Станция технического обслуживания

     Рассматриваемая система имеет следующие параметры, под которыми понимаются величины, описывающие поток заявок на обслуживание и каналы обслуживания (участки обслуживания):

• Поток автомобилей, поступающих на техобслуживание, подчиняется экспоненциальному закону распределения вероятностей;
• среднее время обслуживания заявки на обслуживающем устройстве ;
• коэффициент загрузки каждого устройства;
• максимальное, среднее и текущее число автомобилей в очереди на обслуживание;
• среднее время нахождение в каждой очереди.

     По  характеру функционирования системы  во времени система является динамической системой, функционирующей в непрерывном  времени так как ее состояния изменяются во времени, а переходы между состояниями системы возможны в любые моменты времени.

2.2 Функционирование АЗС как системы массового обслуживания оценивается шестью параметрами.

     Как система обслуживания с ожиданием  СТО имеет следующие особенности:

• число каналов на обслуживание равняется количеству обслуживающих устройств, т.е. мастеров по ремонту автотехники (далее работники);
• число каналов на станции конечно;
• работники осуществляют однотипный вид работ, поэтому являются одним каналом обслуживания;
• выходящий с СТО поток заявок не представляет интереса для рассмотрения, так как он не поступает в другую систему обслуживания;
• поток требований на обслуживание — входящий поток — является неограниченным;
• входящий на СТО поток требований является стационарным, ординарным и не имеет последствия;

     Вероятностная, параметрическая модель СТО строится при следующих допущениях:

• все работники готовы к работе;
• все обслуживающие устройства заняты обработкой заявок;
• рассмотрение процесса обслуживания автомашин на СТОбессмысленно при отсутствии автомашин в очереди;
• интервал времени, необходимый для образования очереди, должен быть больше или равен тому времени, которое необходимо для обслуживания количества автомобилей из очереди, равного числу работников.

     Так же следует учитывать приоритеты входящих заявок, которые в данном случае имеют относительный характер, т.е. в первую очередь на обслуживание поступают постоянные клиенты. Еще необходимым является придание приоритета обслуживания заявкам, обслуживание которых не требуют больших затрат времени (например консультационные услуги).

     Составим  концептуальную модельработы станции технического обслуживания. Элементами исследуемой системы являются: входящий поток автомобилей, несколько обслуживающих устройств (для примера возьмем два работника) и очереди, которая в нашем случае формируется в зависимости от приоритета заявки и является общей. На рис. 1 приведена концептуальная модель СТО.

    

 

    Рис. 1.1 Схема обслуживания  автомобилей  на СТО 

     Ограничения модели связаны:

• с условиями, накладываемыми на поток поступающих автомобилей (он предполагается простейшим, отсутствуют повторные заявки);
• упрощенным алгоритмом функционирования СТО и выбора устройства для обслуживания;
• отсутствием явлений, изменяющих закономерности времени обслуживания автомобилей (технологические перерывы, отказы и сбои оборудования).

 

    2.3 Построение имитационной модели процесса

    Имитационное  моделирование — это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация — это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

    Имитационная  модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

     Построение  нашей имитационной модели начнем с создания потока машин, поступающих на обслуживание. Нам необходимо сформировать поток машин, поступающих на обслуживание на СТО, который подчиняется экспоненциальному распределению вероятностей.

     Одноканальная СМО с ожиданием

     Рассмотрим  простейшую СМО с ожиданием —  одноканальную систему (n - 1), в которую  поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженныхзаявок в единицу времени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

     Система с ограниченной длиной очереди. Предположим  сначала, что количество мест в очереди  ограничено числом m, т. е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже  стоят m заявок, то она покидает систему необслуженной. Если же сделать очередь бесконечной, т.е. m стремиться к бесконечности, то получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.

     Будем нумеровать состояния СМО по числу  заявок, находящихся в системе (как  обслуживаемых, так и ожидающих  обслуживания):

       —канал свободен;

       —канал занят, очереди нет;

       — канал занят, одна заявка стоит  в очереди;

       —канал занят, k - 1 заявок стоят в  очереди;

       — канал занят, т заявок стоят  в очереди.

     Схема размножения гибели представлена на рис. 2.1. Все интенсивности потоков событий, переводящих в систему по стрелкам слева направо, равны , а справа налево — . Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее состояние), справа же налево — поток «освобождений» занятого канала, имеющий интенсивность  (как только будет обслужена очередная заявка, канал либо освободится, либо уменьшится число заявок в очереди).

    

    Рис. 2.1. Одноканальная СМО с ожиданием 

     Изображенная  на рис. 2.1 схема представляет собой  схему размножения и гибели. Используя  общее решение, напишем выражения  для предельных вероятностей состояний: 

 

    или с использованием :

 

     Последняя строка в (2.2) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем р; откуда получаем:

    в связи с чем предельные вероятности принимают вид:

 

     Выражение (2.3) справедливо только при < 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m + 2, и в этом случае

 

     Определим характеристики СМО: вероятность отказа , относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди , среднее число заявок, связанных с системой , среднее время ожидания в очереди , среднее время пребывания заявки в СМО .

     Вероятность отказа. Очевидно, заявка получает отказ  только в случае, когда канал занят  и все т мест в очереди тоже:

 

     Относительная пропускная способность:

 

     Абсолютная  пропускная способность:

 
 

     Средняя длина очереди. Найдем среднее число заявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины R — числа заявок, находящихся в очереди:

 
 

     С вероятностью в очереди стоит одна заявка, с вероятностью — две заявки, вообще с вероятностью в очереди стоят k - 1 заявок, и т. д., откуда:

     Поскольку , сумму в (2.10) можно трактовать как производную по от суммы геометрической прогрессии:

    Подставляя  данное выражение в (2.10) и используя из (2.4), окончательно получаем:

     Среднее число заявок, находящихся в системе. Получим далее формулу для  среднего числа заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку , где — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить . Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться 0 (с вероятностью ) или 1 (с вероятностью 1 - ), откуда:

 

    и среднее число заявок, связанных  с СМО, равно

     Среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его ; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно , и т. д.

     Если  же k = m + 1, т. е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и m заявок в очереди (вероятность  этого ), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:

    если  подставить сюда выражения для вероятностей (2.4), получим:

     Здесь использованы соотношения (2.10), (2.12) (производная  геометрической прогрессии), а также из (2.4). Сравнивая это выражение с (2.12), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

     Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим математическое ожидание случайной величины – время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100 %, очевидно,   , в противном же случае

     Отсюда