Предприятие ЗАО «МеталлИзделиеПлюс» изготавливает кроме основной продукции, также контейнера 0,75 м.куб. Производственная мощность позволяет изготавливать 50, 60 или 65 контейнеров в месяц. Спрос на эти изделия так же может составлять 50, 60 или 65 изделий в месяц. Если изделия полностью не реализуются, то они отправляются на склад предприятия. Затраты на производство 1 контейнера составляют 613006 рублей, а цена реализации – 705055 рублей.     Дополнительные затраты в случае не реализации составляют 55000 рублей на 1 изделие. Необходимо определить ежемесячный объем производства контейнеров. [Приложение 1]

          В этой ситуации можно выделить две стороны: менеджера предприятия, которому необходимо принять решение об объеме производства, действующего сознательно, и спрос на изделия, который не является сознательно действующим противником. Ситуацию можно назвать конфликтной, так как результаты действий одной стороны зависят от действий другой стороны, не всегда благоприятных для первой.

       В нашем примере один игрок  – менеджер предприятия. Его  возможные действия (стратегии): запланировать   производство изделий в объеме  либо 50 шт., либо 60 шт., либо 65 шт. Второй игрок – спрос на изделия (природа). Его возможные действия: установить спрос на изделия в объеме либо 50 шт., либо 60 шт., либо 65 шт.

     Рассчитаем  платежную матрицу. Платежная матрица  будет иметь размерность 3х3, так  как игрок, принимающий решение, имеет три стратегии (А₁ – объем производства 50 шт., А₂ – объем производства 60 шт., А₃ – объем производства 65 шт.), и второй игрок, природа, имеет три стратегии (П₁ – спрос составит 50 шт., П₂ – спрос составит 60 шт., П₃ – спрос составит 65 шт.). Элементу платежной матрицы а₁₁ соответствуют стратегии А₁ и П₁, это значит, что предприятие изготовит 50 шт. изделий, и спрос на них определится в объеме 50 шт., т.е. все изделия будут реализованы за месяц.

     Тогда прибыль предприятия составит (705055 - 613006) руб. * 50 = 4602450 руб., т.е. а₁₁ = 4602450 руб.

     Рассчитаем  теперь элемент платежной матрицы  а₁₂. Ему соответствуют стратегии А₁, П₂, т.е. предприятие изготовит 50 шт. изделий, а спрос на них определится в объеме 60 кг. Таким образом, все изделия проданы, и прибыль предприятия составит (705055 - 613006) руб. * 50 = 4602450 руб., т.е. а₁₂= 4602450 тыс. руб.  Аналогично а₁₃=4602450  руб.

     Рассчитаем  элемент платежной матрицы а₂₁. Предприятие произведет 60 шт. изделий, а спрос на них определится в объеме 50 шт., 10 шт. изделий будут отправлены на склад. Тогда прибыль предприятия рассчитывается следующим образом:

          а₂₁= (705055 - 613006)*50+(-613006-55000)*10=  -977610 руб.

     Рассчитаем  элемент платежной матрицы а₂₂. Предприятие произведет 60 шт. изделий, а спрос на них определится в объеме 60 шт., следовательно все контейнеры будут реализованы:

          а₂₂= (705055 - 613006)*60=5522940 руб.

     Рассчитаем  элемент платежной матрицы а₂₃. Предприятие произведет 60 шт. изделий, а спрос на них определится в объеме 65 шт.:

     а₂₃= (705055 - 613006)*60=5522940 руб.

          Аналогично рассчитаем элементы платежных матриц а₃₁, а₃₂, а₃₃:

           а₃₁= (705055 - 613006)*50+(-613006-55000)*15= -5417640 руб.;

           а₃₂= (705055 - 613006)*60+(-613006-55000)*5= 2182910 руб.;

           а₃₃= (705055 - 613006)*65 =5983185 руб.;

           В результате платежная матрица будет иметь вид:

    

    

      

             Так как  отсутствует информация о вероятностях, с которыми реализуются стратегии природы, то имеем ситуацию неопределенности. Для выбора наилучших стратегий воспользуемся приведенными выше критериями.

     Критерий  Вальда. Этот критерий основан на принципе крайнего пессимизма. Принимающий решение считает, что какую бы стратегию он ни выбрал, природа реализует свое наихудшее состояние. В наихудших условиях принимающий решение находит наилучший выход. Таким образом, принимающий решение для каждой стратегии А_i находит наименьший выигрыш а_i=min а_ij, Затем среди наименьших выигрышей он находит наибольший:

                                                      (1)

     Стратегия , соответствующая будет наилучшей по Вальду. Ее часто называют максиминной стратегией.

     Для каждой из стратегий выберем наименьший выигрыш. Для стратегии А₁ все состояния природы равнозначны, поэтому условно будем считать, что наименьшим выигрышем принимающего решение будет прибыль 4602450 руб., т.е., а₁=4602450 руб. Для стратегии А₂ наихудшим будет состояние природы П₁, а наименьшим выигрышем а₂= -977610 руб. Для стратегии А₃ будет состояние природы П₁, а наименьшим выигрышем будет а₃= -5417640руб. Запишем наименьшие выигрыши принимающего решение в дополнительный столбец платежной матрицы:

              А₂       -977610       5522940       5522940      -977610 

           Далее из наименьших выигрышей принимающий решение выбирает наибольший, т.е. а₁=4602450=max{a₁,a₂,a₃}=max{4602450,-977610,-5417640}  Наибольший из наименьших выигрышей соответствует стратегии А₁. Это будет наилучшая стратегия по критерию Вальда. Таким образом, если руководствоваться принципом крайнего пессимизма (критерием Вальда), то следует изготавливать 50 шт. контейнеров в месяц. При этом прибыль предприятия будет не меньше 4602450 руб. при любом спросе.

      Критерий Сэвиджа. Этот критерий основан на принципе минимизации максимального риска. Риском r_ij, , , принимающего решение называют разницу между тем выигрышем, который он бы получил, если бы знал, какое состояние реализует природа и его реальным выигрышем, то есть, r_ij=β_ij – , где . 
 

      Матрица рисков R имеет вид:

     

     

    

        

    

   Принимающий решение для каждой стратегии А_i находит максимальный риск r_i, r_i= . Затем из максимальных рисков выбирает минимальный:

                  

                (2)

     Стратегия А_i0, соответствующая минимальному из максимальных рисков r_i0, будет наилучшей по Сэвиджу.

     Рассчитаем  риск для каждой пары стратегий природы  и принимающего решение. Если бы менеджер предприятия точно знал, что природа  реализует свое состояние П₁, т.е. спрос составит 50 шт., то он бы выбрал стратегию А₁; при этом предприятие получило бы прибыль 4602450 руб. – наибольшую для состояния природы П_1, β₁=4602450. Для состояния природы П₂ наибольшая прибыль равна β₂=5522940, а для состояния природы П₃- β₃= 5983185.

    По  определению, для стратегии А₁ и состояния природы П₁ риск, r₁₁, составит β₁-а₁₁=4602450-4602450=0, для стратегии А₂ и состояния природы П₁ риск r₂₁ составит r₂₁= β₁-а₂₁=4602450-(-977610) =5580060, для стратегии А₃ и состояния природы П₁ риск r₃₁ составит r₃₁= β₁-а₃₁=4602450-(- 5417640) =10020090.

    Для стратегии А₁ и состояния природы П₂ риск, r₁₂, составит β₂-а₁₂=5522940-4602450=920490, для стратегии А₂ и состояния природы П₂ риск r₂₂ составит r₂₂= β₂-а₂₂=5522940-5522940 =0, для стратегии А₃ и состояния природы П₂ риск r₃₂ составит r₃₂= β₂-а₃₂=5522940-2182910 =3340030.

    Для стратегии А₁ и состояния природы П₃ риск, r₁₃, составит β₃-а₁₃=5983185-4602450=1380735, для стратегии А₂ и состояния природы П₃ риск r₂₃ составит r₂₃= β₃-а₂₃=5983185-5522940=460245, для стратегии А₃ и состояния природы П₃ риск r₃₃ составит r₃₃= β₃-а₃₃=5983185-5983185 =0.

          Получаем матрицу рисков:

    

      =

      

     Далее принимающий  решение для каждой стратегии  выбирает максимальный риск. Для стратегии  А₁ максимальным будет риск, равный 1380735, т.е. r₁=1380735. Аналогично r₂=5580060; r₃=10020090. В матрицу рисков добавляем столбец, содержащий максимальный риск для каждой стратегии:

                

    

                R  = 

    Из  максимальных рисков принимающий решение  выбирает минимальный:

    r₁= min{r₁,r₂,r₃}=min{1380735, 5580060, 10020090}.  То есть минимальному из максимальных рисков соответствует первая стратегия. Наилучшими по критерию Сэвиджа стратегиями будут А₁.

          Критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма. Наилучшей по Гурвицу является стратегия А_i0, соответствующая числу а_i0, которое рассчитывается по формуле:

     

(3)

     Значение  параметра γ задает принимающий  решение на основании своего опыта  и характера. Если γ=1, то критерий Гурвица  преобразуется в критерий крайнего пессимизма:

     

. (4)

     Если  γ=0, то получаем критерий крайнего оптимизма:

     

. (5)

     Обычно, на практике, выбирают 0<γ<1.

          Пусть принимающий решение в равной мере оптимист и  пессимист, и он использует критерий Гурвица, в котором γ=1/5.

     Для каждой стратегии А_i рассчитаем число а_i; :

    а₁=1/5*4602450+4/5*4602450=4602450,

    а₂=1/5*(-977610)+4/5*5522940=4222830,

    а₃=1/5*(-5417640)+4/5*5983185=4899657.

    a₃=max{a₁,a₂,a₃}=max{4602450,4222830, 4899657}= 4899657.

    Числу а₃=4899657 соответствует стратегия А₃, т.е. при таком выборе параметра γ наилучшим по Гурвицу вариантом является выпечка 65 шт. контейнеров.

    Таким образом, лучшей по всем критериям будет  первая стратегия. Однако, в некоторых  задачах разные критерии могут рекомендовать  различные стратегии. Это объясняется  неопределенностью ситуации, и тогда  можно провести дополнительные исследования. И хотя использование игры с природой при принятии решений в условиях неопределенности  не всегда дает однозначный  результат, принимающий решение  упорядочивает данные, определяет состояния  природы и свои возможные решения, оценивает потери и выигрыши для  различных вариантов, что способствует повышению качества принимаемых  решений.

      Критерий выбора  наилучших решений  в условиях риска. Как уже было сказано ранее, в этой ситуации известны вероятности, с которыми реализуются состояния природы. Эти вероятности либо рассчитываются на основе статистических данных, либо определяются экспертным путем. Для принятия решений в условиях риска используется критерий Байеса. Пусть принимающий решение имеет m стратегий, а природа n, причем состояние природы П_j реализуется с вероятностью р_j, для каждой стратегии A_i рассчитывается ожидаемый выигрыш , 

     Наилучший по Байесу будет стратегия А_i, соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу

                      ,                              (6)

       Пусть, спрос на контейнера в объеме 50 шт. устанавливаются с вероятностью р₁=1/5, в объеме 60 шт. с вероятностью р₂=3/5 и в объеме 65 шт. с вероятностью р₃=1/5. Определяем ежемесячный объем производства.

    Так как в этом примере известны вероятности  стратегий природы, то для выбора наилучшей стратегии воспользуемся  критерием Байеса.