравнение характеризует зависимость работающих активов от капитала банка. (ŷ - расчётные значения ).

   Но для того, чтобы применить формулу, надо рассчитать, насколько она приближенна к реальности, то есть проверить ее адекватность.

   Корреляционный и регрессионный анализ обычно проводятся для ограниченной по объёму совокупности. Поэтому показатели регрессии и корреляции – параметры уравнения регрессии, коэффициенты корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Чтобы проверить, насколько эти показатели характерны для всей генеральной совокупности, не являются ли они результатом стечения случайных обстоятельств, необходимо проверить адекватность построенных статистических моделей.

   При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость проверки значимости (существенности) каждого коэффициента регрессии. При этом выясняют насколько вычисленные параметры характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин.

   Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t-критерия:

Метод построения модели.

    Для моделирования на GPSS надо определить:

условия работы моделируемой системы;

какие элементы GPSS надо использовать для удовлетворения условий модели.

В данном случае есть два вида ограничивающих условий. Во-первых, имеется только один аэропорт. Во-вторых , существует некоторое фиксированное число посадок работающих в системе. Естественно, для моделирования печи использовать понятие "прибор" (SEIZE).    В модели, после того как транзакт завершает посадкку, моделирующего самолет, он должен быть возвращен назад посредством блока TRANSFER в блок следующей посадки. Для того, чтобы ограничить общее число транзактов, циркулирующих в модели, необходимо использовать в операторе GENERATE операнд, задающий желаемое число транзактов.