Коэффициенты корреляции

     Содержание

     Введение……………………………………………………………………….2

     Глава 1. Исследование линейной зависимости  у от нескольких объясняющих, переменных (x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(p)): множественный и частные коэффициенты корреляции.

     1.1.  Частные коэффициенты корреляции и их выборочные значения .......4

     1.2. Процедура присоединения – удаления………………………………….8

     1.3. Множественный коэффициент корреляции ............................................9

     Глава 2. Пример использования частных  и множественных коэффициентов  в отборе факторов эконометрической модели

     2.1. Задача №1…………………………………………….….………………15

     2.2. Задача №2………………………………………………………………..18

     Заключение…………………………………………………………………...20

     Приложение А………………………………………………………………..21

     Приложение  Б………………………………………………………………..22

     Приложение В………………………………………………………………..23

     Приложение  Г………………………………………………………………..24

     Библиографический список…………………………………………………25

 

      Введение

     Под эконометрикой понимается раздел науки, изучающий конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических  объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей.

     Можно сказать, что главной задачей  эконометрики является количественная оценка имеющихся взаимосвязей между  экономическими явлениями и процессами.

     Важной  составляющей этого процесса является отбор факторов, существенно влияющих на изучаемый показатель и подлежащих включению в разрабатываемую модель. Оптимальный набор факторов определяется на основе качественного и количественного анализа.

     Формальная  проверка существенности вклада фактора  в модель выполняется с помощью оценки значимости соответствующего частного коэффициента корреляции – они характеризуют тесноту связи между результативным признаком и соответствующим факторным признаком при устранении влияния других факторов, включенных в модель, либо значимости коэффициента в уравнении регрессии.

     Показатель  множественной корреляции характеризует  тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного  влияния факторов на результат.

     В данной работе будем рассматривать использование в отборе факторов эконометрической модели  множественных и частных коэффициентов корреляции.

     Проблема рассматриваемой темы заключается в том, что на практике часто необходимо измерить степень тесноты связи между каким-либо явлением и влияющими на него событиями. Для этого целесообразно применять частные и множественные коэффициенты корреляции.

     Цель данной работы заключается в том, что бы рассмотреть степень связи различных факторов с рассматриваемым явлением и выявить факторы, оказывающие достаточное влияние на него.

     Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

     – рассмотреть частные коэффициенты корреляции, их сущность и свойства;

     – определить методы вычисления частных  коэффициентов;

     – рассмотреть множественные коэффициенты корреляции, их сущность и свойства;

     – определить методы вычисления множественных  коэффициентов;

     – привести пример отбора факторов с  использованием частных и множественных  коэффициентов.

 

      Глава 1. Исследование линейной зависимости у от нескольких объясняющих, переменных (x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(p)): множественный и частные коэффициенты корреляции.

     1.1. Частные коэффициенты корреляции и их выборочные значения

     В анализе множественных корреляционных связей (так называют статистические связи между более чем двумя переменными) есть своя специфика. Эта специфика связана в первую очередь с необходимостью уметь измерять степень тесноты связи между результирующей переменной у и множеством объясняющих переменных (x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(p)), а также с возникающими трудностями в интерпретации парных коэффициентов корреляции между у и обусловленными возможным опосредованным влиянием на эту парную связь других (явно не учтенных в вычислении r(у; х^(j))) объясняющих переменных x⁽ⁱ⁾ (i≠ j).

     Последнее обстоятельство, в частности, делает необходимым введение таких измерителей статистической связи, которые были бы «очищены» от опосредованного влияния других переменных, давали бы оценку степени тесноты интересующей нас связи между переменными у и x^(j) (или х⁽ⁱ⁾ и х^(j)) при условии, что значения остальных переменных зафиксированы на некотором постоянном уровне. В этом случае говорят о статистическом анализе частных (или «очищенных») связей и используют соответственно частные («очищенные») коэффициенты корреляции или другие корреляционные характеристики.

     Поставим  в соответствие каждой парной характеристике статистической связи между переменными x⁽ⁱ⁾ и x^(j) (i,j = 0,1,...,р; x⁽⁰⁾ ≡ y) частную («очищенную» ) характеристику, определяемую по той же формуле, но только для условного распределения φ(x⁽ⁱ⁾, x^(j) | X^(i,j) = x). Здесь φ – это функция плотности вероятности переменных x⁽ⁱ⁾ и x^(j); X^(i,j) – множество переменных, дополняющих пару (x⁽ⁱ⁾, x^(j)) до полного набора рассматриваемых (наблюдаемых) переменных X = (x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾,…, x^(p)), а х – (р–1)-мерный вектор, определяющий заданные уровни, на которых фиксируются значения «мешающих» переменных X^(i,j). Есть два взаимосвязанных обстоятельства, которые препятствуют широкому практическому использованию частных характеристик статистической связи в общем случае:

     – частные характеристики статистической связи, вообще говоря, зависят от заданных уровней х мешающих переменных (как их выбирать в каждом конкретном случае?);

     – для подсчета выборочных значений частных характеристик статистической связи необходимо иметь выборку специальной структуры, обеспечивающей наличие хотя бы нескольких наблюдений при каждом из заданного ряда фиксированных значений х мешающих переменных.

     Однако  можно показать, что если исследуемые случайные переменные (x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾,…, x^(p)) подчиняются многомерному нормальному закону, то указанные неудобства автоматически исчезают, так как в этом случае частные коэффициенты корреляции не зависят от уровней мешающих переменных х, определяющих условие в соответствующем условном распределении. В частности, имеет место следующая формула (при условии невырожденности (р+1)-мерного нормального закона):

                                 

, (1)

     где   – частный коэффициент корреляции между переменными x⁽ⁱ⁾ и x^(j) при фиксированных значениях всех остальных переменных X^(i,j), a R_kl – алгебраическое дополнение для элемента r_kl в определителе корреляционной матрицы R анализируемых признаков x⁽⁰⁾ ≡ y, x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(p),т.е. в определителе

     

, где r_ij=r(x⁽ⁱ⁾, x^(j)).

     Формула (1), примененная к трехмерному признаку (x⁽⁰⁾ ≡ y, x⁽¹⁾, x⁽²⁾), при i = 0, j = 1 и X^(i,i) = х⁽²⁾ дает:

                            

. (2)

     Значения  лежат в интервале [–1,1], как у обычного коэффициента корреляции. Равенство коэффициента   нулю означает, говоря нестрого, отсутствие прямого (линейного) влияния переменной х₁ на у.

     Последовательно присоединяя к мешающим переменным все новые признаки из рассматриваемого набора, можно получить рекуррентные соотношения для подсчета частных коэффициентов корреляции r_01(2…k+1) порядка k (т.е. при исключении опосредованного влияния k мешающих переменных) по частным коэффициентам корреляции порядка k–1(k=1,2,...,p–1):

               

. (2')

     Выборочные (эмпирические) значения частных коэффициентов  корреляции вычисляются по тем же формулам (1)–(2') с заменой теоретических значений парных коэффициентов корреляции r_ij их выборочными аналогами .

     Если  исследователь имеет дело лишь с тремя–четырьмя переменными (р = 2,3), то удобно пользоваться рекуррентными соотношениями (2'). При больших размерностях анализируемого многомерного признака удобнее опираться на формулу (1), использующую расчет соответствующих определителей.

     При исследовании статистических свойств  выборочного частного коэффициента корреляции порядка k (т. е. при исключении опосредованного влияния k мешающих переменных) следует воспользоваться тем, что он распределен точно так же, как и обычный (парный) выборочный коэффициент корреляции между теми же переменными с единственной поправкой: объем выборки надо уменьшить на k единиц, т. е. полагать его равным n – k, а не n.

 

      1.2. Процедура присоединения  – удаления

     На  первом шаге из исходного набора объясняющих переменных выбирается (включается в число регрессоров) переменная, имеющая наибольший по модулю коэффициент корреляции с зависимой переменной у.

     Второй  шаг состоит из двух подшагов. На первом из них, который выполняется, если число регрессоров уже больше двух, делается попытка исключить один из регрессоров. Ищется тот регрессор x_s, удаление которого приводит к наименьшему уменьшению коэффициента детерминации. Затем сравнивается значение F-статистики для проверки гипотезы Н₀ о незначимости этого регрессора с некоторым заранее заданным пороговым значением F_искл. Если F < F_искл, то x_s удаляется из списка регрессоров. Заметим, что гипотеза Н₀ о равенстве коэффициента при x_s нулю эквивалентна гипотезе о равенстве коэффициентов детерминации до и после удаления регрессора, а также гипотезе о том, что коэффициент частной корреляции x_s и у равен 0. Второй подшаг состоит в попытке включения нового регрессора из исходного набора предсказывающих переменных. Ищем переменную х_p с наибольшим по модулю частным коэффициентом корреляции (исключается влияние ранее включенных в уравнение регрессоров) и сравниваем значение F-статистики для проверки гипотезы Н₀ о незначимости этого регрессора с некоторым заранее заданным пороговым значением F_вкл. Если F > F_вкл, то х_p включается в список регрессоров. Обычно выбирают  F_искл < F_вкл. Второй шаг повторяется до тех пор, пока происходит изменение списка регрессоров. Конечно, ни одна из пошаговых процедур не гарантирует получение оптимального по какому-либо критерию набора регрессоров.

     Следует отметить, что пошаговый отбор является формально- аналитической процедурой, и его надо рассматривать как вспомогательный метод. Основным критерием является содержательный экономический смысл модели.

     1.3. Множественный коэффициент корреляции

     Обратимся теперь к задаче измерения статической связи между результирующим показателем у и множеством объясняющих переменных X = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(p))^T в условиях многомерной нормальной совокупности. В общем случае эта задача решается с помощью коэффициента детерминации K_d(y,X), который по построению обладает следующими свойствами:

     а) ;