Методы принятия решений, основанные на исследовании операций
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Апреля 2013 в 00:15, курсовая работа
Описание
Принятие решений – каждодневная деятельность человека, часть
его повседневной жизни. Простые решения принимаются легко, часто
автоматически, не очень задумываясь; в сложных и ответственных
случаях человек обращается за помощью к друзьям, родственникам,
опытным людям, книгам для подтверждения своего решения, несогласия
с ним или советом. Решения разрабатываются и реализуются с разной
степенью профессионализма, поэтому их диапазон практически
неограничен – от необдуманных до детально разработанных.
Техническая революция середины XX века изменил круг задач,
решаемых человеком, в различных сферах его деятельности.
Содержание
Глава 1. Основные понятия и определения..................................................5
§ 1.1. Принятие решений как особый вид человеческой деятельности ....5
§ 1.2. Люди принимающие решения и их роль в процессе принятия
решений............................................................................................................6
§ 1.3. Альтернативы ........................................................................................8
§ 1.4. Критерии ................................................................................................9
§ 1.5. Оценка важности критериев ..............................................................11
§ 1.6. Многодисциплинарный характер науки о принятии решений ......13
Глава 2. Анализ задач и методов принятия решений................................15
§ 2.1. Схема процесса принятия решений ..................................................15
§ 2.2. Классификация задач принятия решений.........................................18
§ 2.3. Классификация методов принятия решений....................................21
§ 2.4. Системы поддержки принятия решений ..........................................23
Глава 3. Принятие решений на основе метода анализа иерархий ...........25
§ 3.1. Иерархическое представление проблемы.........................................25
§ 3.1.1. Структуризация задачи в виде иерархии.......................................26
§ 3.1.2. Парное сравнение альтернатив (метод парных сравнений) ........27
§ 3.1.3 Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого
уровня.............................................................................................................35
§ 3.1.4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив
(иерархический синтез) ................................................................................45
§ 3.2. Метод сравнения объектов относительно стандартов [2]...............50
§ 3.3. Многокритериальный выбор в иерархиях с различным числом и
составом альтернатив под критериями [2] .................................................53
§ 3.4. Общая характеристика подхода метода анализа иерархий ............57
Глава 4. Методы принятия решений, основанные на исследовании
операций.........................................................................................................62
§ 4.1. Отличительные черты подхода исследования операций................62
§ 4.2. Динамическое программирование ....................................................63
§ 4.2.1 Постановка задачи.............................................................................63
§ 4.2.2. Принцип решения задач динамического программирования .....64
§ 4.2.3. Принцип оптимальности Беллмана. Уравнения Беллмана..........67
§ 4.3. Элементы теории управления запасами ...........................................70
§ 4.3.1.Системы контроля уровня запасов..................................................71
§ 4.3.2. Базовая модель оптимального уровня запасов .............................73
§ 4.3.3. Статическая детерминированная модель с дефицитом ...............78
§ 4.4. Теория массового обслуживания.......................................................81
§ 4.4.1. Потоки событий................................................................................81
§ 4.4.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Финальные вероятности состояний ............................................................83
§ 4.4.3. Процесс гибели и размножения......................................................86
Page 2
4
§ 4.4.4. Формула Литтла ...............................................................................87
§ 4.4.5. Многоканальная система массового обслуживания с отказами
(задача Эрланга) ............................................................................................88
§ 4.4.6. Одноканальная СМО с неограниченной очередью......................90
§ 4.4.7. Многоканальная СМО с неограниченной очередью....................92
Работа состоит из 1 файл
3
Содержание
Глава 1. Основные понятия и определения..................................................5
§ 1.1. Принятие решений как особый вид человеческой деятельности ....5
§ 1.2. Люди принимающие решения и их роль в процессе принятия
решений............................................................................................................6
§ 1.3. Альтернативы ........................................................................................8
§ 1.4. Критерии ................................................................................................9
§ 1.5. Оценка важности критериев ..............................................................11
§ 1.6. Многодисциплинарный характер науки о принятии решений ......13
Глава 2. Анализ задач и методов принятия решений................................15
§ 2.1. Схема процесса принятия решений ..................................................15
§ 2.2. Классификация задач принятия решений.........................................18
§ 2.3. Классификация методов принятия решений....................................21
§ 2.4. Системы поддержки принятия решений ..........................................23
Глава 3. Принятие решений на основе метода анализа иерархий ...........25
§ 3.1. Иерархическое представление проблемы.........................................25
§ 3.1.1. Структуризация задачи в виде иерархии.......................................26
§ 3.1.2. Парное сравнение альтернатив (метод парных сравнений) ........27
§ 3.1.3 Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого
уровня.............................................................................................................35
§ 3.1.4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив
(иерархический синтез) ................................................................................45
§ 3.2. Метод сравнения объектов относительно стандартов [2]...............50
§ 3.3. Многокритериальный выбор в иерархиях с различным числом и
составом альтернатив под критериями [2] .................................................53
§ 3.4. Общая характеристика подхода метода анализа иерархий ............57
Глава 4. Методы принятия решений, основанные на исследовании
операций.........................................................................................................62
§ 4.1. Отличительные черты подхода исследования операций................62
§ 4.2. Динамическое программирование ....................................................63
§ 4.2.1 Постановка задачи.............................................................................63
§ 4.2.2. Принцип решения задач динамического программирования .....64
§ 4.2.3. Принцип оптимальности Беллмана. Уравнения Беллмана..........67
§ 4.3. Элементы теории управления запасами ...........................................70
§ 4.3.1.Системы контроля уровня запасов..................................................71
§ 4.3.2. Базовая модель оптимального уровня запасов .............................73
§ 4.3.3. Статическая детерминированная модель с дефицитом ...............78
§ 4.4. Теория массового обслуживания.......................................................81
§ 4.4.1. Потоки событий................................................................................81
§ 4.4.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Финальные вероятности состояний ............................................................83
§ 4.4.3. Процесс гибели и размножения......................................................86
4
§ 4.4.4. Формула Литтла ...............................................................................87
§ 4.4.5. Многоканальная система массового обслуживания с отказами
(задача Эрланга) ............................................................................................88
§ 4.4.6. Одноканальная СМО с неограниченной очередью......................90
§ 4.4.7. Многоканальная СМО с неограниченной очередью....................92
5
Глава 1. Основные понятия и определения
•принятие решений как особый вид человеческой деятельности,
•люди, принимающие решения, и их роль в процессе принятия
решений,
•альтернативы,
•критерии,
•оценка важности критериев,
•многодисциплинарный характер науки о принятии решений,
•литература к главе 1.
§ 1.1. Принятие решений как особый вид человеческой деятельности
Принятие решений – каждодневная деятельность человека, часть
его повседневной жизни. Простые решения принимаются легко, часто
автоматически, не очень задумываясь; в сложных и ответственных
случаях человек обращается за помощью к друзьям, родственникам,
опытным людям, книгам для подтверждения своего решения, несогласия
с ним или советом. Решения разрабатываются и реализуются с разной
степенью профессионализма, поэтому их диапазон практически
неограничен – от необдуманных до детально разработанных.
Техническая революция середины XX века изменил круг задач,
решаемых человеком, в различных сферах его деятельности. Возникли
новые сложные и непривычные для него проблемы. В течение столетий
люди могли принимать решения, ориентируясь на один-два фактора.
Сейчас положение изменилось. Большое количество задач являются
многокритериальными. Человеку приходится оценивать множество сил,
влияний, последствий и интересов, характеризующих варианты
решения.
Принятие решения в большинстве случаев заключается в
генерации возможных альтернатив решений, их оценке и выборе
лучшей. Для подавляющего большинства человеческих решений нельзя
точно рассчитать и оценить последствия. Можно лишь предполагать,
что определенный вариант решения приведет к наилучшему результату.
Однако такое предположение может оказаться ошибочным.
Что же такое «наилучшее» решение? В исследованиях операций
«наилучшим» считается решение доставляющее оптимум функции,
выражающей цель системы. Более общее определение «правильного»
или «наилучшего» решения в смысле принятия решений будем считать
выбор такой альтернативы из числа возможных, в которой с учетом всех
разнообразных факторов и противоречивых требований будет
оптимизирована общая ценность, то есть она будет в максимальной
степени соответствовать достижению поставленной цели. Отметим, что
в отличии от исследования операций, в теории принятия решений не
6
существует абсолютно лучшего решения. Решения является лучшим
лишь для конкретного лица принимающего решение, в отношении
поставленных им целей, при заданных условиях. Эта субъективная
оценка оказывается в настоящее время единственно возможной основой
объединения разнородных физических параметров решаемой проблемы
в единую модель, позволяющую оценивать варианты решений. В этой
субъективности нет ничего плохого. Опытные руководители хорошо
осознают, сколько личного и субъективного они вносят в принимаемые
решения. С другой стороны, об успехах и неудачах большинства
человеческих решений люди могут судить исходя только из своих
субъективных предпочтений.
§ 1.2. Люди принимающие решения и их роль в процессе принятия
решений
В процессе принятия решений люди могут играть разные роли.
Под лицом, принимающим решения (ЛПР), будем понимать субъекта,
который всерьез намерен устранить стоящую перед ним проблему,
выделить на ее разрешение и реально задействовать имеющиеся у него
активные ресурсы, суверенно воспользоваться положительными
результатами от решения проблемы или взять на себя всю
ответственность за неуспех, неудачу, за напрасные расходы [1].
В качестве ЛПР может выступать группа принимающая решения
(ГПР). Примером ГПР могут быть судьи в фигурном катании, бальных
танцах и других подобных видах спорта, комиссии на выделение
грантов ученым, аттестационные комиссии в учебных заведениях и пр.
Главное в деятельности ГПР – достижение согласия при выработке
совместных решений.
Иногда наряду с лицом принимающим решения выделяют
владельца проблемы, если таковыми являются различные люди. В таком
случае, владелец проблемы – человек решающий проблему и
ответственный за принятые решения, а ЛПР – человек, фактически
осуществляющий выбор наилучшего варианта действия.
Активная группа – группа людей, имеющая общие интересы и
старающаяся оказать влияние на процесс выбора и его результат.
Примерами таких групп являются политические фракции, которые
стараются повлиять определенным образом на политическую,
экономическую, социальную жизнь страны. Даже небольшие группы
людей могут при активных действиях влиять как на процедуры, так и на
результат процесса принятия решений [2]. В связи с этим, опытный ЛПР
уже на первых этапах изучения проблемы выделяет активные группы,
оценивает по их критериям имеющиеся альтернативы и пытается найти
решение, удовлетворяющее все стороны. Учет интересов активных
групп не должен приводить ЛПР к отказу от собственных целей и
7
предпочтений. Часто ЛПР идет на дополнительные расходы, чтобы
получить вариант решения, приемлемый для всех участников выбора.
В процессе принятие решений человек может выступать в
качестве эксперта. Эксперт – это человек, который лично работает в
рассматриваемой
области
деятельности, является
признанным
специалистом по решаемой проблеме, может и имеет возможность
высказать суждения по ней в доступной для ЛПР форме. Как
установлено Эриксоном, процесс становления эксперта довольно
длительный, и при благоприятных условиях человек формируется как
эксперт в определенной области не менее чем за 10 лет [4]. Этот
универсальный факт справедлив для различных областей науки,
искусства и спорта. Большую роль в становлении эксперта играют
постоянные упражнения, и, как показывают исследования, время
упражнений и руководство опытного учителя, особенно на начальных
этапах, являются основными факторами становления эксперта [2].
В литературе можно встретить и другие и цифры. Так, например,
Смирнов Э.А. говорит о том, что в технических системах, человек может
самостоятельно стать хорошим специалистом через 2-4 года; в
биологических системах – через 6-8 лет; и лишь в социальных системах
через 10-12 лет [5]. В связи с этим будем отличать специалиста от
эксперта. Существенными признаками, отличающими эксперта от
специалиста, будут признание его заслуг, умение высказываться на
языке понятном ЛПР, наличие у него разрешения на высказывание
своего мнения, личная заинтересованность в сотрудничестве с ЛПР по
рассматриваемой проблеме [1].
В современном мире резко возросла сложность принятия
разумных решений. При принятии сложных решений в их подготовке
иногда принимает участие консультант по принятию решений.
Консультант обычно не вносит свои предпочтения, оценки в принятии
решений. Он помогает ЛПР в формулировании проблемы; выявляет
позиции активных групп, сильные и слабые стороны предлагаемых ими
критериев и альтернатив; обеспечивает работу с экспертами и
экспертными группами; помогает выработать разумное компромиссное
решение.
8
§ 1.3. Альтернативы
Альтернатива – это один из возможных способов достижения цели
или один из конечных вариантов решений. Альтернативы отличаются
друг от друга последовательностью и приемами использования
активных ресурсов. Для любой задачи принятия решений должна
существовать тройка: цель, критерии, альтернативы. Если отсутствует
один из компонентов, то проблема не поставлена. При наличии менее
двух альтернатив, отсутствует выбор.
Задача формирования исходного множества альтернатив –
составная часть процесса принятия решений. Даже если выбор
ограничен
плохими,
очень
плохими
и
абсолютно
неудовлетворительными альтернативами, - всегда существует наиболее
благоприятное решение.
Альтернативы могут быть зависимыми и независимыми. Если
действие над какой-либо альтернативой не влияет на качество других, то
такая альтернатива является независимой. При зависимых альтернативах
оценки одних из них оказывают влияние на качество других.
Задачи
принятия
решений
существенно
различаются
в
зависимости от наличия альтернатив на момент выработки политики и
принятия решений. В некоторых задачах все возможные альтернативы
известны и из них производится выбор наилучшей. Например, можно
выбирать лучший университет, наиболее надежный банк или же банк с
оптимальным соотношением выгода-риск, наиболее благоприятный
район для покупки квартиры и т.д. Существует множество задач, в
которых все альтернативы или их часть появляются после принятия
решений. Например, требуется разработать правила отбора лиц на
предоставление грантов на конкурсной основе. Альтернативы в такой
задаче появляются после разработки и декларации правил отбора.
Также существуют задачи, когда на основе рассмотрения
имеющихся альтернатив возникают новые альтернативы. Первичные
альтернативы не всегда удовлетворяют участников процесса выбора.
Рассматривая их, участники понимают чего же все-таки не хватает, что
реализуемо при данной ситуации, а что нет. Этот класс задач можно
назвать задачами с конструируемыми альтернативами.
9
§ 1.4. Критерии
В современной науке о принятии решений считается, что
варианты решений (альтернативы) характеризуются различными
показателями их привлекательности для ЛПР. Эти показатели называют
признаками, факторами, атрибутами, критериями [2].
Пусть задано некоторое конечное множество альтернатив
A
. Из
множества
A
или любого его подмножества
X
необходимо выделить
одно или несколько вариантов решений в некотором смысле лучших или
более соответствующих каким-либо заранее оговоренным условиям. Для
решения этой задачи обычно используется следующий подход [3]:
Множество вариантов
A
проецируется на числовую ось, так что
каждому варианту соответствует конкретная точка числовой оси. В одну
и ту же точку может либо не может проецироваться более одного
варианта. Числовая ось, на которую спроецировано множество
вариантов
A
, называется шкалой. Сам процесс проецирования, то есть
приписывания элементам из
A
числовых значений, соответствующих
точкам числовой оси, в которые они проецируются – шкалированием.
Если после такого проецирования упорядочить все варианты из
A
по
величине приписанных им числовых оценок и сохранить за вариантами
лишь их порядковый номер, то образованная таким образом шкала
называется порядковой или ранговой.
Если вариант считается тем «лучше» или тем более
соответствующим заранее фиксированной цели выбора, чем большая
(или меньшая) числовая или ранговая оценка приписывается варианту,
то шкала называется критерием для выбора или критериальной шкалой.
Рассмотрим вариант
A
x∈
и выразим его критериальную оценку,
т.е. числовое значение той точки шкалы, в которую вариант
спроецирован через
)
(x
f
. Обозначим через
)
(x
f
функцию, заданную
на всех вариантах
x
из
A
и имеющую числовые значения
определяемые критериальной шкалой. Такая функция и называется
критерием.
Критерий – это способ выражения различий в оценке
альтернативных вариантов с точки зрения участников процесса выбора,
т.е. показатель привлекательности вариантов решений. Именно с
помощью критерия ЛПР будет судить о предпочтительности исходов, а
значит, и способов проведения операции по решению проблемы.
Значимость того или иного из выбранных критериев определяется
именно тем, что ЛПР не считает возможным выносить суждения о
предпочтительности исхода операции, если именно того или иного
критерия оценки недостает.
В профессиональной деятельности выбор критериев часто
определяется многолетней практикой, опытом. В подавляющем
большинстве задач выбора имеется достаточно много критериев оценок
вариантов решений. Существует ряд свойств или требований, которым
10
должен (по возможности) удовлетворять набор критериев. Набор
критериев должен быть: полным, действенным, разложимым,
неизбыточным и минимальным.
Полнота набора означает, что он должен охватывать все важные
аспекты проблемы. Набор критериев является полным, если с его
помощью можно показать степень достижения общей цели, то есть
набор из
n
критериев полон, если зная значения n-мерного критерия,
связанного с общей целью, ЛПР имеет полное представление о степени
достижения общей цели.
Действенность критериев. ЛПР должен понимать смысл
критериев и влияние их действий на обсуждаемую проблему. Критерии
должны быть такими, чтобы их можно было объяснять другим,
особенно в тех случаях, когда важнейшей целью работы является
выработка и защита определенной позиции. Поскольку смысл анализа
решений помочь ЛПР выбрать лучший курс действий, то и критерии
должны служить этой цели.
Разложимость. При использовании n критериев необходимо
построить n-мерную функцию предпочтений. Для задач с большим
числом критериев полезно произвести декомпозицию задачи и
разложить ее на подзадачи, каждая из которых содержит меньшее число
критериев. То есть желательно, чтобы набор критериев был разложим.
Неизбыточность. Критерии должны быть определены так, чтобы
не дублировался учет одних и тех же аспектов решаемой проблемы.
Минимальная размерность. Желательно, чтобы набор критериев
оставался настолько малым, насколько это возможно. Увеличение числа
критериев приводит, с одной стороны, к анализу решаемой задачи в
более широком плане, с другой стороны, может сильно усложнить и
запутать анализ, что приведет к ошибочности результатов.
Формальные
методы
формирования
набора
критериев
предложить трудно. Они очень сильно зависят от опыта и способности
экспертов и, что крайне важно, характера лица, принимающего решения.
11
§ 1.5. Оценка важности критериев
Оценка значимости критерия (его «веса») играет большую роль в
формализованных процедурах формирования решения.
Существует много методов оценки важности критериев,
связанных главным образом с оценкой «весов» критериев экспертами
или ЛПР. Методы работы с экспертами – специальная проблема,
которую мы рассматривать не будем.
Рассмотрим возможный подход, опирающийся на оценку
существующего и желательного состояния. Достаточно условно методы
определения «весов» приоритетов можно подразделить на три
категории.
1. В первом случае используются опыт и знания ЛПР. Составляется
список критериев, и ЛПР вычеркивает из списка критерии которые с его
точки зрения не имеют большого значения. При отсутствии в списке
необходимых критериев, ЛПР может его дополнить. Определение «веса»
каждого критерия не формализуется.
2. Во втором случае значимость критериев определяется на основе
оценок текущего и желательного состояния объекта по каждому
критерию, опыта и знаний. Введем в рассмотрение два подпространства
S
и
D
в пространстве критериев.
m
R
S ⊆
– это подмножество
m
–
мерного Евклидова пространства (
m
– число критериев), в котором
желательно иметь значения критериев, характеризующих объект, т.е.
S
– это подмножество, в котором может быть найдено решение. В тех
случаях, когда желаемое состояние задается координатами, а не
интервалами, подмножество
S
может состоять из одной точки
0
s
.
D
- это множество точек в этом же пространстве , определяющих
по оценкам ЛПР текущее состояние объекта, относительно которого
принимается решение. Множество
D
может состоять из одной точки
0
d
, если текущее состояние задается координатами, а не интервалами.
При таком подходе значимость
j
–го критерия
j
K
будет некоторой
функцией от значений
j
–го критерия в областях
D
и
S
, обозначим их
соответственно
D
j
K
и
S
j
K
.
)
,
(
S
j
D
j
j
j
K
K
f
K
⋅
=
γ
Возможные конкретные виды функции
f
- это разность
S
j
K
и
D
j
K
, показывающая насколько надо улучшить положение или их
частное, показывающее во сколько раз надо улучшить положение.
3. В третьем случае значимость критериев определяется на
основе оценок текущего и желательного состояние объекта по каждому
критерию, динамики объекта при нулевых управляющих воздействиях
по каждому критерию, опыта и знаний. Введем еще одно
12
подпространство
)(t
H
в том же критериальном пространстве
m
R
. Это
подпространство, к которому могут принадлежать значения критериев,
характеризующих объект по оценкам ЛПР через время
t
, если на объект
не подавать управляющих воздействий.
Если через
)
(t
H
j
K
обозначить значение, которое
j
–ый критерий
примет через время
t
, то
)
,
,
(
)
(t
H
j
S
j
D
j
j
j
K
K
K
f
K
⋅
=
γ
Возможны различные конкретные виды этой функции, например:
[
]
)
(
(
)
(
t
H
j
D
j
j
D
j
S
j
j
j
j
K
K
K
K
K
−
⋅
+
−
⋅
=
β
α
γ
или
⋅
+
⋅
=
)(t
H
j
D
j
j
D
j
S
j
j
j
j
K
K
K
K
K
β
α
γ
j
α
и
j
β
- коэффициенты, характеризующие относительную важность
разности (частного)
S
j
K
,
D
j
K
и ,
D
j
K
)
(t
H
j
K
.
Во многих случаях целесообразно сосредоточить основное
внимание на наиболее важных критериях, установив некоторый порог
const
K
j
≥
, где
m
j
,1
=
. Такой подход иногда имеет место в кризисных
ситуациях или когда критериев оказывается слишком много.
Коэффициенты
j
α
и
j
β
трудно определить на основе какой-либо
формальной процедуры, исключая опрос экспертов. Однако они могут
быть определены ЛПР в качестве лингвистических переменных: «
j
α
существенно больше
j
β
» или «
j
α
незначительно больше
j
β
» и т.д.,
что во многих случаях может быть сделано ЛПР исходя из его
субъективных представлений о важности динамической составляющей в
оценке критериев.
Для того чтобы выразить коэффициент
j
γ
, можно использовать
следующие подходы:
• выразить непосредственно в баллах;
• сравнить с некоторым базовым критерием;
• попарно сравнить важности критериев (подход метода
аналитической иерархии).
13
§ 1.6. Многодисциплинарный характер науки о принятии решений
Термин «принятие решений» встречается в различных научных
дисциплинах. Прежде всего следует назвать экономику. Экономика
определяет правила рационального поведения людей в задачах выбора.
Поведение человека в задачах принятия решений имеет
специфические особенности, которые определяются характеристиками
человеческой системы переработки информации. Такие особенности
исследуются в рамках когнитивной психологии.
В политологии одним из главных объектов изучения является
механизм принятия лидерами политических решений. Принятие
решений широко используется в исследовании операций. Теории
активных систем и искусственного интеллекта, зоология, информатика и
многие другие научные направления затрагивают проблемы принятия
решений. Центральным для этих проблем является сам акт выбора
человеком одного из вариантов решений. В отличии от других научных
дисциплин в науке о принятии решений основным предметом является
исследование процесса выбора. Эта наука изучает, как человек
принимает решения и как следует ему в этом помогать, создавая
специальные методы и компьютерные системы. Управление, принятие
решений в любой предметной области требует от ЛПР знания
инструментов, которые помогают определить оптимальную допустимую
политику.
Принятие решений – это прикладная научная дисциплина. В
развитии принятия решений как научного направления принимают
участие математики, психологи,
политологи, специалисты по
искусственному интеллекту, теории организации, информатики,
вычислительной технике.
14
Литература к главе 1
1. Варфоломеев В.И., Воробьев С.Н. Принятие управленческих
решений: Учеб. пособие для вузов. – М.:КУДИЦ-ОБРАЗ, 2001. – 288 с.
2. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также
Хроника событий в Волшебных странах: Учебник. – М.: Логос, 2000. –
296 с.
3. Трахтенгерц Э.А Компьютерная поддержка принятия решений:
Научно-практическое издание. Серия «Информатизация России на
пороге XXI века». – М.: СИНТЕГ, 1998. – 376 с.
4. Ericson K.A. The acquisition of expert performance: introduction to
some of the issues// K.A.Ericson (Ed.). The road to excellence: the acquisition
of expert performance in the arts and sciences, sport and games. Hillsdale, NJ:
Lawrence Erlbaum Associates, 1996.
5. Смирнов Э.А. Управленческие решения. – М.: ИНФРА-М, 2001.
– 264 с.
15
Глава 2. Анализ задач и методов принятия решений
• схема процесса принятия решений,
• классификация задач принятия решений,
• классификация методов принятия решений,
• системы поддержки принятия решений,
• литература к главе 2.
§ 2.1. Схема процесса принятия решений
В классической книге лауреата нобелевской премии профессора
Г. Саймона «The New Science of Management Decision», 1960 процесс
принятия решений разбит на четыре фазы: сбор информации
(intelligence); поиск и построение альтернатив (design); выбор
альтернатив (choice); оценка результатов (review). Первая фаза – сбор
информации, сконцентрирована на идентификации проблемы принятия
решения и сборе всей доступной информации о ней. При поиске и
построении альтернатив (вторая фаза) центральным вопросом
становится определение относительно небольшого числа альтернатив
которые следует изучить в деталях. На третьей фазе происходит выбор
одного
из
вариантов
решений
из
множества
альтернатив,
подготовленных на второй фазе. Последний шаг в процессе принятия
решений – это реализация выбранной альтернативы и обобщение опыта,
полученного в процессе решения проблемы.
Таким образом, само решение принимается в рамках второй и
третьей фаз:
•конструирование
относительно
небольшого
множества
альтернатив;
•окончательный выбор варианта решения из сформированного
множества.
Схематически две эти фазы представлены на рисунке 1. Фазы
существенным образом различаются как целями и информацией, так и
методами. На фазе, в которой одним из вопросов является выбор
относительно небольшого числа альтернатив (эту фазу часто называют
early screening), ЛПР должен принять во внимание все возможные пути
достижения цели. В процессе же детального анализа и окончательного
выбора альтернативы, ЛПР ограничивает себя малым числом
подготовленных вариантов решений. Выбору альтернативы из этого
числа предшествует их детальное изучение.
16
Рис. 1. Фазы процесса принятия решений
Рассмотрим схему процесса принятия решений из книги
Варфоломеева В.И. и Воробьева С.Н., рисунок 2.
Основу принятия всех решений на всех этапах процесса
выработки решений составляют предпочтения ЛПР. Несомненно,
целесообразным началом процесса принятия решений должна стать
формализация предпочтений. После того как предпочтения ЛПР
формализованы с требуемым качеством, а также получена необходимая
информация о предпочтениях, переходят к следующему важному шагу
принятия решений – к построению функции выбора.
Функция выбора в теории принятия решений
имеет
фундаментальное значение. Именно на ее построение, в конечном итоге,
ориентированы решение задач формирования исходного множества
альтернатив, анализ условий проведения операций, выявление и
измерение предпочтений ЛПР.
Задача формирования исходного множества альтернатив не
поддается полной формализации. Решение этой задачи – творческий
процесс, в котором главная роль принадлежит ЛПР.
Альтернативные
пути решения
проблемы
Построение
множества
альтернатив
Детальный
анализ и
выбор
Окончательно
решение
Несколько
альтернатив
17
Рис.2. Схема процесса принятия решений
Множеству альтернатив предъявляются определенные требования.
Во-первых, множество альтернатив должно быть по возможности более
широким. Это обеспечит в дальнейшем необходимую свободу выбора
решений ЛПР и сведет к минимуму возможность упустить «лучшее»
решение. Однако это первое принципиальное требование входит в
противоречие со вторым, вытекающим из принципа соответствия
решения времени, месту и возможностям ЛПР. Следовательно, во-
вторых, исходное множество альтернатив должно быть обозримым,
достаточно узким, чтобы у ЛПР было достаточно времени, для оценки
последствий и предпочтительности альтернатив при сложившихся
ограничениях на ресурсы.
Для удовлетворения двух указанных противоречий сначала
формируют
множество
альтернатив, все
элементы
которого
потенциально, по их облику, по скрытым в них возможностям
обеспечивают достижение целевого результата в сложившейся
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
Отыскание рациональных альтернатив
Выбор наилучшего варианта решения для реализации
Построение функции выбора
В условиях определенности:
• по скалярному критерию;
• по векторному критерию;
• в условиях стохастической неопределенности;
• в условиях поведенческой неопределенности;
• в условиях природной неопределенности
Содержательный анализ рациональных альтернатив
(интеграция и адаптация к особенностям реальной
проблемной ситуации)
Разработка плана и реализация принятого
Оценка фактически достигнутых результатов
18
обстановке. Полученное таким образом множество претендентов на
способ решения проблемы называют множеством целевых альтернатив.
Затем из множества целевых альтернатив отбирают те варианты,
которые являются логически непротиворечивыми и могут быть
реализованы в отпущенные на операцию сроки. Кроме того, отбираемые
альтернативы должны быть удовлетворены необходимыми активными
ресурсами и отвечать общей системе предпочтений ЛПР.
Эти отобранные из целевых альтернатив варианты назовем
физическими альтернативами из числа целевых. Остальные варианты,
потенциально приводящие к цели, но физически нереализуемые,
отбрасываем.
Полученные в результате подобных манипуляций варианты
дополняют
способами действий, придающими альтернативам
необходимую гибкость и устойчивость по отношению к изменяющимся
или неизвестным на данный момент компонентам условий проведения
операции. В итоге получается исходное множество альтернатив.
Осознанный выбор должен производиться на основе сравнения
результатов оценки альтернатив. Поэтому задача оценки альтернатив
имеет главной целью получение для каждой альтернативы значений
результатов, характеризующих интенсивность существенных свойств
исходов операции, планируемой к проведению в заданных условиях.
При решении таких задач строятся модели желаний, предпочтений,
политики человека, принимающего решения.
Оценка фактических результатов есть итог, проведенной ЛПР,
операции. Целью этой операции является накопление опыта и
пополнение базы данных и знаний о причинах успехов и неудач. В
будущем такой опыт и знания помогут избежать серьезных ошибок в
управлении при решении сходных проблем, повысить эффективность
будущих решений.
§ 2.2. Классификация задач принятия решений
Задачи принятия решений отличаются большим многообразием,
классифицировать
их
можно
по
различным
признакам,
характеризующим количество и качество доступной информации. В
общем случае задачи принятия решений можно представить следующим
набором информации:
)
,
,
,
,
,
,
(
D
G
F
X
K
A
T
где
T
– постановка задачи;
A
– множество допустимых альтернативных вариантов;
K
– множество методов измерения предпочтений;
X
– множество методов измерения предпочтений (например,
использование различных шкал);
F
– отображение множества допустимых альтернатив в
множество критериальных оценок;
19
G
– системы предпочтений эксперта;
D
- решающее правило, отражающее систему предпочтений.
Любой
из
элементов
этого
набора
может
служить
классификационным признаком принятия решений.
По виду отображения F. Попытки применения исследования
операций для решения различного класса задач выявили большие
различия в природе изучаемых систем. В связи с этим Г. Саймоном и
А. Ньюэллом была предложена следующая классификация.
1. Хорошо
структурированные
или
количественно
сформулированные проблемы, в которых существенные зависимости
выяснены настолько хорошо, что они могут быть выражены в числах
или символах, принимающих в конце концов численные оценки.
2. Слабоструктурированные или смешанные проблемы, которые
содержат как качественные, так и количественные элементы, причем
качественные, малоизвестные и неопределенные стороны имеют
тенденцию доминировать.
3. Неструктурированные или качественно выраженные проблемы,
содержащие лишь описание важнейших ресурсов, признаков и
характеристик, количественные зависимости между которыми совершенно
неизвестны.
Согласно этой классификации проблемы исследования операций
можно назвать хорошо структурированными. В типичных задачах
исследования операций объективно существует реальность, допускающая
строгое количественное описание и определяющая существование
единственного очевидного критерия качества. Этот класс задач широко
применяется при оценке и выборе элементов технических устройств,
например: оптимизация форм корпуса самолетов или кораблей, управление
электростанцией,
расчет
радиоактивного
заражения
местности,
минимизация затрат на перевозки и т.д. Для этих задач существуют
адекватные математические модели процессов и/или устройств, и
существуют данные, позволяющие априорно определить параметры
моделей.
Характерными особенностями проблем третьего класса являются:
• уникальность выбора в том смысле, что каждый раз проблема
является новой для ЛПР, либо обладает новыми особенностями по
сравнению со встречавшейся ранее подобной;
• неопределенность в оценках альтернативных вариантов решений
проблемы;
• качественный характер оценки вариантов решения проблемы,
чаще всего формулируемой в словесной форме;
• оценка альтернатив может быть получена лишь на основе
субъективных предпочтений ЛПР или ГПР;
• критериальные оценки могут быть получены только от экспертов.
20
К этому классу
проблем относятся, например, проблемы
планирования научных исследований, конкурсного отбора проектов,
планирования развития города и т.д.
Ко второму классу проблем относят многие смешанные задачи,
использующие как эвристические предпочтения, так и аналитические
модели. Сюда относятся многие проблемы, связанные с экономическими
и политическими решениями, проблемы медицинской диагностики и т.п.
По постановке задачи Т. Задачи принятия решений можно разбить
на две группы:
Задачи первой группы:
Дано: группа из
n
альтернатив-вариантов решения проблемы и
N
критериев, предназначенных для оценки альтернатив; каждая из
альтернатив имеет оценку по каждому из критериев.
Требуется: построить решающие правила на основе предпочтений
ЛПР, позволяющие: выделить лучшую альтернативу; упорядочить
альтернативы по качеству; отнести альтернативы к упорядоченным по
качеству классам решений.
Задачи второй группы:
Дано: группа из
N
критериев, предназначенных для оценки
любых возможных альтернатив; альтернативы либо заданы частично,
либо появляются после построения решающего правила.
Требуется: на основании предпочтений ЛПР построить решающие
правила, позволяющие: упорядочить по
качеству все возможные
альтернативы; отнести все возможные альтернативы к одному из
нескольких (указанных ЛПР) классов решений.
Примером задач перовой группы является многокритериальная
оценка имеющихся на рынке провайдеров сотовой связи, имеющихся в
продаже товаров и т.д. Здесь все возможные альтернативы заданы,
критерии определены ЛПР. От ЛПР требуется построить правило
сравнения объектов, имеющих оценки по многим критериям.
Примером задач второй группы является построение правила
принятия решений для фонда, распределяющего ресурсы на научные
исследования. Проекты проведения исследований еще не поступили, но
критерии оценки и решающее правило должны быть определены
заранее. Критерии и решающее правило определяет ЛПР.
По типу системы предпочтений эксперта G. Предпочтения могут
формироваться одним лицом или коллективом, в зависимости от этого
задачи принятия решений можно классифицировать на задачи
индивидуального принятия решений и задачи коллективного принятия
решений.
По мощности множества критериев выбора К. Множество
критериев выбора может содержать один элемент или несколько. В
21
соответствии с этим задачи принятия решений можно разделить на
задачи со скалярным критерием и задачи с векторным критерием.
По обстановке, в которой принимается решение. Обстановку, в
которой принимается решение можно подразделить на стабильную и
экстремальную.
При принятии решений в стабильной обстановке ЛПР, как
правило, имеет больше времени для сбора и анализа данных и оценки
принимаемых решений.
Принятие решений в экстремальной ситуации характеризуется
острым дефицитом времени и, в большинстве случаев, быстро
меняющейся обстановкой. Эти два фактора сильно усложняют процесс
принятия решений для ЛПР.
§ 2.3. Классификация методов принятия решений
Существует множество классификаций методов принятия
решений, основанных на применении различных признаков. В таблице 1
приведена одна из возможных классификаций, признаками которой
являются содержание и тип получаемой экспертной информации.
Используемый принцип классификации позволяет достаточно четко
выделить четыре большие группы методов, причем три группы
относятся к принятию решений в условиях определенности, а четвертая
– к принятию решений в условиях неопределенности. Из множества
известных методов и подходов к принятию решений наибольший
интерес представляют те, которые дают возможность учитывать
многокритериальность и неопределенность, а также позволяют
осуществлять выбор решений из множества альтернатив различного
типа при наличии критериев, имеющих разные типы шкал.
22
Таблица 1.
Классификация методов принятия решений
№
Содержание
информации
Тип информации
Метод принятия решений
1
Экспертная
информация не
требуется
• метод доминирования;
• метод на основе глобальных критериев
2
Информация о
предпочтенииях
на множестве
критериев
Качественная
информация
Количественная
оценка
предпочтитель-
ности критериев
Количественная
информация о
замещениях
• лексикографическое упорядочивание;
• сравнение
разностей
критериальных
оценок;
• метод припасовывания.
• метод «эффективность–стоимость»;
• методы свертки на иерархии критериев;
• методы порогов;
• методы идеальной точки.
• метод кривых безразличия;
• методы теории ценности.
3
Информация о
предпочти-
тельности
альтернатив
Оценка
предпочтитель-
ности парных
сравнений
• методы
математического
программирования;
• линейная и нелинейная свертка при
интерактивном способе определения ее
параметров.
4
Информация о
предпочтениях
на множестве
критериев и о
последствиях
альтернатив
Отсутствие
информации о
предпочтениях;
количественная
и/или интервальная
информация о
последствиях
Качественная
информация о
предпочтениях и
количественная о
последствиях
Качественная
информация о
предпочтениях и
последствиях
Количествен-ная
информация о
предпочтениях и
последствиях
• методы
с
дискретизацией
неопределенности;
• стохастическое доминирование;
• методы принятия решений в условиях
риска и неопределенности на основе
глобальных критериев;
• метод анализа иерархий;
• методы теории нечетких множеств.
• методы
практического
принятия
решений;
• методы
выбора
статистически
ненадежных решений.
• методы
кривых
безразличия
для
принятия решений в условиях риска и
неопределенности;
• методы деревьев решений;
• декомпозиционные
методы
теории
ожидаемой полезности.
23
В свою очередь, среди методов, образующих четвертую группу,
наиболее перспективными являются декомпозиционные методы теории
ожидаемой полезности, методы анализа иерархий и теории нечетких
множеств. Эти методы в наибольшей степени удовлетворяют
требованиям универсальности, учета многокритериальности выбора в
условиях неопределенности из дискретного или непрерывного
множества альтернатив, простоты подготовки и переработки экспертной
информации.
§ 2.4. Системы поддержки принятия решений
Системы поддержки принятия решений существуют очень давно:
это военные советы, коллегии министров, всевозможные совещания,
аналитические центры и т.д. Хотя они никогда не назывались системами
поддержки принятия решений, но выполняли именно их задачи.
Увеличение объема информации, поступающей в органы
управления и непосредственно к руководителям, усложнение решаемых
задач, необходимость учета большого числа взаимосвязанных факторов
и быстро меняющаяся обстановка настоятельно требуют использовать
вычислительную технику в процессе принятия решений. В связи с этим
появился новый класс вычислительных систем – системы поддержки
принятия решений.
Термин «система поддержки принятия решений» появился в
начале семидесятых годов, и за это время было дано большое число
определений этого понятия:
1. Системы поддержки принятия решений являются человеко-
машинными объектами, которые позволяют лицам, принимающим
решения, использовать данные, знания, объективные и субъективные
модели
для
анализа
и
решения
слабоструктурированных
и
неструктурированных проблем.
2. Система поддержки принятия решений – это компьютерная
система, позволяющая ЛПР сочетать собственные субъективные
предпочтения с компьютерным анализом ситуации при выборе
рекомендаций в процессе принятия решения.
3. Система поддержки принятия решений – компьютерная
информационная система, используемая для различных видов
деятельности при принятии решений в ситуациях, где невозможно или
нежелательно
иметь
автоматическую
систему,
полностью
выполняющую весь процесс.
Все три определения не противоречат, а дополняют друг друга и
достаточно полно характеризуют систему поддержки принятия
решений.
Человеко-машинная процедура принятия решений с помощью
систем
поддержки
представляет
собой
циклический
процесс
взаимодействия человека и компьютера. Цикл состоит из фазы анализа и
24
постановки задачи для компьютера, выполняемой ЛПР, и фазы
оптимизации (поиска решения), реализуемой компьютером.
Системы поддержки принятия решений:
• помогают произвести оценку обстановки, осуществить выбор
критериев и оценить их относительную важность;
• генерируют возможные решения;
• осуществляют оценку решений и выбирают лучшее;
• обеспечивают постоянный обмен информацией об обстановке
принимаемых решений и помогают согласовать групповых решения;
• моделируют принимаемые решения;
• осуществляют динамический компьютерный анализ возможных
последствий принимаемых решений;
• производят сбор данных о результатах реализации принятых
решений и осуществляют оценку результатов.
Литература к главе 2
1. Варфоломеев В.И., Воробьев С.Н. Принятие управленческих
решений: Учеб. пособие для вузов. – М.:КУДИЦ-ОБРАЗ, 2001. – 288 с.
2. Трахтенгерц Э.А Компьютерная поддержка принятия решений:
Научно-практическое издание. Серия «Информатизация России на
пороге XXI века». – М.: СИНТЕГ, 1998. – 376 с.
3. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также
Хроника событий в Волшебных странах: Учебник. – М.: Логос, 2000. –
296 с.
4. Lotov A., Bushenkov V., Kamenev G. Feasible Goals Method
Search for Smart Decisions, Moscow, RAS, 2001.
25
Глава 3. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
• иерархическое представление проблемы,
• метод сравнения объектов относительно стандартов,
• многокритериальный выбор в иерархиях с различным числом и
составом альтернатив под критериями,
• общая характеристика подхода метода анализа иерархий,
• литература к главе 3.
§ 3.1. Иерархическое представление проблемы
Метод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process - AHP), или
подход аналитической иерархии предполагает декомпозицию проблемы
на простые составляющие части и обработку суждений ЛПР. В
результате определяется относительная значимость исследуемых
альтернатив
для
всех
критериев, находящихся
в
иерархии.
Относительная значимость выражается численно в виде векторов
приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются
оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким
оценкам.
Постановка задачи, решаемой с помощью метода AHP,
заключается обычно в следующем.
Дано: общая цель решения задачи; критерии оценки альтернатив;
альтернативы. Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.
Подход AHP состоит из совокупности этапов:
1. Структуризация задачи виде иерархической структуры с
несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.
2. Попарное сравнение элементов каждого уровня лицом,
принимающим решения. Результаты сравнения имеют числовой
характер.
3. Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого
уровня. Проверка согласованности суждений ЛПР.
4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив. Выбор
лучшей альтернативы.
26
§ 3.1.1. Структуризация задачи в виде иерархии
Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы
исследования. Далее строится иерархия, включающая цель на верхнем
уровне, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы,
формирующие самый нижний иерархический уровень (рисунок 3).
Рис. 3. Иерархическое представление проблемы
Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а
нижний – их порядковый номер.
Рассмотрим процесс построения иерархической структуры на
примере.
Пример: В современном мире для эффективного руководства
необходимо иметь максимум информации, причем оперативной и
постоянно обновляемой, также необходимо быстро принимать решения
и с оптимальной скоростью притворять их в жизнь, доводить до
подчиненных. В связи с этим современный бизнес просто немыслим без
передовых средств связи, в частности, мобильного телефона. Телефон
стал неотъемлемым атрибутом делового человека.
Для эффективного использования сотовой связи необходимо
правильно выбрать оператора связи. При выборе оператора нужно
учесть ряд критериев:
• доступность в любое время, в любом месте;
• средняя стоимость услуг;
• удобство оплаты;
• спектр предоставляемых дополнительных услуг;
• и пр.
Учитывая все это, структура решаемой проблемы: выбор
оператора связи из имеющихся на рынке, - может быть представлена в
виде иерархической структуры, представленной на рисунке 4.
Е
1
1
Е
1
2
Е
1
3
Е
2
2
Е
2
3
Е
3
3
А
1
А
2
27
.........
Рис. 4. Иерархическая схема проблемы выбора оператора сотовой связи
Во многих случаях на уровне альтернатив должны быть указаны
цифры. Необходимо сопоставить эти зачастую совершенно разнородные
величины так, чтобы выявить предпочтения ЛПР. После построения
иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Существует
несколько методов сравнения элементов, выбор которых обусловлен
характером связей альтернатив с уровнем критериев, количеством
альтернатив, временем
поступления
альтернатив
и
прочими
соображениями ЛПР.
§ 3.1.2. Парное сравнение альтернатив (метод парных сравнений)
Для установления относительной важности элементов иерархии
используется шкала отношений. Данная шкала позволяет ЛПР ставить в
соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта
перед другим некоторые числа (таблица 2).
Цель выбора оператора: эффективное
ведение бизнеса
оператор
Тариф
Дополнительные
услуги
Репутация
Зона
обслуживания
стоимость
минуты
стоимость
подключения
форма
оплаты
автоответчик
роуминг
АОН
голосовая почта
оператор 1
оператор 2
оператор n
28
Таблица 2.
Шкала отношений
Степень
значимости
Определение
Объяснение
1
Одинаковая значимость
Два
действия
вносят
одинаковый вклад в достижение
цели
3
Некоторое
преобладание
значимости одного действия
над другим
Существуют
соображения
в
пользу предпочтения одного из
действий,
однако
эти
соображения
недостаточно
убедительны
5
Существенная или сильная
значимость
Имеются надежные данные или
логические суждения для того,
чтобы
показать
предпочтительность одного из
действий
7
Очевидная или очень сильная
значимость
Убедительное свидетельство в
пользу одного действия перед
другим
9
Абсолютная значимость
Свидетельства
в
пользу
предпочтения одного действия
перед другим в высшей степени
убедительны
2, 4, 6, 8
Промежуточные
значения
между
двумя
соседними
суждениями
Ситуация, когда необходимо
компромиссное решение
Обратные
величины
приведенных
выше величин
Если
действию
i при
сравнением с действием j
приписывается
одно
из
определенных выше чисел,
то действию j при сравнении
с действием i приписывается
обратное значение
Если
согласованность
была
постулирована при получении N
числовых
значений
для
образования матрицы
При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта
в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне
иерархии, должен поставить число в интервале от 1 до 9 или обратное
значение.
Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы –
родители и элементы – потомки. Элементы – потомки воздействуют на
соответствующие
элементы
вышестоящего
уровня
иерархии,
являющиеся по отношению к первым элементами – родителями.
Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов – потомков,
относящихся
к
определенному
родителю. Парные
сравнения
производятся в терминах доминирования одного элемента над другим в
соответствии со шкалой отношений.
29
Если элемент Е
1
доминирует над элементом Е
2
, то клетка матрицы,
соответствующая строке Е
1
и столбцу Е
2
, заполняется целым числом, а
клетка, соответствующая строке Е
2
и столбцу Е
1
, заполняется обратным
к нему числом.
При проведении парных сравнений следует отвечать на вопросы:
какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее
воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.
При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев
более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию –
какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.
Рассмотрим процесс построения матрицы парных сравнений не
примере.
Пример. Провести анализ провайдеров на предмет их
желательности с точки зрения определенного человека. Этот человек,
руководствуется пятью независимыми (будем считать что это так)
характеристиками: тарифы, скорость сети, доступность сети, удобство
оплаты, дополнительные услуги. В качестве альтернатив человек
рассматривает следующие компании: Comstar, Зебра Телеком, РОЛ и
МТУ.
Иерархическая схема может быть представлена следующим
образом (рисунок 5):
Рис. 5. Иерархическая схема проблемы выбора провайдера
После построения иерархии строятся матрицы парных сравнений.
При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии,
ЛПР выражает свое мнение, используя одно из приведенных в таблице 2
определений. В матрицу сравнений заносится соответствующее число.
Начнем построение матриц парных сравнений с матрицы
«Удовлетворение провайдером», которая покажет относительную
важность характеристик при выборе компании.
Удовлетворение провайдером
Тарифы
Скорость
Доступность
Оплата
Услуги
Comstar
Зебра
РОЛ
МТУ
30
1
4/
1
3
8/
1
9
4
1
6
4/
1
3
3/
1
6/
1
1
7/
1
5/
1
8
4
7
1
7
9/
1
3/
1
5
7/
1
1
]
[
У
О
Д
С
Т
У
О
Д
С
Т
м
провайдеро
ение
Удовлетвор
=
При построении матрицы человек задавался вопросом, какая
характеристика для него наиболее важна при выборе провайдера.
При сравнении любого критерия с самим собой не возникает
вопросов о доминирующем воздействии одного из критериев, т.е.
соответствующая позиция в матрице заполняется единицей, что
соответствует одинаковой степени значимости критериев (см. таблицу 2
– шкала отношений).
Рассмотрим первую строку матрицы. В позиции один два, при
сравнении важности тарифов и скорости, ЛПР поставил значение равное
7
1
. Это означает, что скорость доминирует по предпочтению над
тарифами. «При выборе провайдера для меня скорость во много крат
важнее чем тарифы» – говорит ЛПР. Семерка отвечает очевидной или
очень сильной значимости одного сравниваемого объекта по сравнению
с другим, согласно шкале отношений.
Цифра пять в позиции один три говорит о том, что для ЛПР
тарифы важней доступности сети, в то время
3
1
на пересечении строки
тарифов и столбца оплаты отвечает случаю, когда удобство оплаты для
ЛПР немного важнее расценок провайдера.
Иерархию в какой-либо рассматриваемой проблеме можно
выявить посредством анкетирования, синтезировать результат и
продолжить дело с помощью анкеты для выявления суждений.
Рассмотрим, как могут быть получены матрицы суждения для
одной матрицы. Тот же метод может быть применен для иерархии. В
качестве примера возьмем иерархическую структуру, представленную
на рисунке 6.
Рис. 6 Иерархическая схема задачи выбора нового сотрудника
Новый сотрудник
Образование
Опыт
Зарплата
Вписывается ли в коллектив
А
1
А
3
А
2
31
Обозначим значения шкалы, располагая их в ряд от одного
крайнего значения к равенству и затем вновь повышая до второго
крайнего значения (таблица 3). В левом столбце перечисли все
альтернативы, которые нужно сравнивать по степени превосходства с
другими альтернативами из правого столбца. Эксперты должны
отметить суждения, которые выражают превосходство элемента из
левого столбца над соответствующим элементом из правого столбца,
расположенном в той же строке. Если такое превосходство в
действительности имеет место, то одна из позиций левее равенства
будет отмечена. В противном случае будет отмечено равенство или
некоторая позиция справа.
Таблица 3.
Сравнение альтернатив относительно критерия "образование"
Абсолют-
ное
Очень
силь-
ное
Силь-
ное
Сла-
бое
Равенст-
во
Сла-
бое
Силь-
ное
Очень
сильное
Абсолют-
ное
А
1
_
_
_
_
_
_
_
_
_
А
2
А
1
_
_
_
_
_
_
_
_
_
А
3
А
2
_
_
_
_
_
_
_
_
_
А
3
Такая таблица составляется и заполняется для каждого критерия
(четыре анкеты для сравнения альтернатив по каждому из критериев) и
для сравнения критериев относительно цели (одна анкета в которой ЛПР
решает какие критерии для него наиболее значимые).
После заполнения экспертами анкет, по ним составляются
матрицы
парных
сравнений. Например
анкета
имеет
вид,
представленный в таблице 4:
Таблица 4.
Сравнение альтернатив относительно критерия "образование",
составленное первым экспертом по резюме кандидатов
Абсолют-
ное
Очень
силь-
ное
Силь-
ное
Сла-
бое
Равенст-
во
Сла-
бое
Силь-
ное
Очень
сильное
Абсолют-
ное
А
1
_
х
_
_
_
_
_
_
_
А
2
А
1
_
_
_
х
_
_
_
_
_
А
3
А
2
_
_
_
_
_
_
х
_
_
А
3
32
Матрица парных сравнений для анкеты из таблицы 4 имеет вид:
1
5
1
3
7
1
]
[
3
1
3
5
1
7
1
2
1
3
2
1
1
A
A
A
A
A
A
е
образовани
=
Для
агрегирования
мнений
экспертов
принимается
среднегеометрическое, вычисляемое по следующей формуле:
эксперта
ого
k
сравнений
парных
матрицы
столбцу
ому
j
и
строке
ой
i
щего
принадлежа
элемента
оценка
a
где
a
a
a
a
k
ij
n
n
ij
ij
ij
агр
ij
−
−
−
−
⋅
⋅
⋅
=
,
,
)
(
)
(
)2
(
)1
(
K
Логичность
критерия
становится
очевидной, если
два
равноценных
эксперта
указывают
при
сравнении
объектов
соответственно оценки
a
и
a
1
, что при вычислении агрегированной
оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности
сравниваемых объектов.
В достаточно ответственных задачах при оправданных задачах на
экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их
квалификации. Для определения весовых коэффициентов экспертов
используют иерархическую структуру критериев, представленную на
рисунке 7.
Рис. 7 Иерархия для ранжирования экспертов
Расчет агрегированной оценки в случае привлечения
n
экспертов,
имеющих различную значимость, осуществляется по формуле:
∑
=
=
−
−
⋅
⋅
⋅
=
n
k
k
k
ij
ij
ij
ij
агр
ij
этом
При
том
коэффициен
весовым
с
экспертом
ым
k
я
проведенна
объекта
оценка
a
где
a
a
a
a
k
n
1
1
.
,
,
2
1
α
α
α
α
α
α
K
Пример. Предположим, что в случае с выбором нового кандидата
на работу, первый эксперт, которым мог быть начальник отдела
управления кадрами, по результатам резюме заполнил анкету, которая
приведена в таблице 4. Во время проведения собеседования с каждым из
претендентов, второй эксперт, например один из директоров, заключил,
Наилучший эксперт
Профессиональный
уровень
Независимость
суждений
Порядочность
Эксперт 1
Эксперт 3
Эксперт 2
33
что по уровню образования кандидатам соответствует анкета,
заполненная следующим образом (таблица 5):
Таблица 5.
Сравнение альтернатив относительно критерия "образование",
составленное вторым экспертом по результатам собеседования с
кандидатами
Абсолют-
ное
Очень
силь-
ное
Силь-
ное
Сла-
бое
Равенст-
во
Сла-
бое
Силь-
ное
Очень
сильное
Абсолют-
ное
А
1
_
х
_
_
_
_
_
_
_
А
2
А
1
_
_
х
_
_
_
_
_
_
А
3
А
2
_
_
_
_
_
х
_
_
_
А
3
Матрица парных сравнений для анкеты в таблице 5, имеет вид:
1
3
1
5
7
1
]
[
5
1
3
3
1
7
1
2
1
3
2
1
2
A
A
A
A
A
A
е
образовани
=
-
Для объединения оценок суждений двух экспертов строится
матрица с средним геометрическим оценок. В данной задаче такой
подход не совсем правомерен. Однако, будем считать что суждения двух
экспертов обладают одинаковой степенью значимости. Результирующая
матрица имеет вид:
1
3
5
1
5
3
7
7
1
]
[
5
1
3
1
3
3
1
5
1
7
1
7
1
2
1
3
2
1
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
A
A
A
A
A
A
е
образовани
При построении матриц парных сравнений важным вопросом
является согласованность, или однородность матрицы. Согласованность
– это следование логике при высказывании суждений экспертом. Для
более наглядной иллюстрации понятия «согласованности» приведем
пример.
Пример. Предположим, что имеется три фрукта: яблоко, апельсин
и ананас. Некто, предположим ребенок, говорит следующее: «Ананас в
три раза вкуснее апельсина, а апельсин в два раза вкуснее яблока».
Следующим высказыванием ребенка на вопрос о его любви к яблокам и
ананасам, он говорит, что ананас в пять раз лучше яблока. В таких
высказываниях ребенка несогласованности практически нет, несмотря
на то, что исходя из его первого предложения ананас в шесть раз
34
предпочтительнее яблока. Однако, нарушения логики могло быть
гораздо более серьезным и даже привести к нетранзитивности. Так,
второе высказывание могло звучать: «Мне яблоки нравятся больше чем
ананасы».
В практических задачах количественная и транзитивная
(порядковая) однородность нарушается, поскольку человеческие
ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения
однородности в числовых суждениях, какая бы величина
ij
a
ни была
взята для сравнения
i
-го элемента с
j
-ым,
ji
a
приписывается значение
обратной величины, т.е.
ij
a
ji
a
1
=
.
Определение. Квадратную матрицу
n
n
A
×
в которой все элементы
n
j
i
a
ij
a
ji
,1
,;
1
=
=
, называют обратносимметрической.
При построении матриц парных сравнений не следует
искусственно выстраивать матрицу исходя из условий согласованности.
Такой подход может исказить предпочтения ЛПР. Однако во многих
задачах, однородность матриц должна быть высокой. Для оценки
однородности используют то свойство, что при нарушении
однородности ранг матрицы отличен от единицы и она имеет несколько
собственных значений. При небольших отклонениях суждения от
однородности одно из собственных значений будет существенно
большие остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Это
свойство вытекает из следующих двух теорем.
Теорема 1. В положительной обратносимметрической квадратной
матрице
n
≥
max
λ
.
Теорема 2. Положительная обратносимметрическая квадратная
матрица А согласованна тогда и только тогда, когда
n
=
max
λ
.
Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта
можно использовать отклонение величины максимального собственного
значения
max
λ
от порядка матрицы
n
.
Согласованность суждения оценивается индексом однородности
(индексом
согласованности)
или
отношением
однородности
(отношением согласованности) в соответствии со следующими
формулами:
1
max
−
−
=
=
n
n
ИС
ИО
λ
)
(ио
М
ИО
ОС
ОО
=
=
)
(ио
M
- среднее значение индекса однородности случайным
образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на
35
экспериментальных данных. Значение есть табличная величина,
входным параметром выступает размерность матрицы (таблица 6).
Таблица 6.
Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка
матрицы
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
)
(ио
M
0
0
0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51
В качестве допустимого используется значение
10
,0
≤
OO
. Если
для матрицы парных сравнений
10
,0
>
OO
, то это свидетельствует о
существенном нарушении логики суждений, допущенном экспертом при
заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть
данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить
однородность.
§ 3.1.3 Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого
уровня
Ранжирование элементов, анализируемых с помощью матрицы
парных сравнений, осуществляется на основании главных собственных
векторов, получаемых в результате обработки матриц.
Определение. Пусть задана квадратная матрица
n
n
A
×
. Число
λ
называется собственным значением, а ненулевой вектор
W
собственным
вектором квадратной матрицы
A
, если они связаны между собой
соотношением
W
AW
λ
=
.
Собственные значения квадратной матрицы
n
n
A
×
могут быть
вычислены как корни уравнения
0
)
det(
=
− E
A
λ
, а собственные векторы –
как решение соответствующих однородных систем
0
)
(
=
−
W
E
A
λ
.
Определение. Собственный вектор отвечающий максимальному
собственному значению называется главным собственным вектором.
Пример. Рассмотрим следующую матрицу парных сравнений:
1
2
3
1
3
1
]
[
3
1
3
2
2
1
3
1
1
3
2
1
A
A
A
A
A
A
A =
Вычислим для данной матрицы главный собственный вектор.
0
)
det(
=
− E
A
λ
36
0
1
2
3
1
3
1
3
1
2
1
3
1
=
−
−
−
λ
λ
λ
0
3
1
2
1
3
1
3
1
)
1(
2
1
3
1
3
1
2
1
3
1
3
1
=
−
⋅
+
−
⋅
−
−
−
⋅
−
λ
λ
λ
λ
λ
[
]
(
) (
)
0
1
2
3
1
)
1(
)
1(
2
1
6
1
3
1
2
=
−
⋅
+
−
⋅
−
−
−
⋅
−
−
−
λ
λ
λ
λ
При решении данного уравнения получено максимальное
собственное значение
05
,3
max
=
λ
. Для вычисления главного
собственного вектора необходимо решить систему линейных уравнений:
⋅
=
⋅
3
2
1
3
2
1
3
1
2
1
3
1
05
,3
1
2
3
1
3
1
w
w
w
w
w
w
=
249
,0
594
,0
157
,0
W
Полученный
главный
собственный
вектор
ранжирует
альтернативы и назначает им веса. Таким образом, вторая альтернатива
наиболее предпочтительная, затем идет третья и первая. Заметим, что
сумма координат полученного вектора равна единице. Таким образом
можно говорить об относительной
важности того или иного
сравниваемого критерия или альтернативы.
Квадратная матрица имеет не более
n
различных собственных
значений. Вычислить главный собственный вектор положительной
квадратной матрицы
A
с точностью до некоторого постоянного
сомножителя
C
можно по формуле:
CW
e
A
e
e
A
k
T
k
k
=
∞
→
lim
,
где
единиц
n
из
ый
составленн
ветор
e
T
−
=
)1
,
,1,
1( K
.
Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:
AW
e
T
=
max
λ
.
Как
видно
из
вышеприведенного
примера, вычисление
собственных векторов и собственных значений «в лоб» не является
тривиальной задачей. При вычислении максимального собственного
значения матриц порядка больше двух практически всегда требуется
прибегать к приближенным методам. Такой подход существенно
усложняет задачу, так как в случае одной иерархии число матриц
парных сравнений может быть очень велико. В случае, когда человек не
владеет численными методами метод иерархической иерархии вообще
может быть им отклонен.
37
Для вычисления собственных векторов и собственных значений
матриц целесообразно использовать вычислительные средства и
современные программные продукты. Однако, при отсутствии
вычислительных
мощностей, приближенное
значение
главного
собственного вектора можно получить суммированием элементов
каждой строки и последующим делением каждой суммы на сумму
элементов всей матрицы.
Пример. Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим
приближенное значение главного собственного вектора:
1
2
3
1
3
1
]
[
3
1
3
2
2
1
3
1
1
3
2
1
A
A
A
A
A
A
A =
Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех
элементов матрицы:
=
3
1
6
5
3
7
1
S
W
6
1
3
1
6
5
12
3
7
1
=
+
+
=
S
Нормализуя вектор
s
W
делением каждой координаты на величину
S
, получаем приближенное значение главного собственного вектора:
=
274
,0
575
,0
151
,0
€
W
Приближенное значение максимального собственного значения
можно найти по формуле
AW
e
T
=
max
λ
, рассмотренной выше:
10
,3
274
,0
575
,0
151
,0
1
2
3
1
3
1
)1
1
1(
3
1
2
1
3
1
max
≈
⋅
⋅
=
λ
При таком вычислении главного собственного вектора и
максимального
собственного
значения
может
оказаться, что
согласованная в действительности матрица является несогласованной по
вычислениям и наоборот.
Пример. Вычислим отношение согласованности рассматриваемой
выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения
его точное и приближенное число.
025
,0
1
3
3
05
,3
=
−
−
=
ИС
04
,0
58
,0
025
,0
≈
=
ОС
38
05
,0
2
3
10
,3
=
−
=
≈
ИС
09
,0
58
,0
05
,0
≈
=
≈
ОС
При большей погрешности метода вычисления главного
собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных
сравнений могло оказаться больше
10
,0
.
Желательно использовать процедуры точного нахождения
собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание
превращается в требование в особо ответственных задачах.
Вычисление собственных векторов и значений в пакете
Mathematica.
Для вычисления собственных векторов и значений, первым шагом
является определение матрицы. Для определение введем в пустом
документе название матрицы
M
и поставим знак равенства. Зададим
трехмерную матрицу с единицами на главной диагонали. Для этого
выберем в меню опцию Input→Create Table/Matrix/Palette... или
используем комбинацию клавиш <Shift>+<Ctrl>+<C> (рисунки 8 и 9).
В открывшемся окне определим размерность матрицы и отметим
необходимость заполнить главную диагональ единицами. Поля, которые
необходимо заполнять, выделены на рисунке 9.
Рис. 8. Меню вставки пакета Mathematica
После вставки матрицы и заполнения всех ее элементов
необходимо нажать клавиши <Shift>+<Enter> - пакет произведет
назначение матрице
M
соответствующих числовых характеристик.
39
Вычисление собственных значений выполняется функцией
Eigenvalues[M], а собственных векторов Eigenvectors[M]. При
вычислении желательно сопроводить функции последующим символом
N через две косые черты (//N), в противном случае Mathematica проведет
вычисления символьно. После ввода строки Eigenvalues[M]//N и
нажатия клавиш <Shift>+<Enter>, Mathematica выдаст результат,
представленный на рисунке 10.
Рис. 9. Определение размерности матрицы в пакете Mathematica
На рисунке 10 приведены вычисления и векторов, и значений. При
выполнении вычислений получено одно действительное собственное
значение. Это значение нас и интересует, оно несколько превышает
размерность матрицы, тройку, что говорит о неполной согласованности
матрицы. На приведенном рисунке интересующий нас вектор обведен.
Вектор не является нормированным. Для его нормализации необходимо
найти сумму элементов вектора, а затем разделить все координаты на
получившуюся сумму.
При использовании пакета Mathematica необходимо помнить, что
строчные и заглавные буквы различаются. Так, например, название
функций должны начинаться с заглавной буквы, в противном случае они
не распознаются. Аргументы функций обязаны стоять в квадратных
скобках.
40
Рис. 10. Вычисление собственных значений и векторов матрицы в
пакете Mathematica
Вычисление необходимых величин, даже при помощи пакета,
является задачей, требующей времени. В Mathematica можно создавать
собственные процедуры и функции, писать мультимедийные учебники.
Процедуру поиска собственных значений и векторов можно
закодировать, что в дальнейшем сведет операцию вычисления лишь к
вводу новых значений матрицы парных сравнений.
Вычисление собственных векторов и значений в Mathcad.
Вычислим собственные вектора и значения с использованием
Mathcad. Определим и введем в рабочий документ матрицу
A
парных
сравнений. В Mathcad операция присваивание выполняется посредством
оператора :=. Для того, чтобы определить матрицу, введем с клавиатуры
ее имя и знак присваивания. Для присваивания необходимо нажать на
клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<:>, в результате чего
появится знак присваивания (рисунок 11). Для ввода матрицы
воспользуемся одной из опций. Большинство вычислений с матрицами,
и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами – с
помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или
обращением к соответствующей функции.
41
Воспользуемся первым вариантом. После того как имя матрицы и
оператор присваивания были введены, откроем панель операций с
матрицами, щелкнув по кнопке
(рисунок 11). После этого на
появившейся панели щелкнем по кнопке
и зададим размерность
матрицы (рисунок 12).
Рис. 11. Панель операций с матрицами в пакете Mathcad
Рис. 12. Окно определения размеров матрицы в Mathcad
После ввода матрицы присвоим некоторой переменной
C
значение функции eigenvals(А). Данная функция вычисляет собственные
значения квадратной матрицы
A
. Присвоение должно быть выполнено
правее или ниже определения матрицы
A
, в противном случае матрица
A
для функции будет неизвестна. После выполнения такого
присваивания, введем с клавиатуры С=. Фрагмент рабочего стола,
после выполнения всех описанных выше процедур, приведен ниже.
Для вычисления главного собственного вектора, воспользуемся
функцией eigenvec(A, z) – вычисление собственного вектора матрицы
A
,
отвечающего собственному значению
z
. Чтобы обратиться к функции,
введем с клавиатуры ее имя, затем перечислим в скобках ее аргументы:
название матрицы и название вектора собственных значений с индексом,
42
задающим номер интересующего нас собственного значения. Индексы
координат векторов в Mathcad начинаются с нулевого (данная настройка
может быть изменена). После ввода функции необходимо поставить
знак равенства:
Вектор не нормирован. Нормируем его. Для удобства расчетов
присвоим главный собственный вектор некоторой переменной
P
.
Вычисление суммы
S
координат вектора
P
произведем при помощи
кнопки
на панели операций с матрицами (рисунок 11, кнопка вторая
слева внизу). При ее нажатии появляется знак суммы. Под знаком
суммы поставим вектор
P
, координаты которого мы собираемся
складывать. После нахождения суммы произведем деление вектора
P
на сумму
S
.
Фрагмент
рабочего
документа
Mathcad,
содержащий
перечисленные выше действия, приведен ниже.
Для того чтобы вычислить собственные значения и главный
собственный вектор новой матрицы, достаточно изменить числа в
исходной матрице А. При этом необходимо следить, чтобы индекс
интересующего нас собственного значения был соответствующим.
Рабочий стол удобно дополнить формулами индекса согласованности и
отношения согласованности матрицы парных сравнений:
43
Ввод нижнего индекса можно произвести при помощи кнопки
n
x
панели операций с матрицами (рисунок 11, кнопка вторая справа
сверху).
Вычисление собственных векторов и значений по формулам.
Для вычисления главного собственного вектора и наибольшего
собственного значения обратносимметрической квадратной матрицы
второго, третьего и четвертого порядка существуют точные формулы.
Использование формул весьма сомнительно в силу большого числа
вычислений, за исключением матрицы второго порядка:
Матрица 2 x 2
1
1
1
a
a
Для этого случая
2
max
=
λ
,
)
1
1
;
1
(
+
+
=
a
a
a
W
.
Матрица 3 х 3
1
1
1
1
1
1
23
13
23
12
13
12
a
a
a
a
a
a
;
1
3
13
23
12
3
23
12
13
max
+
⋅
+
⋅
=
a
a
a
a
a
a
λ
2
12
13
23
13
23
12
)
1(
1
)1
(
)
(
λ
λ
−
+
−
+
−
⋅
+
+
⋅
=
a
a
a
a
a
a
D
.
)1
(
13
23
12
−
⋅
+
⋅
=
∆
λ
a
a
a
44
−
+
−
+
⋅
−
∆
=
D
D
a
a
a
D
W
2
12
13
23
)
1(
1
)1
(
λ
λ
.
Матрица 4 х 4.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
f
e
c
f
d
b
e
d
a
c
b
a
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
f
b
c
c
f
b
d
a
b
b
d
a
e
a
c
c
e
a
f
d
e
e
f
d
B
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
d
c
e
b
e
b
d
c
e
a
d
c
e
a
f
b
f
b
e
a
f
d
a
c
c
f
d
a
C 3
(
)
+
−
−
+
+
⋅
−
+
+
+
−
=
3
2
2
3
2
8
2
8
3
3
4
8
2
8
C
B
C
C
B
r
(
)
3
2
2
3
2
8
2
8
3
3
4
8
2
8
−
−
+
+
⋅
−
−
+
+
−
+
C
B
C
C
B
.
4
2
4
8
2
4
2
max
+
⋅
+
−
+
+
+
=
r
B
r
r
λ
+
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
+
−
⋅
+
−
⋅
+
+
+
−
=
)1
(
1
1
)
(
)3
(
)1
(
)
(
)1
(
2
3
λ
λ
λ
d
e
c
b
a
f
d
b
e
a
e
f
c
Q
⋅
−
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
−
−
−
⋅
⋅
+
d
a
b
c
b
d
a
e
a
d
c
a
f
b
d
e
b
f
e
c
f
d
a
)
(
.
+
−
−
−
−
−
+
+
−
⋅
+
+
−
−
+
+
−
⋅
+
+
−
−
+
+
−
⋅
+
+
−
=
Q
ad
b
b
ad
Q
f
b
ae
ad
c
b
c
d
e
f
Q
e
b
cd
a
bf
a
c
df
e
Q
c
d
be
adf
bf
ae
c
W
)1
(3
)1
(
)1
(
)1
(
)1
(
)1
(
)1
(
)
(
)1
(
3
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
45
Вычисление собственных векторов и значений в MS Excel.
Довольно просто, используя определение собственного значения и
формулу
AW
e
T
=
max
λ
, а также теорему о величине максимального
собственного значения обратносимметрической квадратной матрицы,
средствами MS Excel можно получать наибольшее собственное значение
и нормированный главный собственный вектор. Для этого можно
создать макрос или же воспользоваться возможностями инструмента
Поиск решения. Реализовать такой подход студентам предлагается
самостоятельно как индивидуальное задание, групповое или в виде
дискуссии на семинаре.
§ 3.1.4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив
(иерархический синтез)
Рассмотрим иерархию на рисунке 13.
Иерархический синтез используется для общего ранжирования
альтернатив относительно цели, т.е. для подсчета количественной
оценки качества альтернатив.
Рис. 13. Пример трехуровневой иерархической структуры
Алгоритм иерархического синтеза для вышеприведенного
примера:
1. Определим векторы приоритетов
3
3
3
2
3
1
,
,
E
E
E
W
W
W
относительно
последнего уровня иерархии. Для этого строим матрицы парных
сравнений
]
[],
[],
[
3
3
3
2
3
1
E
E
E
и вычисляем для каждой из матриц
максимальные собственные значения (для оценки однородности
суждений) и главные собственные вектора (приоритеты):
1
1
1
]
[
12
2
12
1
2
1
3
1
a
A
a
A
A
A
E =
3
1
,
max
E
W
λ
⇒
Е
1
1
Е
1
2
Е
2
2
Е
3
2
Е
2
3
Е
3
3
Е
1
3
А
1
А
2
46
1
*
1
*
1
]
[
2
1
2
1
3
2
A
A
A
A
E =
3
2
,
max
E
W
λ
⇒
1
1
1
]
[
2
1
2
1
3
3
×
×
=
A
A
A
A
E
3
3
,
max
E
W
λ
⇒
2. Аналогичным
образом
обрабатываем
матрицы
парных
сравнений для вышележащих уровней. Данные матрицы построены для
того, чтобы определить предпочтительность элементов определенного
иерархического уровня относительно элементов вышележащего.
3
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
2
1
]
[
E
E
E
E
E
E
E =
2
1
,
max
E
W
λ
⇒
3
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
2
2
]
[
E
E
E
E
E
E
E =
2
2
,
max
E
W
λ
⇒
3
3
3
2
3
3
3
2
2
3
]
[
E
E
E
E
E =
2
3
,
max
E
W
λ
⇒
3. Осуществляем
иерархический
синтез.
Последовательно
определяем вектора приоритетов альтернатив
A
E
i
j
W
относительно
элементов
i
j
E
, находящихся на всех иерархических уровнях. Для
предпоследнего уровня
3
3
3
3
3
2
3
2
3
1
3
1
,
,
E
E
A
E
E
A
E
E
A
W
W
W
W
W
W
=
=
=
. Вычисление
векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к
верхним
с
учетом
конкретных
связей
между
элементами,
принадлежащими различным уровням. Вычисление производится путем
перемножения соответствующих векторов и матриц.
2
1
3
3
3
2
3
1
2
1
]
[
E
матрица
A
E
A
E
A
E
A
E
W
W
W
W
W
⋅
=
4
4
4 3
4
4
4 2
1
2
2
3
3
3
2
3
1
2
2
]
[
E
A
E
A
E
A
E
A
E
W
W
W
W
W
⋅
=
2
3
3
3
3
2
2
3
]
[
E
A
E
A
E
A
E
W
W
W
W
⋅
=
Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно
основной цели
1
1
2
3
2
2
2
1
1
1
]
[
E
A
E
A
E
A
E
A
E
W
W
W
W
W
⋅
=
.
Пример (из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие
индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном
влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития
и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние
отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как
47
родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами,
группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д.
На перечисленные выше факторы, которые составляют второй
уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например,
влияние отца может быть разбито на категории, включающие его
темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями
и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в
возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников
обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и
учителей.
В качестве альтернативной основы описания для второго уровня
можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в
будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и
т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше
элементов.
Более полная основа психологической предыстории может
включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных
экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить
максимальное понимание рассматриваемого индивидуума.
Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что
уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость
ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских
впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими
элементами на каждом уровне.
Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д –
чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем;
А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность,
проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н –
действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной
приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р
– влияние обоих родителей.
Рис. 14. Иерархическая схема общего благополучия индивидуума
ОБ
Д
У
А
П
Э
Н
Л
Р
О
М
48
1
3/
1
4/
1
3
1
6/
1
4
6
1
]
[
А
У
Д
А
У
Д
ОБ =
12
,0
;
07
,0
;
26
,3
)
106
,0
;
193
,0
;
701
,0(
max
=
=
=
=
ОС
ИС
W
ОБ
λ
1
2
3/
1
3/
1
2/
1
1
4/
1
6/
1
3
4
1
6/
1
3
6
6
1
]
[
Л
Н
Э
П
Л
Н
Э
П
Д =
13
,0
;
12
,0
;
35
,4
)
119
,0
;
064
,0
;
213
,0
;
604
,0(
max
=
=
=
=
ОС
ИС
W
Д
λ
1
2
3/
1
3/
1
2/
1
1
4/
1
6/
1
3
4
1
6/
1
3
6
6
1
]
[
Л
Н
Э
П
Л
Н
Э
П
У =
13
,0
;
12
,0
;
35
,4
)
119
,0
;
064
,0
;
213
,0
;
604
,0(
max
=
=
=
=
ОС
ИС
W
Д
λ
1
4
5
1
4/
1
1
4/
1
3
5/
1
4
1
5
1
3/
1
5/
1
1
]
[
Л
Н
Э
П
Л
Н
Э
П
А =
52
,0
;
47
,0
;
42
,5
)
463
,0
;
120
,0
;
281
,0
;
127
,0(
max
=
=
=
=
ОС
ИС
W
ОБ
λ
1
8/
1
4/
1
8
1
9/
1
4
9
1
]
[
Р
О
М
Р
О
М
П =
57
,0
;
33
,0
;4
)
069
,0
;
210
,0
;
721
,0(
max
=
=
=
=
ОС
ИС
W
П
λ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
]
[
Р
О
М
Р
О
М
Э =
0,
0
;0,
0
;3
)
333
,0
;
333
,0
;
333
,0(
max
=
=
=
=
ОС
ИС
W
Э
λ
1
4
6/
1
4/
1
1
9/
1
6
9
1
]
[
Р
О
М
Р
О
М
Н =
10
,0
;
06
,0
;
11
,3
)
176
,0
;
061
,0
;
713
,0(
max
=
=
=
=
ОС
ИС
W
Н
λ
1
3
5/
1
3/
1
1
5/
1
5
5
1
]
[
Р
О
М
Р
О
М
Л =
12
,0
;
07
,0
;
14
,3
)
202
,0
;
097
,0
;
701
,0(
max
=
=
=
=
ОС
ИС
W
Л
λ
Осуществим иерархический синтез:
=
⋅
⋅
156
,0
208
,0
635
,0
106
,0
193
,0
701
,0
463
,0
119
,0
119
,0
120
,0
064
,0
064
,0
281
,0
213
,0
213
,0
127
,0
604
,0
604
,0
202
,0
176
,0
333
,0
069
,0
097
,0
061
,0
333
,0
210
,0
701
,0
713
,0
333
,0
721
,0
49
Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью
уравновешивания влияния родителей.
В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные.
Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было
повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы
не стали бы однородными.
После
решения
задачи
синтеза
иерархии, оценивается
однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей
однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому
иерархическому уровню.
Пример. Рассмотрим иерархию из предыдущего примера. Пусть
ИО
1
– индекс согласованности 1-ого уровня; ИО
21
, ИО
22
и ИО
23
–
индексы согласованности второго уровня; ИО
31
, ИО
32
, ИО
33
и ИО
34
–
индексы согласованности третьего уровня. Тогда индекс однородности
иерархии можно определить следующим образом:
⋅
+
⋅
+
=
34
33
32
31
23
22
21
1
]
[
ИО
ИО
ИО
ИО
W
W
W
W
ИО
ИО
ИО
W
ИО
ИО
T
А
У
Д
T
ОБ
T
ОБ
И
42
,0
07
,0
06
,0
00
,0
33
,0
463
,0
120
,0
281
,0
127
,0
119
,0
064
,0
213
,0
604
,0
119
,0
064
,0
213
,0
604
,0
)
106
,0
;
193
,0
;
701
,0(
47
,0
12
,0
12
,0
)
106
,0
;
193
,0
;
701
,0(
07
,0
=
⋅
×
×
+
⋅
+
=
И
ИО
Для оценки отношения однородности используют следующее
выражение:
)
(
И
И
И
ИО
М
ИО
ОО =
, где
⋅
+
⋅
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
34
33
32
31
23
22
21
1
ИО
М
ИО
М
ИО
М
ИО
М
W
W
W
W
ИО
М
ИО
М
ИО
М
W
ИО
М
ИО
М
T
А
У
Д
T
ОБ
T
ОБ
И
50
06
,2
58
,0
58
,0
58
,0
58
,0
463
,0
120
,0
281
,0
127
,0
119
,0
064
,0
213
,0
604
,0
119
,0
064
,0
213
,0
604
,0
)
106
,0
;
193
,0
;
701
,0(
9,
0
9,
0
9,
0
)
106
,0
;
193
,0
;
701
,0(
58
,0
)
(
=
⋅
×
×
+
⋅
+
=
И
ИО
М
20
,0
06
,2
42
,0
)
(
=
=
=
И
И
И
ИО
М
ИО
ОО
Однородность иерархии считается удовлетворительной при
значениях
10
,0
≤
И
ОО
.
§ 3.2. Метод сравнения объектов относительно стандартов [2]
Метод парного сравнения альтернатив не всегда может быть
эффективно применен в некоторых практических ситуациях:
1. эксперту может быть предложено для анализа более девяти
альтернатив, что существенно усложняет построение согласованных
матриц парных сравнений;
2. при добавлении новых альтернатив изменяется порядок ранее
прошедших альтернатив относительно критериев качества;
3. альтернативы могут поступать эксперту для сравнения не
одновременно, а через определенные промежутки времени. Поэтому
невозможно попарно сравнивать объекты.
Для решения проблемы сравнения и оценки альтернатив в
указанных ситуациях наиболее целесообразен метод сравнения
альтернатив относительно стандартов. Стандарт устанавливает уровень
качества объекта относительно критерия качества. Например, критерию
«ликвидность» для объекта «экономические выгоды обеспечения
банковского кредита» может быть назначено три стандарта,
характеризующих соответственно высокий (H), средний (M) и низкий
(L) уровень ликвидности. Каждый стандарт отождествляется, как
правило, с некоторым существующим на практике эталоном качества,
так высокий, средний и низкий стандарты по критерию «ликвидность»
могут быть отождествлены с драгоценными металлами, ценными
бумагами и недвижимостью. В иерархии стандарты присваиваются
элементам, имеющим непосредственную связь с альтернативами
(рисунок 15). Число стандартов по каждому такому элементу может
быть различно и определяется экспертом.
51
......
..........
...... ........ ...... ....... ........ ........ ........
................
............
Рис. 15. Иерархическая структура с учетом стандартов
По каждому стандарту экспертом устанавливается относительная
степень предпочтения, которая указывает значимость стандарта для
эксперта. Численное значение каждого стандарта определяется их
попарным сравнением по шкале отношений и вычислением главного
собственного вектора.
Введем следующие обозначения:
}
,
{
0
g
C
C
C
- множество стандартов, включающее два подмножества,
устанавливающие соответственно основную и
}
{
0
C
и дополнительную
}
{
g
C
шкалы. Основная шкала включает градации
}
,
,
{
0
L
M
H
C =
.
Дополнительная шкала может включать градации
}
,
,
,
{
LL
ML
HM
HH
C
g
=
,
где HH, HM, ML, LL – соответственно очень высокое, промежуточное
между высоким и средним, промежуточное между средним и низким,
очень низкое значение стандартов.
Для каждого элемента
s
j
E
иерархии, непосредственно связанного
со стандартами, устанавливается подмножество
C
C
j
⊂
. Стандарты,
входящие в подмножества
j
C
, сформированные относительно
s
j
E
,
попарно сравниваются по девяти балльной шкале и вычисляются
вектора
s
j
W
.
ЛПР присваивает каждой альтернативе значение одного стандарта.
Процедура идентификации проводится по всем элементам
s
j
E
. В
результате идентификации строится матрица А следующего вида:
rp
r
r
r
p
p
s
p
s
s
w
w
w
A
w
w
w
A
w
w
w
A
E
E
E
A
K
K
K
K
K
M
K
K
K
2
1
2
22
21
2
1
12
11
1
2
1
=
Е
1
1
Е
1
2
Е
2
2
Е
n
2
Е
2
3
Е
k
3
Е
1
3
Е
2
3
Е
1
S
Е
p
S
Е
1
S
L
M
H
M
HM
H
L
ML
L
M
H
A
1
A
q
A
2
52
Элементы матрицы представляют собой численные значения
стандартов, соответствующие определенной альтернативе и элементу
s
j
E
. Таким образом, столбцы в матрице А представляют собой
ненормированные
векторы
приоритетов
альтернатив
по
соответствующим элементам
s
j
E
.
Для получения нормированным векторов
A
j
W
приоритетов
альтернатив, необходимо все элементы каждого столбца разделить на
сумму элементов соответствующего столбца, или, что тоже самое,
умножить матрицу А на диагональную матрицу S следующего вида:
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
1
0
0
0
0
0
0
−
=
−
=
−
=
=
∑
∑
∑
r
i
ip
r
r
i
i
n
i
i
s
p
s
s
w
A
w
A
w
A
E
E
E
S
K
K
K
K
K
M
K
K
K
Множество нормированным векторов приоритетов альтернатив
относительно
всех
элементов
нижнего
уровня
определяется
соотношением:
]
[
]
[
]
[
S
A
W
A
⋅
=
.
Далее алгоритм иерархического синтеза такой же как и в методе
парных сравнений.
В методе сравнения альтернатив относительно стандартов,
добавление новой альтернативы не нарушает порядок ранее
проранжированных альтернатив.
Пример. Пусть задана иерархия, представленная на рисунке 16.
................
A
1
A
2
A
3
A
4
Рис. 16. Одна из ветвей иерархии с учетом стандартов
Пусть матрица предпочтений стандартов для элемента
s
j
E
имеет
вид:
=
079
,0
225
,0
696
,0
1
3/
1
7/
1
3
1
5/
1
7
5
1
S
j
W
L
M
H
L
M
H
s
j
E
H
M
L
53
Вектор
=
079
,0
225
,0
079
,0
225
,0
A
j
W
, т.е. первая и третья альтернативы отвечают
среднему стандарту по рассматриваемому критерию, а второй и
четвертый - низкому стандарту. Добавим еще одну альтернативу и
присвоим ей значение, соответствующее высокому стандарту:
=
696
,0
079
,0
225
,0
079
,0
225
,0
A
j
W
, или нормированный
=
534
,0
061
,0
173
,0
061
,0
173
,0
)
(норм
A
j
W
.
§ 3.3. Многокритериальный выбор в иерархиях с различным числом и
составом альтернатив под критериями [2]
В практике встречаются задачи, когда ранжируемые по множеству
критериев альтернативы оцениваются экспертом не по всем критериям.
Задача характерна для ситуаций, когда множество критериев,
выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является
избыточным относительно одной или нескольких альтернатив. В таком
случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым
критерием или под их частью.
Рассмотрим
методику
определения
вектора
приоритета
альтернатив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев,
объединенных фокусом (целью) ,и разное количество альтернатив у
каждого критерия. Методика предполагает выполнение ряда процедур
по структурированию информации и проведению вычислительных
операций.
Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде
иерархии.
Процедура 2. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по
соответствующим критериям, используя метод парного сравнения или
метод сравнения альтернатив относительно стандартов. На основе
экспертных оценок строится матрица А следующего вида:
rp
r
r
r
p
p
p
a
a
a
A
a
a
a
A
a
a
a
A
E
E
E
A
K
M
K
M
M
M
K
K
K
2
1
2
22
21
2
1
12
11
1
2
1
=
54
В матрице А экспертные оценки
ij
a
представляют векторы
приоритетов альтернатив относительно критериев
j
E
. При этом если
альтернатива A
i
не оценивается по критерию
j
E
, то в матрице А
соответствующее значение
0
=
ij
a
. Векторы в матрице имеют различное
число значений
ij
a
и могут быть нормированными или нет в зависимости
от используемого метода сравнения альтернатив.
Процедура 3. В результате обработки матрицы попарных
сравнений критериев относительно фокуса определяется вектор
приоритетов критериев относительно цели
X
.
Процедура 4. Формируются следующие диагональные матрицы S и
L:
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
0
0
0
0
0
0
−
=
−
=
−
=
=
∑
∑
∑
r
i
ip
r
i
i
r
i
i
p
a
a
a
E
E
E
S
K
M
K
M
M
K
K
K
N
R
N
R
N
R
E
E
E
L
p
p
K
M
K
M
M
K
K
K
0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
=
R
j
– число альтернатив, находящихся под критерием E
j
.
∑
=
=
p
j
j
R
N
1
- суммарное число альтернатив, находящихся под всеми
критериями.
С помощью матрицы S нормируются векторы приоритетов
альтернатив, образующих матрицу А, путем умножения последней на S
справа. Использование критерия L позволяет эксперту или ЛПР
изменять при необходимости вес альтернатив, связанных с
соответствующими критериями пропорционально отношению
N
R
j
.
Этим обеспечивается повышение приоритета альтернатив, образующих
большие группы, и снижение приоритета альтернатив в группах с их
относительно небольшим числом. Необходимость приведенной
вычислительной процедуры обусловлена тем, что у критериев с высоким
приоритетом в иерархии может находиться большое число альтернатив,
а у критериев с низким приоритетом – значительно меньшее число
альтернатив. В этой ситуации желательно повышение приоритетов
альтернатив в большой группе, поскольку, если альтернатив много,
55
каждая из них получит меньший составной приоритет, чем каждая
альтернатива, входящая в меньшую группу с низким приоритетом
критерия.
Процедура 5. Определяется вектор приоритетов альтернатив
относительно W относительно критериев. Данная процедура реализуется
последовательным перемножением матриц слева направо следующих
матриц и векторов:
]
[
]
[
]
[
]
[
B
X
L
S
A
W
⋅
⋅
⋅
⋅
=
- случай ненормированных оценок в матрице
А.
]
[
]
[
]
[
B
X
L
A
W
⋅
⋅
⋅
=
- случай нормированных оценок в матрице А.
Матрица В предназначена для окончательного нормирования
значений вектора приоритетов альтернатив.
1
1
1
1
1
1
2
1
0
0
0
0
0
0
−
=
−
=
−
=
=
∑
∑
∑
r
i
i
r
i
i
r
i
i
p
x
x
x
E
E
E
B
K
M
K
M
M
K
K
K
x
i
– значения ненормированного вектора приоритетов альтернатив,
полученное
после
последовательного
перемножения
матриц
X
L
S
A
⋅
⋅
⋅
]
[
]
[
]
[
.
r – число альтернатив.
Существуют иерархии, у которых альтернативы сгруппированы в
подмножества
}
,
,
,
{
2
1
m
A
A
A
K
,
}
,
,
,
{
2
1
s
A
A
A
′
′
′
K
,
}
,
,
,
{
2
1
l
A
A
A
′′
′′
′′
K
, а элементы
каждого из таких подмножеств связаны, в свою очередь, с
определенными группами критериев
}
,
,
,
{
1
12
11
t
K
K
K
K
,
}
,
,
,
{
2
22
21
r
K
K
K
K
,
}
,
,
,
{
2
1
np
n
n
K
K
K
K
(рисунок 17).
...............
K
11
K
12
... K
1m
K
21
K
22
... K
2r
K
n1
K
n2
... K
np
A
1
A
2
... A
m
A`
1
A`
2
... A`
s
A``
1
A``
2
... A``
l
Рис. 17 Иерархия с несколькими ветвями
K
0
K
1
K
2
K
n
56
Дерево состоит из ряда самостоятельных иерархических ветвей.
Алгоритм синтеза для иерархии с несколькими ветвями.
Шаг 1. Вычисляются
векторы
приоритетов
альтернатив
относительно критериев K
ij
.
}
,
,
,
{
1
12
11
A
K
A
K
A
K
m
W
W
W
K
}
,
,
,
{
2
22
21
A
K
A
K
A
K
r
W
W
W
′
′
′
K
}
,
,
,
{
2
1
A
K
A
K
A
K
np
n
n
W
W
W
′
′
′
K
Шаг 2. Строятся матрицы A
i
, у которых наименованиями строк
являются альтернативы, а наименованиями столбцов критерии K
ij
. При
этом если альтернатива не связана с критерием K
ij
, то в матрице A
i
на
пересечении соответствующих строки и столбца ставится ноль.
Шаг 3. Вычисляются векторы приоритетов альтернатив
n
i
W
A
i
,1
, =
относительно критериев K
i
по выражениям:
]
[
]
][
][
[
1
1
1
1
1
1
B
X
L
S
A
W
A
=
]
[
]
][
][
[
2
2
2
2
2
2
B
X
L
S
A
W
A
=
......................................
]
[
]
][
][
[
n
n
n
n
n
A
n
B
X
L
S
A
W =
Матрицы [S
i
] – для нормирования матриц [A
i
];
[L
i
] – матрица изменения веса альтернатив пропорционально
соотношению R/N, где R – число альтернатив под критерием, а N –
суммарное число альтернатив.
X
i
– вектор приоритетов критериев K
ij
относительно критериев K
i
;
B
i
– диагональная матрица для получения нормированного вектора
n
i
W
A
i
,1
, =
.
Шаг 4.
Вычисляется
вектор
приоритетов
критериев
X
0
относительно фокуса иерархии K
0
.
Шаг 5. Строится результирующая матрица A
0
, у которой
наименованиями строк являются все рассматриваемые альтернативы, а
наименованиями столбцов – критерии K
i
. При этом результирующая
матрица имеет следующий вид:
p
A
n
r
A
m
A
n
A
W
A
A
A
W
A
A
A
W
A
A
K
K
K
A
′
′
′
′
′
′
=
K
K
K
K
K
K
K
0
0
0
0
0
0
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
0
57
Шаг 6. Определяется результирующий нормированный вектор
приоритетов
A
W
0
всех рассматриваемых альтернатив относительно
фокуса иерархии K
0
на основании выражения:
]
[
]
][
][
[
0
0
0
0
0
0
B
X
L
S
A
W
A
=
.
Конец алгоритма.
§ 3.4. Общая характеристика подхода метода анализа иерархий
Достоинством метода является направленность на сравнение
реальных альтернатив. Метод может применяться и в случаях, когда
эксперты или ЛПР не могут дать абсолютные оценки альтернатив по
критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.
Недостатки метода
неоднократно обсуждались в статьях
различных авторов. Весьма существенной проблемой, на взгляд многих
ученых, является необоснованный переход к числам при проведении
измерений, оторванность метода объединения оценок от предпочтений
ЛПР.
Литература к главе 3
1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с
англ. – М.: Радио и связь, 1989. – 316 с.
2. Андрейчиков А.В.,
Андрейчикова О.Н.
Анализ,
синтез,
принятие решений в экономике – М.: Финансы и статистика, 2000. –
368с.
3. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также
хроника событий в Волшебных Странах: Учебник. – М.: Логос, 2000. –
296 с.
4. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений:
Научно-практическое издание. – М.: СИНТЕГ, 1998. – 376 с.
5. Варфоломеев В.И., Воробьев С.Н. Принятие управленческих
решений: Учеб пособие для вузов. – М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2001. – 288 с.
6. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический
практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. - М.: Финансы
и статистика, 2000. – 656 с.
58
Домашнее задание к главе 3
Задание 1. Является ли матрица
A
матрицей парных сравнений?
Для матрицы
A
найти приближенное
W
и точное
W
значение главного
собственного
вектора.
Оценить
погрешность
W
W
W
−
=
∆
.
Определить является ли матрица парных сравнений согласованной.
1.1.
=
1
3/
1
2/
1
8/
1
3
1
3/
1
6/
1
2
3
1
4/
1
8
6
4
1
A
1.2.
=
1
3/
1
2/
1
8/
1
3
1
3
6/
1
2
3/
1
1
4
8
6
4/
1
1
A
1.3.
=
1
3/
1
2/
1
9/
1
3
1
4
6/
1
2
4/
1
1
3/
1
9
6
3
1
A
1.4.
=
1
2
3/
1
8/
1
2/
1
1
3/
1
6/
1
3
3
1
6/
1
8
6
6
1
A
1.5.
=
1
1
2/
1
2/
1
1
1
3/
1
3/
1
2
3
1
8/
1
2
3
8
1
A
1.6.
=
1
3/
1
2/
1
4/
1
3
1
6/
1
1
2
6
1
4/
1
4
1
4
1
A
1.7.
=
1
3/
1
2/
1
1
3
1
3/
1
6/
1
2
3
1
4/
1
1
6
4
1
A
1.8.
=
1
3/
1
2/
1
8/
1
3
1
8
2
2
8/
1
1
6/
1
8
2/
1
6
1
A
1.9.
=
1
3/
1
2/
1
8/
1
3
1
1
9
2
1
1
4/
1
8
9/
1
4
1
A
1.10.
=
1
3/
1
7
8/
1
3
1
8/
1
6/
1
7/
1
8
1
4/
1
8
6
4
1
A
Задание 2. Преобразуйте матрицу парных сравнений
A
из задания
1 таким образом, чтобы она стала абсолютно согласованными (
0
=
ОС
).
При этом:
а) оставьте первую строку матрицы без изменений;
б) оставьте последнюю строку матрицы без изменения.
59
Задание 3. Найдите агрегированную оценку двух экспертов, если
матрица парных сравнений первого эксперта имеет вид, представленный
в задании 1, а матрица парных сравнений второго имеет вид:
3.1.
=
1
3/
1
5/
1
8/
1
3
1
4/
1
6/
1
5
4
1
3/
1
8
6
3
1
A
3.2.
=
1
2/
1
2/
1
8/
1
2
1
3
7/
1
2
3/
1
1
4/
1
8
7
4
1
A
3.3.
=
1
3/
1
2
8/
1
3
1
4
2/
1
2/
1
4/
1
1
3/
1
8
2
3
1
A
3.4.
=
1
4/
1
5/
1
8/
1
4
1
3/
1
4/
1
5
3
1
6/
1
8
4
6
1
A
3.5.
=
1
3
2/
1
5/
1
3/
1
1
3/
1
3/
1
2
3
1
4/
1
5
3
4
1
A
3.6.
=
1
3/
1
2/
1
6/
1
3
1
5/
1
2/
1
2
5
1
4/
1
6
2
4
1
A
3.7.
=
1
3/
1
2/
1
5/
1
3
1
1
6/
1
2
1
1
4/
1
5
6
4
1
A
3.8.
=
1
5
3/
1
8/
1
5/
1
1
8
2
3
8/
1
1
7/
1
8
2/
1
7
1
A
3.9.
=
1
3/
1
7
8/
1
3
1
8/
1
6/
1
7/
1
8
1
4/
1
8
6
4
1
A
3.10.
=
1
3/
1
2/
1
8/
1
3
1
1
9
2
1
1
4/
1
8
9/
1
4
1
A
Задание 4. Найти агрегированную оценку экспертов из задания 3,
при условии, что квалификация первого эксперта имеет вес 3 (первый
эксперт более квалифицированный), а второго - 1.
Задание 5. Для иерархической структуры, представленной на
рисунке 5, определите приоритет провайдера, выполнив иерархический
синтез. Матрица сравнения критериев относительно цели имеет вид:
60
5.1.
=
1
3
1
2/
1
7/
1
3/
1
1
2/
1
4/
1
2/
1
1
2
1
3/
1
6/
1
2
4
3
1
4/
1
7
2
6
4
1
A
5.2.
=
1
3
1
2
7/
1
3/
1
1
2/
1
4/
1
2/
1
1
2
1
3/
1
8/
1
2/
1
4
3
1
8/
1
7
2
8
5
1
A
5.3.
=
1
4/
1
1
2/
1
7/
1
4
1
2/
1
2/
1
2/
1
1
2
1
3/
1
2/
1
2
2
3
1
4/
1
7
2
2
4
1
A
5.4.
=
1
3
1
2
3/
1
3/
1
1
2/
1
4/
1
2/
1
1
2
1
4
1
2/
1
4
4/
1
1
8/
1
3
2
1
5
1
A
5.5.
=
1
5/
1
1
2/
1
7/
1
5
1
4
2
2/
1
1
2
1
3/
1
6/
1
4/
1
2/
1
3
1
4/
1
7
2
6
4
1
A
5.6.
=
1
4/
1
1
2
7/
1
4
1
2/
1
4/
1
2/
1
1
2
1
3/
1
2/
1
2/
1
4
3
1
5
7
2
2
5/
1
1
A
5.7.
=
1
6/
1
1
5/
1
7/
1
6
1
4
4/
1
2/
1
1
4/
1
1
5/
1
6/
1
5
4
5
1
1
7
2
6
1
1
A
5.8.
=
1
3
1
2
2
3/
1
1
7
4
2/
1
1
7/
1
1
3/
1
8/
1
2/
1
4/
1
3
1
8/
1
2/
1
2
8
5
1
A
5.9.
=
1
3
1
2/
1
5
3/
1
1
2/
1
4/
1
2/
1
1
2
1
3/
1
3
2
4
3
1
4
5/
1
2
3/
1
4/
1
1
A
5.10.
=
1
8/
1
1
1
7/
1
8
1
2/
1
4
2/
1
1
2
1
3/
1
3
1
4/
1
3
1
8/
1
7
2
3/
1
5
1
A
Матрицы сравнения альтернатив относительно критериев
необходимо взять из предыдущих заданий по следующему правилу:
61
Задание
Тарифы Скорость Доступность Оплата Услуги
5.1
1.1
1.3
1.5
1.7
3.1
5.2
1.2
1.4
1.4
1.8
3.3
5.3
1.3
1.5
1.3
1.9
3.4
5.4
1.4
1.6
1.2
1.10
3.5
5.5
1.5
1.7
1.1
1.1
3.6
5.6
1.6
1.8
1.6
1.2
3.7
5.7
1.7
1.9
1.7
1.3
3.8
5.8
1.8
1.10
1.8
1.4
3.9
5.9
1.9
1.1
1.9
1.5
3.10
5.10
1.10
1.2
1.10
1.6
Задание 6. Оцените отношение согласованности иерархии из
задания 5.
Задание 7. Постройте иерархическую структуру для задачи
выбора альтернатив по ряду критериев. Постройте матрицы парных
сравнений. Проведите расчеты. Обеспечьте согласованность иерархии.
Задание 8. Постройте трехуровневую иерархическую структуру
(пример, на рисунке 14). Используя мнения двух экспертов, произведите
синтез
иерархии,
оцените
ее
согласованность,
сделайте
соответствующие выводы.
Задание 9. Постройте иерархию для задачи, в которой
целесообразен подход сравнения альтернатив относительно стандартов.
Проведите расчеты и сделайте соответствующие выводы.
62
Глава 4. Методы принятия решений, основанные на исследовании
операций
• отличительные черты подхода исследования операций,
• динамическое программирование,
• элементы теории управления запасами,
• теория массового обслуживания,
• литература к главе 4.
§ 4.1. Отличительные черты подхода исследования операций
Модели, описывающие поведение людей, активно используются в
исследовании операций. Под исследованием операций мы будем
понимать применение математических, количественных методов для
обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой
деятельности.
Основными этапами решения любой задачи в исследовании
операций являются:
1. построение модели;
2. выбор критерия оптимальности;
3. нахождение оптимального решения.
Для подхода исследования операций характерны следующие
особенности:
Используемые модели носят объективный характер. Построение
моделей рассматривается в рамках исследования операций как средство
отражения объективно существующей реальности. Когда модель,
правильно
отражающая
действительность, найдена, критерий
оптимальности установлен, оптимальное решение может быть получено
единственно возможным образом. Другими словами, опираясь на одни и
те же данные, различные специалисты должны получать одинаковые
результаты. Это требование определяет, что деятельность людей,
описываемая моделью, подчинена требованиям целесообразности.
Руководитель получает научно обоснованное решение. По заказу
руководителя аналитик исследует организацию, внешнюю среду и
пытается построить адекватную модель. В этой работе сам ЛПР чаще
всего не нужен. В описании многочисленных случаев применения
методов исследования операций подчеркивается, что группа аналитиков
самостоятельно
находит
удачное
решение. Конечно, иногда
руководитель дает дополнительную информацию, но его роль не
отличается от роли любого сотрудника организации. Можно сказать, что
руководитель дает заказ и получает готовое решение. Все остальное
делают специалисты-аналитики по исследованию операций. В общем
случае заказ руководителя может быть сформулирован в следующем
63
виде: найти оптимальное, единственно верное и научно обоснованное
решение. Давая такой заказ, руководитель находится в достаточно
удобном положении: он полагается на силу научного подхода.
Существует объективный критерий успехов в применении
методов исследования операций. Если проблема, требующая решения,
ясна и критерий определен, то аналитический метод сразу показывает,
насколько новое решение лучше старого. Оптимальное решение
проблемы бессмысленно оспаривать.
§ 4.2. Динамическое программирование
Динамическое программирование есть особый метод оптимизации
решений, специально
приспособленный
к
так
называемым
«многошаговым», или «многоэтапным» операциям.
§ 4.2.1 Постановка задачи
Представим себе некоторую операцию
Q
, распадающуюся на ряд
последовательных шагов, - например, деятельность предприятия в течении
нескольких хозяйственных лет; поэтапное планирование инвестиций;
управление производственными мощностями в течение длительного срока;
или
же
преодоление
группой
самолетов
нескольких
полос
противовоздушной
обороны;
или
же
распределения
весов
многоступенчатой ракеты между ее ступенями с целью оптимизации
скорости. Некоторые операции расчленяются на шаги естественно; в
некоторых членение приходится вводить искусственно – скажем, процесс
наведения ракеты на цель можно условно разбить на этапы, каждый из
которых занимает какое-то время
t∆
.
Рассмотрим управляемый процесс. Предположим, что управление
можно разбить на
n
шагов, т.е. решение принимается последовательно на
каждом шаге, а управление, переводящее систему из начального состояния
в конечное, представляет собой совокупность
n
пошаговых управлений. В
результате управления система переходит из состояния
0
x
в
n
x
.
Обозначим через
k
k
U
u ∈
управление на
−
k
ом шаге (к = 1, 2, ..., n).
k
U
– множество допустимых управлений на
−
k
ом шаге.
Пусть
)
,
,
,
(
2
1
n
u
u
u
u
K
=
– управление, переводящее систему из
состояние
0
x
в состояние
n
x
. Обозначим через
k
x
состояние системы
после
−
k
ого шага управления. Получаем последовательность состояний
n
k
k
k
x
x
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
1
1
1
0
K
K
+
−
. (рисунок 18).
u
1
u
2
..... u
k-1
u
k
u
k+1
.. u
n-1
u
n
Рис. 18 Переход системы из одного состояния в другое в результате
управляющих сигналов
x
0
x
1
x
k-1
x
k
x
n-1
x
n
64
Показатель
эффективности
рассматриваемой
управляемой
операции зависит от начального состояния и управления:
)
,
(
0
u
x
F
Z =
(1)
U
u ∈
- множество возможных управлений
Сделаем несколько предположений:
1. Состояние
k
x
системы на
−
k
ом шаге зависит только от
предшествующего состояния
1−
k
x
и управления на
−
k
ом шаге
k
u
и не
зависит от предшествующих состояний и управлений (свойство
отсутствия последействия):
n
k
u
x
x
k
k
k
k
,1
),
,
(
1
=
=
−
ϕ
уравнения состояний
(2)
k
ϕ
- оператор перехода
2. Целевая функция (1) является аддитивной от показателя
эффективности каждого шага, т.е. выигрыш за всю операцию
складывается из выигрышей на отдельных шагах.
∑
=
−
=
=
n
k
k
k
k
u
x
f
u
x
F
Z
1
1
0
)
,
(
)
,
(
(3)
k
k
k
k
Z
u
x
f
=
−
)
,
(
1
показатель эффективности шага
k
(4)
Общая постановка задачи ДП. Определить такое допустимое
управление
U
u ∈
, переводящее систему из состояния
0
x
в состояние
n
x
, при котором целевая функция (3) принимает максимальное
значение.
§ 4.2.2. Принцип решения задач динамического программирования
Любую многошаговую задачу можно решать по разному: либо
искать сразу все элементы решения на всех
n
шагах, либо же строить
оптимальное управление шаг за шагом, на каждом этапе расчета
оптимизируя лишь один шаг. Обычно второй способ оказывается проще,
чем первый, особенно при большом числе шагов.
Такая идея постепенной, пошаговой оптимизации и лежит в
основе метода динамического программирования. Оптимизация одного
шага, как правило, проще оптимизации всего процесса: лучше,
оказывается, много раз решить сравнительно простую задачу, чем один
раз – сложную.
С первого взгляда идея может показаться довольно тривиальной.
В самом деле, чего казалось бы проще: если трудно оптимизировать
операцию в целом, разбить ее на ряд шагов. Каждый шаг будет
отдельной, маленькой операцией, оптимизировать которую уже не
трудно. Надо выбрать на этом шаге такое управление, чтобы
эффективность этого шага была максимальна. Не так ли?
65
Нет! Принцип динамического программирования отнюдь не
предполагает, что каждый шаг оптимизируется отдельно, независимо от
других. Напротив, шаговое
управление
должно
выбираться
дальновидно, ч учетом всех его последствий в будущем. Что толку, если
мы выберем на данном шаге управление, при котором эффективность
этого шага максимальна, если этот шаг лишит нас возможности хорошо
выиграть на последующих шагах?
Пусть, например, планируется работа группы промышленных
предприятий, из которых часть занята выпуском предметов
потребления, а остальные производят для них машины. Задача операции
– получить за
n
лет максимальный объем выпуска предметов
потребления. Допустим, планируются капиталовложения на первый год.
Исходя из узких интересов этого шага, мы должны были бы все
наличные средства вложить в производство предметов потребления. Но
правильно ли будет такое решение с точки зрения эффективности
операции в целом? Очевидно, нет. Это решение – недальновидное. Имея
в виду будущее, надо выделить какую-то часть средств и на
производство машин. От этого объем продукции за первый год, конечно,
снизится, зато будут созданы условия для его увеличения в
последующие годы.
Планируя многошаговую операцию, надо выбирать управление на
каждом шаге с учетом всех его будущих последствий на еще
предстоящих шагах. Управление на
−i
ом шаге выбирается не так,
чтобы выигрыш именно на данном шаге был максимален, а так, чтобы
была максимальна сумма выигрышей на всех оставшихся до конца
шагах плюс данный.
Принцип динамического программирования не предполагает, что
каждый шаг оптимизируется отдельно, независимо от других. Напротив,
шаговое управление должно выбираться дальновидно, с учетом всех его
последствий в будущем.
Однако из этого правила есть исключение. Среди всех шагов есть
один, который может планироваться попросту, без оглядки на будущее.
Какой это шаг? Очевидно, последний! Этот шаг, единственный из всех,
можно планировать так, чтобы он сам, как таковой, принес наибольшую
выгоду.
Поэтому процесс динамического программирования обычно
разворачивается от конца к началу: прежде всего планируется
последний,
−
n
ый шаг. А как его спланировать если мы не знаем, чем
закончился предпоследний?
Планируя последний шаг, нужно сделать разные предположения о
том, чем кончился предпоследний,
)1
( −
n
-ый шаг, и для каждого из этих
предположений найти условное оптимальное управление на
−
n
м шаге.
"Условное" потому, что оно выбирается исходя из условия, что
предпоследний шаг кончился определенным образом.
66
Предположим, что мы это сделали, и для каждого их возможных
исходов предпоследнего шага знаем условное оптимальное управление
и соответствующий ему условный оптимальный выигрыш на
−
n
м шаге.
Теперь мы можем оптимизировать управление на предпоследнем,
)1
( −
n
-шаге. Снова сделаем все возможные предположения о том, чем
кончился предыдущий,
)2
( −
n
-ой шаг, и для каждого из этих
предположений найдем такое управление на
)1
( −
n
-шаге, при котором
выигрыш за последние два шага максимален. Так мы найдем для
каждого исхода
)2
( −
n
-го шага условное оптимальное управление на
)1
( −
n
-м шаге и условный оптимальный выигрыш на двух последних
шагах. Далее, «пятясь» назад, оптимизируем управление на
)2
( −
n
-м
шаге и т.д., пока не дойдем да первого.
Предположим, что все условные оптимальные управления и
условные оптимальные выигрыши за весь «хвост» процесса нам
известны. Это значит: мы знаем, что надо делать, как управлять на
данном шаге и что мы за это получим на «хвосте», в каком бы состоянии
ни был процесс к началу шага. Теперь мы можем построить уже не
условно оптимальное, а просто оптимальное управление
*
u
и найти не
условно оптимальный, а просто оптимальный выигрыш
*
Z
.
В самом деле, пусть мы знаем, в каком состоянии
0
x
была
управляемая система в начале первого шага. Тогда мы можем выбрать
оптимальное управление
*
1
u
на первом шаге. Применив его, мы изменим
состояние системы на некоторое новое
*
1
x
; в этом состоянии мы
подошли ко второму шагу. Тогда нам тоже известно уловное
оптимальное управление
*
2
u
, которое к концу второго шага переводит
систему в состояние
*
2
x
, и т.д. Что касается оптимального выигрыша
*
Z
за всю операцию, то он нам уже известен: ведь именно на основе его
максимальности мы выбирали управление на первом шаге.
Таким образом, в процессе оптимизации управления методом
динамического программирования многошаговый процесс «проходится»
дважды: первый раз – от конца к началу, в результате чего находятся
условные оптимальные управления и условные оптимальные выигрыши
за оставшийся «хвост» процесса; второй раз – от начала к концу, когда
нам остается только «прочитать» уже готовое управления
*
u
, состоящее
из оптимальных шаговых управлений
*
*
2
2
1
,
,
,
n
u
u
u
K
.
Первый этап - условная оптимизации - несравненно сложнее
второго. Второй этап почти не требует дополнительных вычислений.
67
§ 4.2.3. Принцип оптимальности Беллмана. Уравнения Беллмана
Предположим, что задача
max
)
,
(
)
,
(
1
1
0
→
=
=
∑
=
−
n
k
k
k
k
u
x
f
u
x
F
Z
n
k
u
x
x
k
k
k
k
,1
),
,
(
1
=
=
−
ϕ
n
k
U
u
k
k
,1
, =
∈
n
k
X
x
k
k
,0
, =
∈
имеет решение.
Тогда
справедлив
принцип
оптимальности
Беллмана:
оптимальное управление
)
,
,
,
(
*
*
2
*
1
*
n
u
u
u
u
K
=
обладает тем свойством,
что каковы бы ни были состояния системы
*
1−
k
x
на любом шаге и
управление
*
k
u
, принимаемое в этом состоянии, последующие
управляющие решения
*
1+
k
u
, ...,
*
n
u
должны составлять оптимальную
стратегию относительно состояния
*
k
x
, полученного в результате
управляющего решения
*
k
u
, т.е. состояния, к которому придет система в
конце данного шага.
Другими словами: управление на каждом шаге необходимо
выбирать так, чтобы оптимальной была сумма выигрышей на всех
оставшихся до конца процесса шагах, включая выигрыш на данном
шаге.
На основании принципа оптимальности Беллмана можно получить
основное уравнение динамического программирования, или уравнение
Беллмана.
Рассмотрим последовательность задач используя принцип
оптимальности. На каждом шаге любого состояния системы
1−
k
x
управление
k
u
нужно выбирать “с оглядкой”, т.к. этот выбор влияет на
последующее состояние
k
x
и дальнейший процесс управления,
зависящий от
k
x
. Это следует из принципа оптимальности.
Как отмечалось ранее, среди всех шагов есть одно исключение, он
может планироваться попросту, без оглядки на будущее – это последний
шаг. Этот шаг единственный, который можно планировать так, чтобы он
сам, как таковой, принес наибольшую выгоду.
Рассмотрим
−
n
ый шаг:
1−
n
x
– состояние системы к началу
−
n
го
шага,
n
x
– конечное состояние,
n
u
– управление на шаге
n
, а
)
,
(
1
n
n
n
u
x
f
−
- целевая функция шага
n
.
68
Согласно принципу оптимальности,
n
u
нужно выбирать так,
чтобы для любых состояний
1−
n
x
получить максимум целевой функции
на этом шаге.
Обозначим через
)
(
1
*
−n
n
x
Z
максимум показателя эффективности
шага
n
при условии, что к началу последнего шага система была в
произвольном состоянии
1−
n
x
, а на последнем шаге управление было
оптимальным.
)
,
(
max
)
(
1
1
*
n
n
n
u
n
n
u
x
f
x
Z
n
−
−
=
(5)
Управление
n
u
, при котором достигается максимум (5) также
зависит от
1−
n
x
и называется условным оптимальным управлением шага
n
и обозначается
)
(
1
*
−
n
n
x
u
.
Решив задачу (5), найдем для всех возможных состояний
1−
n
x
две
функции:
)
(
1
*
−
n
n
x
u
и
)
(
1
*
−n
n
x
Z
.
Рассмотрим двухшаговую задачу: присоединим к
−
n
му шагу
)1
( −
n
-ый (рисунок 19).
)
(
1
*
−
n
n
x
Z
1−
n
u
Рис. 19. Оптимальное управление на двух последних шагах
Для любых состояний
2
−
n
x
, произвольных управлений
1−
n
u
и
оптимального управления на шаге
n
значение целевой функции на двух
последних шагах равно:
)
(
)
,
(
1
*
1
2
1
−
−
−
−
+
n
n
n
n
n
x
Z
u
x
f
(6)
Согласно принципу оптимальности для любых состояний
2
−
n
x
управление нужно выбирать так, чтобы оно вместе с оптимальным
управлением на последнем шаге приводило бы к максимальному
эффекту на двух последних шагах. Следовательно, необходимо искать
максимум (6) по всем допустимым
1−
n
u
.
)}
(
)
,
(
{
max
)
(
1
*
1
2
1
2
*
1
1
−
−
−
−
−
−
+
=
−
n
n
n
n
n
u
n
n
x
Z
u
x
f
x
Z
n
(7)
В результате максимизации получаем две функции:
)
(
2
*
1
−
−
n
n
x
u
и
)
(
2
*
1
−
−
n
n
x
Z
.
Далее рассматривается трехшаговая задача: к двум последним
добавляется
)2
( −
n
-ой и т.д.
x
n-2
x
n
x
n-1
)
(
1
*
−
n
n
x
u
69
Обозначим через
)
(
1
*
−
k
k
x
Z
условный максимум целевой функции,
полученный при оптимальном управлении на
1
+
−k
n
шагах, начиная с
−
k
го до конца, при условии, что к началу
−
k
го шага система
находится в состоянии
1−
k
x
.
∑
=
−
−
=
n
k
i
i
i
i
u
u
k
k
u
x
f
x
Z
n
k
)
,
(
max
)
(
1
}
,
,
{
1
*
K
∑
+
=
−
+
+
=
n
k
i
i
i
i
u
u
k
k
u
x
f
x
Z
n
k
1
1
}
,
,
{
*
1
)
,
(
max
)
(
1
K
Целевая функция на
k
n −
последних шагах при произвольном
управлении
k
u
на
−
k
ом шаге и оптимальном управлении на
последующих
k
n−
шагах равна
)
(
)
,
(
*
1
1
k
k
k
k
k
x
Z
u
x
f
+
−
+
.
Согласно принципу оптимальности,
k
u
выбирается из условия
максимума этой суммы, т.е.
1,
1
))},
,
(
(
)
,
(
{
max
)
(
1
*
1
1
1
*
−
=
+
=
−
+
−
−
n
k
u
x
Z
u
x
f
x
Z
k
k
k
k
k
k
u
k
k
k
ϕ
(8)
Уравнения (8) называются уравнениями Беллмана. Это
рекуррентные соотношения, позволяющие найти предыдущие значения
функции, зная последующие. Процесс решения уравнений (5) и (8)
называется условной оптимизацией.
В
результате
условной
оптимизации
получаем
две
последовательности:
)
(
,
),
(
),
(
0
*
1
2
*
1
1
*
x
Z
x
Z
x
Z
n
n
n
n
K
−
−
−
и
)
(
,
),
(
),
(
0
*
1
2
*
1
1
*
x
u
x
u
x
u
n
n
n
n
K
−
−
−
.
Используя эти последовательности, можно найти решение задачи
динамического программирования при данных
n
и
0
x
:
)
(
0
*
1
max
x
Z
Z
=
)
(
)
(
)
,
(
)
(
*
1
*
*
*
1
*
2
*
2
*
1
0
1
*
1
0
*
1
*
1
−
=
→
→
=
→
=
→
=
n
n
n
x
u
u
x
u
u
u
x
x
x
u
u
K
ϕ
.
70
§ 4.3. Элементы теории управления запасами
В развитых странах управление товарными запасами базируется на
использовании мощных информационных технологий, позволяющих
практически ежедневно отслеживать их состояние и динамику,
автоматически осуществлять размещение заказов через компьютерную
сеть и пополнение запасов до оптимального уровня. Наиболее
распространенные системы управления запасами, основанные на
использовании модели EOQ (Economic Ordering Quantity), метода
красной линии (red line method), двухсекторного метода (two-bin
method). В последнее время получил распространение метод управления
запасами по принципу Just-In-Time. При этом, полнота и достоверность
информационной базы обеспечивается за счет автоматизации учета и
использования международной системы кодирования товаров.
Общий принцип, на котором основаны все системы управления
запасами, взаимосвязь входных и выходных параметров, представлены
на рисунке 20.
Точка заказа
Объем заказа
Операционный
уровень запасов
Уровень
страхового запаса
Рис. 20 Система управления запасами
Такие системы создаются для наиболее эффективного решения
следующих проблем:
•реальной оценки текущего состояния запасов;
•установления необходимых сроков размещения заказов;
•определения целесообразного объема заказываемой партии
товаров;
•определения необходимого объема страхового запаса;
•оценки издержек управления запасами и способов их
минимизации.
Политика менеджмента
Прог
но
зи
р
о
вание
сп
роса
Система принятия
решений
Систем
конт
роля
у
ровн
я
запасов
Экзогенные параметры (удельные издержки, время поставки, технологические
особенности, особенности организации)
71
Первая проблема решается посредством использования систем
контроля уровня запасов, которые обеспечивают управленческие
потребности в оперативной информации о динамике их реализации и
текущего состояния.
§ 4.3.1.Системы контроля уровня запасов
Существующие системы контроля уровня запасов варьируются от
наиболее простых до достаточно сложных в зависимости от размера
предприятия, политики и технологии менеджмента, объема, видов и
других особенностей запасов.
Одним из распространенных видов систем контроля уровня
запасов являются системы, основанные на применении метода красной
точки. Суть метода состоит в фиксации предельной границы, ниже
которой уровень запасов не должен опускаться. При достижении этой
границы происходит автоматическое размещение нового заказа.
Второй тип систем контроля основан на использовании
двухсекторного метода, в соответствии с которым запасы для хранения
размещаются в двух секторах – рабочем и резервном. Когда запасы
рабочего сектора истощены, включаются два процесса – пополнение
рабочего сектора за счет резервного, и размещается новый заказ.
Широкое распространение в развитых странах получил
классификационный подход к управлению запасами (ABC System). Его
идея заключается в использовании классификации запасов и выделении
трех групп – А, В и С, в зависимости от степени влияния данного вида
запасов на рост товарооборота предприятия. К группе А относят запасы,
реализация которых вносит наибольший вклад в объем товарооборота в
денежном выражении. К этой группе относятся запасы, обеспечивающие
70% объема реализации. Как правило, это наиболее дорогие товары, и их
удельный вес в объеме запасов в натуральном выражении не превышает
10%. Запасы этого вида требуют особого внимания менеджеров и
использования количественных методов и моделей для оптимизации
принятия решений. К группе В относят запасы среднего уровня
важности, которые обеспечивают 20% объема реализации предприятия.
Их удельный вес в натуральном выражении, как правило, составляет
около 20%. Выбор методов управления запасами группы В должен быть
основан на сопоставлении затрат на управление и экономического
эффекта от их использования. Товарные запасы, реализация которых
имеет незначительный вклад в объем товарооборота, порядка 10%,
относят к группе С. Достаточно часто они составляют подавляющую
часть в объеме запасов в натуральном выражении, - около 70%. К
управлению запасами группы С нецелесообразно применять сложные
количественные методы управления, так как при этом, затраты на
управление могут быть несопоставимы с экономическим эффектом от их
72
использования. Принцип классификации запасов на группы по их
значимости для предприятия приведен в таблице 7.
Таблица 7.
Классификация запасов по значимости для предприятия
Группы
запасов
Доля в объеме
товарооборота в
денежном выражении
Доля в объеме запасов
в натуральном
выражении
Следует ли
использовать сложные
количественные
методы управления
Группа А
70%
10%
Да
Группа В
20%
20%
В некоторых случаях
Группа С
10%
70%
Нет
Относительно новым подходом к управлению запасами, является
принцип управления Just-In-Time (JIT). Этот подход впервые был
использован японскими корпорациями, а затем нашел распространение
во всем мире. Основная идея заключается в том, что запасы практически
не создаются, а процесс доставки товаров поставщиками жестко
согласован с технологическим процессом на предприятии. В настоящее
время такой подход эффективно используется компаниями Toyota,
General Motors и многими другими. Заказы размещаются с интервалом
3-4 часа и немедленно реализуются поставщиками. Эта система
позволяет получить экономический эффект порядка миллионов
долларов за счет сведения издержек хранения к нулю. Однако, высокий
уровень требований к точности функционирования системы поставок и
риск возможных сбоев, которые приведут к нарушению технологии, не
позволяет использовать этот подход в странах с неразвитой
информационной и коммуникационной инфраструктурой.
Статистический
отчет,
подготовленный
Национальной
ассоциацией производителей США в 1997 г., свидетельствует, что
наибольшего успеха среди исследованных 385-ти предприятий добились
16%, внедривших у себя систему JIT, а проведенный опрос подтвердил
готовность еще 53% компаний перейти к данной системе снабжения.
Пример компании Тойота. Одним из классических примеров
претворения в жизнь метода "точно в срок" является фирма Тойота,
которая построила свой бизнес таким образом, что около 90% всех
поставщиков этого автомобильного монстра сосредоточены в
предместье
Тойото.
При
этом
подавляющее
большинство
комплектующих доставляются к месту сборки в течение нескольких
часов или минут до того как они будут использованы. Данное
обстоятельство
позволяет
компании
значительно
сократить
операционные расходы и избавиться от непроизводительного труда.
Однако подобная организация конвейера требует повышенных
требований к качеству всех элементов производственного процесса:
73
наличие даже незначительного брака в комплектующих способно
парализовать целую производственную линию.
Управление большинством торговых компаний развитых стран
основано на использовании компьютерной технологии. Системы
управления включают автоматизированную систему учета запасов и
размещения заказов у поставщиков. Движение каждой единицы товаров,
с помощью магнитного штрихового кодирования, отражается в базе
данных, охватывающей информацию по всей торговой сети компании.
Система управления базами данных позволяет постоянно обновлять
информацию о состоянии запасов, при достижении точки заказа,
автоматически размещать заказы через компьютерную сеть и учитывать
информацию о пополнении запасов. При этом, информация о
реализации товаров поступает в систему управления товарными
запасами, дебиторской задолженностью и денежными средствами и
обрабатывается на основе встроенного в систему модельного
инструментария.
§ 4.3.2. Базовая модель оптимального уровня запасов
Идея использования базовой модели EOQ, то есть, модели
оптимального уровня запасов, заключается в определении такого уровня
запасов, поддержание которого минимизирует совокупные издержки
управления ими. При этом, совокупные издержки разбиваются на три
однородные группы: издержки хранения, издержки, связанные с
формированием запасов и издержки, которые возникают вследствие
недостатка товарных запасов.
Рост уровня запасов сопровождается увеличением издержек
хранения в прямо-пропорциональной зависимости (прямая А на рисунке
21), так как растет объем капитала, иммобилизованного в запасах,
складские расходы, расходы, связанные с устареванием и порчей
товаров.
74
Уровень издержек
С
А
В
0
Q
*
=EOQ
Объем запасов
Рис. 21. Зависимость уровня издержек от объема товарных запасов
На вторую и третью группу издержек (издержки, связанные с
формирование запасов и издержки, связанные с дефицитом запасов)
увеличение уровня запасов оказывает противоположное действие и
ведет к их снижению
Информация о работе Методы принятия решений, основанные на исследовании операций