Коэффициенты корреляции

     б) минимальное значение коэффициента детерминации (K_d(y;X) = 0) соответствует случаю полного отсутствия корреляционной связи между у и (x⁽¹⁾,…, x^(p)), так как это может быть только при , т.е. при независимости значений функции регрессии f от величины ее аргументов X(f(X) = const); это соответствует ситуации, когда усредненная дисперсия «регрессионных остатков» в точности равна общей вариации результирующего показателя;

     в) максимальное значение коэффициента детерминации (K_d(y; X) = 1) соответствует полному отсутствию варьирования «регрессионных остатков» (Еε² = 0), что означает наличие чисто функциональной связи между у и (x⁽¹⁾,…, x^(p)): у =f(x⁽¹⁾,…, x^(p)). Следовательно, в этом случае мы имеем возможность точно (детерминированно) восстанавливать условные значения у(Х) = {у | X} по значениям предикторных переменных X, и соответственно общая вариация результирующего показателя у полностью объясняется контролируемой вариацией функции регрессии.

     Сейчас  мы увидим, что свойства многомерных  нормальных совокупностей позволяют вычислять значение K_d(y; X) до проведения регрессионного анализа.

     Множественный коэффициент корреляции R_y.X используется в качестве измерителя статической связи между результирующим показателем у и набором объясняющих переменных x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(p) в моделях линейной регрессии. Он определяется как обычный парный коэффициент корреляции между у и линейной функцией регрессии у по X, т.е.

                                           

, (3)

     где

     

     R_y.X – это парный коэффициент корреляции между у и такой линейной комбинацией x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(p), для которой значение этого парного коэффициента корреляции достигает своего максимума.

     Можно показать, что при статистической обработке выборок, извлеченных  из нормальных генеральных совокупностей, множественный коэффициент корреляции R_y.X и его выборочное значение обладают рядом удобных свойств (приведенные ниже формулы и свойства теоретического множественного коэффициента корреляции R_y.X автоматически переносятся на выборочный заменой участвующих в них теоретических характеристик соответствующими выборочными значениями).

     1. Вычисление R_y.X по матрице парных коэффициентов корреляции. Обозначая, как и прежде, (р + 1)(р + 1)-корреляционную матрицу (r_ij)_ij=o,1,...,p через R, а алгебраическое дополнение элемента r_kl в ее определителе через |R|_kl, имеем

                                                       

. (4)

     2. Вычисление R_y.X по частным коэффициентам корреляции

                           

. (5)

     3. Множественный коэффициент корреляции мажорирует любой парный или частный коэффициент корреляции, характеризующий статистическую связь результирующего показателя, т. е.

     

,

     где j = 1,2,...,р, a I_j – любое подмножество множества индексов I₀ = {1,2,..., р], не содержащее индекса j (это соотношение следует из (5)). Напоминаем, что x₀ ≡ у.

     4. Присоединение каждой новой предсказывающей переменной не может уменьшить величины R (независимо от порядка присоединения), т. е.

     

. (6)

     5. Условная дисперсия результирующего  показателя D(у | X) не зависит от условия (т.е. от значения X) и связана со значением множественного коэффициента корреляции R_y.X соотношением

                                         

. (7)

     Последний результат позволяет связать между собой две характеристики степени тесноты статистической связи – коэффициент детерминации K_d (у; Х) и множественный коэффициент корреляции R_y.X. Действительно, учитывая тот факт, что D(y | X) = D(ε | X), а значит, и условная дисперсия остатков не зависит от X, получаем, что безусловная дисперсия Dε (как результат усреднения по X значений условных дисперсий D(ε | X)) равна D(ε | X). Но тогда мы можем подставить в (7) Dε вместо D(y | X) и получим

                                             

, (7')

     откуда,

                                                         

. (8)

     Это означает, что в рамках статистического анализа многомерной нормальной совокупности понятие коэффициента детерминации K_d(y; X) совпадает с квадратом определенного в (3) множественного коэффициента корреляции и что коэффициент детерминации K_d(y; X) может быть вычислен в данном случае до проведения регрессионного анализа (т. е. до оценки функции регрессии f(X)) с помощью формул (4), (5).

     Для проверки гипотезы H₀: R_y.X = 0, т.е. для выяснения вопроса, можно ли считать выборочное значение множественного коэффициента корреляции статистически значимо отличающимся от нуля, пользуются фактом F(p,n – p– 1)-распределенности случайной величины

     

,

справедливым  в рамках рассматриваемой многомерной  нормальной совокупности при условии, что истинное значение множественного коэффициента корреляции равно нулю. Если окажется, что , то гипотеза об отсутствии множественной корреляционной связи между у и (x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(p)) отвергается при уровне значимости критерия, равном α.

     Знание  следующих статистических свойств  оценок , определяемых по формулам (4), (5) с заменой участвующих в них парных и частных коэффициентов корреляции их выборочными аналогами, может оказаться полезным при проведении корреляционного и регрессионного анализов:

     –                             , (9)

     что означает наличие положительного смещения (асимптотически устранимого) у оценки коэффициента детерминации ;

     –                        (10)

(дисперсия  D характеризует точность оценивания коэффициента детерминации с помощью и будет использована в регрессионном анализе при определении числа объясняющих переменных, которые следует включить в линейную регрессионную модель);

     – подправленная на несмещенность оценка коэффициента детерминации имеет вид

                                          

. (11)

       Из последней формулы видно,  что «подправленная» оценка  всегда меньше смещенной оценки .

     Отметим, что при малых истинных значениях  и при «не слишком малых» величинах отношения р/п подправленные оценки, подсчитанные по формуле (11), могут принимать отрицательные значения. Можно устранить абсурдность отрицательных значений оценки, используя в качестве «еще раз подправленной» оценки величину

     

(правда, уже не будет несмещенной оценкой).

 

      Глава 2. Пример использования частных и множественных коэффициентов в отборе факторов эконометрической модели

     2.1. Задача №1

     По  данным изучаемых регионов (см. приложение А) изучить зависимость общего коэффициента рождаемости (y) от уровня бедности, % (x₁) и среднедушевого дохода, тыс. руб. (x₂).

     Для дальнейших расчетов составлена вспомогательная  таблица используемых величин (см. приложение Б).

     Парные  коэффициенты корреляции, необходимые для вычисления частных и множественных коэффициентов, найдем по формуле:

     

.

     Получаем:

      ;

      ;

      .

     Теперь  мы можем вычислить частные коэффициенты по формуле:

     

.

     Получаем:

      ;

      .

     Вывод: общий коэффициент рождаемости обратно пропорционален уровню бедности и прямо пропорционален среднедушевому доходу. Частные коэффициенты корреляции не очень высоки, поэтому зависимость между рассматриваемыми величинами достаточно слабая.

     Проверим  гипотезу Н₀ для парных коэффициентов по формуле:

     

, если  t_кр=2,405

для : – коэффициент незначимый, так как |t_набл|<t_кр;

для : – коэффициент значимый, определим для него уравнение y = α₀ + α₁x₂ + ε:

;

.

     Тогда уравнение имеет вид: y = 6,05 + 0,27x₂, где α₁ показывает, на сколько единиц изменится y, если x₂ изменится на 1, а α₀ равно оценке уровня процесса y_t в момент t. График приведен в приложении В.

     Проверим  гипотезу Н₀ для частных коэффициентов.

для : ;

для : .

     В обоих случаях |t_набл|<t_кр, значит эти коэффициенты не значимы.

     Вычислим множественный коэффициент корреляции по формуле:

     

,

где

  ;

.

     Получаем:

      .

     Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком. По итогам вычислений можно сказать, что на общий коэффициент рождаемости влияют такие факторы как уровень бедности и среднедушевой доход, но не очень сильно.

 

      2.2. Задача №2

     По  данным таблицы в приложении Г изучить зависимость чистого дохода государства, млн дол. (y) от оборота капитала, млн дол. (x₁) и используемого капитала, млн дол. (x₂). Для дальнейших расчетов в таблицу добавлены вспомогательные данные.

     Парные  коэффициенты корреляции, необходимые  для вычисления частных и множественных коэффициентов, можно найти по формуле:

     

.

     Получаем:

     

      ;

      ;

      .

     Теперь  мы можем вычислить частные коэффициенты по формуле:

     

. 

     Получаем:

     

      ;

      .

     Чистый  доход государства обратно пропорционален обороту капитала и прямо пропорционален используемому капиталу. Причем зависимость  чистого дохода от используемого  капитала сильнее, чем от оборота капитала.

     Вычислим  множественный коэффициент корреляции по формуле: